精品解析：陕西省西安市长安区第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

长安一中2025-2026学年度第一学期期末考试 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论即可. 【详解】“，”的否定是“，”. 故选：B 2. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合所描述的性质，分别计算出两个集合的元素取值范围，再利用集合运算性质求出交集即可，要注意集合A是关于的集合，集合B是关于的集合. 【详解】由题知集合A是关于的集合，则根据， 可得，即集合； 又集合B是关于的集合，则根据， 可得，即集合， 则. 故选：A 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出的值，由零点存在性定理即得解. 【详解】由题得， ， 所以， 又因为函数是连续函数， 所以零点所在的区间为. 故选：C 【点睛】方法点睛：判断连续函数零点所在的区间，一般利用零点存在性定理，若，则函数在区间上至少有一个零点. 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式求解. 【详解】依题意，，因此该扇形所在圆半径为， 所以该扇形的面积为. 故选：D 5. 已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据基本不等式求出的最小值，再结合条件求出参数的取值范围； 【详解】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 6. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，再结合对数函数、一次函数、常数函数的性质，判断即可. 【详解】的值域为， 当时，单调递减，，解得：， 当时，，即，的值域为，符合题意， 当时，若单调递增，则，解得：， ，此时，，符合题意， 当时，若单调递减，则，解得：， 此时的值域为，不符合题意， 若是常数函数，则，解得：， 此时，符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：B 7. 定义在非零实数集上的函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性及在上的单调性，再结合对数函数、正弦函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，即函数是定义域上的偶函数， 而函数在上单调递减，则函数在上单调递减， 由，得，又， 因此， 因此. 故选：C 8. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，则（ ） A. 400 B. 200 C. 198 D. 396 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定性质求出对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可 【详解】设，所以 ， 因为为奇函数，所以，则，所以函数的图象关于点成中心对称图形，所以， 所以， 每对和为，共对，所以总和为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用幂函数的单调性判断B；利用不等式性质判断C；作差判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，函数在R上单调递增，由，得，即，B正确； 对于C，由，得，，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：BCD 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将题设等价转化为是方程的两根，然后利用根与系数的关系即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是； 所以，且是方程即的两根； 所以，，故AB正确； 所以，故C错误，D正确； 故选：ABD. 11. 定义，（且）．则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为，值域为 B. 函数是偶函数且在上是增函数 C. 对任意的，都有（为常数且）成立 D. 函数有4个不同零点 【答案】BC 【解析】 【分析】首先画出函数，（且）的图象，和的图象以及的图象，根据图象，再结合函数的性质，即可判断选项. 【详解】函数，（且）的图象如图1所示： 所以， 的图象如图2： 的图象如图3所示： 所以，故，故A错误； 由图3可知，且为偶函数，则为偶函数，在上单调递增，故B正确； 由图3可知，函数的周期为1，又为偶函数，， 所以，故C正确； 为偶函数，作函数的图象，观察可得 当时，有一个零点1， 且，故在上有唯一零点， 结合函数为偶函数，得共有2个不同零点，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数运算公式和对数运算公式进行求解. 【详解】由指数运算公式和对数运算公式可得：. 故答案为：. 13. 已知为锐角，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系以及锐角条件求，再由两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为为锐角，所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据一元二次方程解得或，再画出函数图象，转化为交点个数问题，求的取值范围. 【详解】，整理为 ，得或， ， 当时，函数单调递减，值域为，当时，单调递增，值域为， 如图，画出函数的图象， ，得，所以与有2个交点，则，得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）先解二次不等式化简集合A，再利用集合的运算求解即可. （2）利用命题是命题的必要不充分条件得到集合B是集合A的真子集，分与 两种情况讨论即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 若，则，所以 ， 所以， 【小问2详解】 因为命题是命题的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集. 当时，，得到； 当时，，得到； 综上所述，，所以实数的取值范围为. 16. 已知 （1）求； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，代入求解即可；（2）根据（1）中的及化简不等式得到，解三角不等式即可. 【小问1详解】 依题意，，且，所以， 又因为，，； ，； 所以； 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，； 所以； 又，所以，即， 解得，且； 所以原不等式的解集为且. 17. 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】（1）不获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损 （2）当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【解析】 【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用； （2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论. 【小问1详解】 当时，该项目获利为S， 则， 当时，，因此，该项目不会获利, 当时，S取得最大值， 所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损. 【小问2详解】 由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：， 当时，， 所以当时，取得最小值240； 当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200； 因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）；函数在上单调递增 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质可得实数a的值，再由复合函数的单调性可得判断的单调性； （2）由函数的单调性解抽象函数不等式，再利用换元法结合对数的运算对讨论即可； 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为， 所以， 此时，，满足题意， 函数在上单调递增， 因为在单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得函数在上单调递增， 所以， 即， 令，即，即， 当时，，即，因为恒成立，所以解得， 当时，，即，解得； 当时，，解集为空集； 当时，，即，解得； 综上，当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 已知函数的定义域为，，且当时，. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）解不等式：； （3）已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）奇函数，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过赋值法，利用奇函数的定义进行判断即可； （2）考查函数的单调性，利用单调性转化不等式求解即可； （3）根据题意知，即，分类讨论求得，解出不等式即可. 小问1详解】 为奇函数. 令，则， 解得. 令，则， 即， 又的定义域关于原点对称，所以为奇函数. 【小问2详解】 令， 则， 因为，所以，， 则， 因为， 所以. 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 因为，所以在为减函数. 因为，所以， 解得， 即不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，， 使得成立， 所以，由上可知，即. 因为的对称轴为，. ①当，即时，在上单调递增， 则，所以，解得，所以； ②当，即时，在上单调递减， 则， 所以，解得，所以； ③当时，在上先减再增， 则，所以， 解得或，所以； 综上所述，实数b的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长安一中2025-2026学年度第一学期期末考试 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C ， D. ， 2. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 定义在非零实数集上的函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 8. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，则（ ） A. 400 B. 200 C. 198 D. 396 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义，（且）．则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为，值域为 B. 函数是偶函数且在上是增函数 C. 对任意的，都有（为常数且）成立 D. 函数有4个不同零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 13. 已知为锐角，，则__________． 14. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知集合，． （1）若，求； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知 （1）求； （2）解关于的不等式． 17. 某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； （2）解关于x的不等式． 19. 已知函数的定义域为，，且当时，. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）解不等式：； （3）已知，，若对，，使得成立，求实数b取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $