精品解析：新疆阿勒泰地区2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷

2024-2025学年第一学期高一数学期末试卷 (时间：120分钟；满分：150分） 出卷人：晏江 审卷人：周挚洁 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先分别确定集合，，确定中元素的个数，可得真子集的个数. 【详解】由， 又，所以. 由， 又，所以. 所以，有4个元素. 所以真子集的个数为：. 故选：B. 2. 函数的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】将函数化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故选：C 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过指、对数函数性质确定取值范围即可判断； 【详解】 所以， 故选：A 4. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可. 【详解】对于函数（且），当时，，即， 因为点A在角θ的终边上， 所以， 于是， 故选：D 5. 幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得或. 故选：B. 6. 荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（ ） A. 米 B. 米 C. 13.6米 D. 198米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得秋千的最大摆角为，结合弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，秋千最大摆角为，且秋千的缆索长为米，即半径， 所以秋千最大摆角所对的弧长为米. 故选：A. 7. 在下列区间中，方程的解所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据零点存在性定理判断各选项区间端点值的符号，即可知零点所在的区间. 【详解】令，则该函数的定义域为且在定义域上单调递增， ， 所以，函数的零点所在区间为. 故选：C. 8. 已知函数满足对任意，,都有成立，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若对任意，都有＜0成立，则函数是单调减函数，故可列不等式求解的取值范围． 【详解】若对任意，都有＜0成立， 则函数是单调减函数； 故， 解得：. 故选：D. 二、多选题（每小题6分） 9. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断即可. 【详解】对于A：，偶函数，故A正确； 对于B：函数的定义域为，令， 则，故为偶函数，故B正确； 对于C：定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，故C错误； 对于D：令，定义域为，且，所以是偶函数，故D正确. 故选：ABD 10. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式，二倍角公式、两角差的余弦公式，两角和的正切公式进行化简，即可一一求得结果. 【详解】； ； ； . 故选：ABD. 11. 已知函数，给出下列结论正确的是（ ） A. 函数f（x）的图像可以由的图像向左平移个单位得到 B. 是的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 直线与函数在上的图像有5个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平移法则得到A正确，计算，不是对称轴，B错误，的最小值为半个周期，C正确，画出图像知D正确，得到答案. 【详解】对选项A：的图像向左平移个单位得到，正确； 对选项B：时，，不是对称轴，错误； 对选项C：，，则的最小值为半个周期为，正确； 对选项D：当时，，如图所示画出函数图像，根据图像知正确. 故选：ACD 三、填空题（每小题5分） 12. 求函数的定义域____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的定义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 若“”是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知是假命题可得，“”为真命题，列不等式解出实数的取值范围即可． 【详解】已知“”是假命题，所以“”为真命题，即，解得 故答案为： 14. 已知函数，则 ，的最小值是 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知. 考点：分段函数的图像与性质 四、解答题 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算计算即可； （2）根据对数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知，且. （1）求，； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的范围结合平方和为求解出，根据商数关系求解出； （2）先用诱导公式化简原式，然后根据齐次式计算求解出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 原式. 17. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式即可； （2）求出，再利用两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 因点为角终边上一点，则， ， 则. 【小问2详解】 因，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以 . 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），（） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可； （2）由的范围，求出的范围，再结合正弦函数的图象和性质即可求解. 【小问1详解】 函数，， 所以函数的最小正周期， 因为的单调递增区间为，， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为（）. 【小问2详解】 当时，， 所以，则， 当，即时取得最小值， 当，即时取得最大值， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 19. 在中国古代数学中，也有一些与函数单调性相关思想.例如，《九章算术》中对一些实际问题的解决，涉及到了量的变化关系，虽然没有从函数单调性的角度进行系统的理论阐述，但为后来的发展提供了一定的思想基础.十八世纪至十九世纪：在 18 世纪和 19 世纪，数学家们对函数单调性的理论进行了不断的完善.他们深入研究了函数的连续性、可导性与单调性之间的关系，发现了一些重要的定理和结论.例如，拉格朗日中值定理的出现，为研究函数的单调性提供了更加有力的理论支持.该定理沟通了函数与其导函数之间的联系，使得数学家们能够更加深入地理解函数单调性的本质.严格定义的提出：随着数学分析的发展，数学家们对函数单调性的定义也进行了不断的修正和完善.逐渐形成了现代数学中关于函数单调性的严格定义，即对于函数定义域内的任意两个不同的点，当自变量的大小关系确定时，函数值的大小关系也相应确定，这样的函数在该区间上具有单调性.这一定义的提出，使得函数单调性的概念更加准确和严谨.已知函数，． （1）若过点，求解析式； （2）若． （i）当函数不单调，求的取值范围； （ii）当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据将点代入函数的解析式，求得的值，即可得到的解析式； （2）（i）求得对称轴的方程为，结合题意，得到，即可求解； （ii）根据二次函数的图象与性质，分、和，三种情况讨论，结合函数的单调性，求得最值，进而得到的表达式. 【小问1详解】 由过点，可得， 解得，所以函数的解析式为. 【小问2详解】 （i）由函数，可得对称轴的方程为， 因为函数在不单调，可得，解得， 即实数的取值范围为； （ii）由函数的对称轴的方程为， 当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； 当时，即时，函数在区间上单调递减， 在区间上单调递递增，所以； 当时，即时，函数在区间上单调递减， 所以， 综上可得， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高一数学期末试卷 (时间：120分钟；满分：150分） 出卷人：晏江 审卷人：周挚洁 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 8 2. 函数的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 7 D. 5. 幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（ ） A. 米 B. 米 C. 13.6米 D. 198米 7. 在下列区间中，方程解所在区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足对任意，,都有成立，则取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分） 9. 下列函数中是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C D. 11. 已知函数，给出下列结论正确的是（ ） A. 函数f（x）的图像可以由的图像向左平移个单位得到 B. 是的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 直线与函数在上的图像有5个交点 三、填空题（每小题5分） 12. 求函数的定义域____________． 13. 若“”是假命题，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数，则 ，的最小值是 ． 四、解答题 15. 计算： （1） （2） 16. 已知，且. （1）求，； （2）求值. 17. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 19. 在中国古代数学中，也有一些与函数单调性相关的思想.例如，《九章算术》中对一些实际问题的解决，涉及到了量的变化关系，虽然没有从函数单调性的角度进行系统的理论阐述，但为后来的发展提供了一定的思想基础.十八世纪至十九世纪：在 18 世纪和 19 世纪，数学家们对函数单调性的理论进行了不断的完善.他们深入研究了函数的连续性、可导性与单调性之间的关系，发现了一些重要的定理和结论.例如，拉格朗日中值定理的出现，为研究函数的单调性提供了更加有力的理论支持.该定理沟通了函数与其导函数之间的联系，使得数学家们能够更加深入地理解函数单调性的本质.严格定义的提出：随着数学分析的发展，数学家们对函数单调性的定义也进行了不断的修正和完善.逐渐形成了现代数学中关于函数单调性的严格定义，即对于函数定义域内的任意两个不同的点，当自变量的大小关系确定时，函数值的大小关系也相应确定，这样的函数在该区间上具有单调性.这一定义的提出，使得函数单调性的概念更加准确和严谨.已知函数，． （1）若过点，求解析式； （2）若． （i）当函数不单调，求的取值范围； （ii）当函数最小值是关于的函数，求表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $