精品解析：甘肃省白银市2026届高三上学期期末考试数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前、考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（ ）种． A. B. C. D. 6. 若函数的单调递减区间为，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. -3 D. -6 7. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 62 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据，则（ ） A. 该样本数据的平均数为2 B. 该样本数据的众数与中位数相同 C. 该样本数据的方差大于极差 D. 该样本数据的标准差小于众数 10. 对于函数，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上的值域为 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 11. 在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点E到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_____. 13. 若，，则_______. 14. 已知实轴长为的双曲线的渐近线为，、分别为的上、下焦点，过点的直线与的上、下两支分别交于点、，且，则直线的斜率为_____________. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. （1）求的准线方程； （2）设为准线上一点，且，求. 17. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成的二面角的正弦值. 18. 设函数. （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 19. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； （2）规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； （3）若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前、考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求集合，利用交集定义即可得解. 【详解】因为，， 由交集定义可得，. 故选：A. 2. 若，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法法则求出，即可得解. 【详解】由，得， 则，所以的虚部为. 故选：C. 3. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，即可根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 由可得，故或，解得或， 因此由推不出，由也推不出， 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 5. 有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（ ）种． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式即得. 【详解】第一步，从除组长、甲、乙外的9人中选出2人，有种； 第二步，甲、乙和选出的2人排在前排，共种； 第三步，后排7人全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得共有种. 故选：D 6. 若函数的单调递减区间为，则的值为（ ） A. 6 B. 3 C. -3 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据减区间求. 【详解】由题意得， 因为函数的单调递减区间为， 所以的解集为， 即方程的两根为， 所以，解得， 故选:B. 7. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 62 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得公比，， 因此， 故选：C 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知4是的一个周期，赋值求相应的函数值，可得，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 可得，可知4是的一个周期， 又因为当时，，则，， 对，令，可得， 令，可得； 令，可得； 则，，， 可得，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据，则（ ） A. 该样本数据的平均数为2 B. 该样本数据的众数与中位数相同 C. 该样本数据的方差大于极差 D. 该样本数据的标准差小于众数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数，方差，极差，众数，中位数的概念求解即可. 【详解】因为平均数， 所以方差，标准差，众数为2， 将这组数由小到大排列，即， 2在中间，中位数为2，最大数为3，最小数为，极差为， 所以BD正确，AC错误. 故选：BD. 10. 对于函数，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在区间上的值域为 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用降幂公式和辅助角公式将函数化简，然后利用正弦函数的性质依次判断即可． 【详解】 ， 对于A：，故A正确； 对于B：，此时有增有减，故B错误； 对于C：，此时，故C正确； 对于D：函数的图象向右平移个单位得，故D错误， 故选：AC． 11. 在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 点E到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A证明线面平行转化为线线平行；选项B求异面直线所成的角，作平行线平移到一点余弦定理求解；选项C求点到面的距离用等体积法求解；选项D点在底面的射影为的中点，三棱锥的外接球的球心在直线上，勾股定理求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，点F，G分别为棱，的中点， 则，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 连接，，易得，所以为直线与所成的角或补角， 又易得，，， 由余弦定理得， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 在中，，， 所以， 设点E到平面的距离为h， 又，所以，解得， 即点E到平面的距离为，故C正确； 为直角三角形，设的中点为，底面， 设外接球半径为，球心为，则在直线上， 而，故为钝角， 故在的延长线上， 由，，解得， 所以外接球的表面积为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程即可求解. 【详解】因为焦点在x轴上，则，解得. 则实数a的取值范围是. 故答案为：. 13. 若，，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】由半角公式代入解方程. 【详解】因为，所以，所以， ，又，解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知实轴长为的双曲线的渐近线为，、分别为的上、下焦点，过点的直线与的上、下两支分别交于点、，且，则直线的斜率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出双曲线的方程，设，利用双曲线的定义可得出，，利用余弦定理可得出关于的等式，求出的值，可求出的值，再结合同角三角函数的基本关系、诱导公式可求得直线的斜率. 【详解】因为实轴长为的双曲线的渐近线为， 则，解得，所以，双曲线的方程为， ， 如下图所示： 设，由双曲线的定义可得，则， ，所以，， 所以，， 由余弦定理可得， 所以，，解得， 所以， ， 所以，， 当直线的倾斜角为锐角时，则， 所以，， 此时，直线的斜率为； 当直线的倾斜角为钝角时，由对称性可知，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率，解题的关键就是利用双曲线的定义求出、，然后在两个焦点三角形中对公共角使用两次余弦定理求出参数值，再结合三角函数知识求解. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. （1）求的准线方程； （2）设为准线上一点，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【小问1详解】 因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 【小问2详解】 因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 17. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成的二面角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是中点得，， 三棱柱中，由，， 由题意，分别是棱，上的点，，得， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据平行的传递性得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后利用向量法求得二面角的余弦值，利用同角三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面，， 所以，，两两垂直， 以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由，，， 知，，，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则，，即； 易知平面的一个法向量为， 设平面和平面所成二面角为， 则，所以， 即平面和平面所成的二面角的正弦值为. 18. 设函数. （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的值表示出切线方程，代入点可求结果； （2）根据和进行分类讨论，由此确定出单调性； （3）当时，将问题转化为“” ，当时，将问题转化为“” ，然后构造函数并分析新函数的单调性，通过分类讨论并结合新函数的端点值确定出满足要求的的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， ，所以曲线在点处的切线为， 又切线过点，所以，所以. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，由，得；由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，在上单调递增，由知时，， 当时，由（2）知当，即时，对成立， 所以时，存在正实数，使得对，从而化为， 当，即时，由（2）知在上单调递减，， 化为，即， ①时，令，则， 当时，在单调递增，存在正实数，使得对， 当时，由得，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 要存在正实数，使得对，则，所以； ②当时，令， 要存在正实数，使得对， 则存在正实数，使得在上单调递减，即对成立， 当时，，此时单调递增，不符合题意， 当时，由得，从而，所以. 综合①②知，的取值范围为. 19. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率； （2）规定第一次从小明开始， （ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率； （ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值； （3）若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）的分布列为： 0 1 2 3 ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型确定基本事件总数与事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”的事件总数，从而得概率； （2）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为，前4次投掷中小明恰好投掷2次有三种情况：小明，小明，小芳，小芳；小明，小芳，小明，小芳；小明，小芳，小芳，小明，分别计算概率相加即可；（ⅱ）小芳投掷的次数的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率即可得分布列与数学期望； （3）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：1．第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，2．第次由小明投掷，第次由小芳投掷，从而可得相邻两次的概率关系，结合数列的递推关系式即可得结论． 【小问1详解】 设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件总数为36， 事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共9个基本事件， 则． 【小问2详解】 由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率为： ； （ⅱ）设游戏的前4次投掷中，小芳投掷的次数为，则可取0，1，2，3， ， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ． 【小问3详解】 若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况： 第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为（）； 第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为（）； 由于这两种情况彼此互斥，所以（）， 所以（），且， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $