湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题

高一数学期末参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 5 8 9 10 11 答案 D B B C ABD BCD ABD 1.D【解析】tan2025°=tan(11×180°+45)=tan45°=1.故选D, 2.B【解析】函数f)=4十x一8是增函数，因为f1)=-3<0,f()=8+-8>0,所以f1)f(号)<0，所以函 数f)的零点所在的区间为(1，)：故选B B.B【解析折因为点P在第四象限，所以，则角。的终边在第二象限，故选B 4.A【解析】由已知可得函数)y=Asi(or十9)的图象经过点(-受，2)和（经，-2）， 则A=2,号-登-（一），故T=,即w一2，则画数的解折式可化为y一2n(2x十p, 将点(-臣2)代入得-晋+g-登+2，CZ,即g经+2m,EZ。 当=0时，p-,此时y=2sin(2x+）,故选A 5.C【解析】由(e-a)ln(x十b)≥0可知，方程e-a=0与ln(x十b)=0的根相同，即lna=1一b, 故b+2lna=b-2b+2=(b-1)2+1≥1.故选C. 6.C【解析】由f(-1)=f1),得cos(1十p)=cos(-1十p),解得sin1·sinp=0,故p=kπ，k∈Z, 则f(x)=cos(x十p)为偶函数；若f(x)为偶函数，则必有f(-1)=f(1), 故“f(一1)=f(1)”是“f(x)为偶函数”的充要条件.故选C. 7.C【〖解析J:a,9均为锐角，a<∴0<2a<,一艺<a-0,0<a十BK, 则m2a-3Cna0=(得-2， 5 则6se+e=m2a-a-]=we2asa-0+sn2asna-=e×号-3×25 10 5 --00是-号，则e+=要 5050 故选C 8.A【解析】函数y=lnx,y=x在(0，十∞)上单调递增，则函数f(x)=lnx十x在(0，十∞)上单调递增， 而f日）=-1+是<0，f1)=1>0,则存在∈（日，），使得f)=0, 即函数f(x)在(0，十∞)上有1个零点。 由函数f(x)有4个零点，则函数f(x)=sin(ox一否)在[-元，0]有3个零点， 由一≤x<0o>0,得-w一子<r-音<-晋，则 -w吾<-3 解得<w<号 所以正实数u的取值范围是[登，胃》故选入 9.ABD【解析】由y=x3,y=2,y=xlx均为(0，十∞)上的增函数可知，A,B,D正确；由y=log.5x为(0，十∞)上的 减函数可知，C错误.故选ABD. 10.BCD【解析】A由函数y=sinx的图象向左平移号个单位长度，得到y=sin(x十子)的图象， 再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sn(合x十)的图象，不特合题意， B由函数y=sinx的图象向左平移号个单位长度，得到y=sin(x十罗)的图象， 数学参考答案(Q)一1 再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sm(2x十否)的图象，符合题意， C将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的号倍（纵坐标不变），得到y=sn2x的图象， 再向右平移个单位长度，得到y=sinm[2(x一)]=sim(2x一）=sim(2x+）的图象，符合题意； D.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin2x的图象， 再向左平移晋个单位长度，得到y=sin[2(x十石)门]=sim(2x+)的图象，符合题意。 故选BCD. 11.ABD【解析】设函数y=ax与y=e图象交，点坐标分别为A(1,e), B(e):函数y=x与y=nx图象交点坐标分别为C(,1n), D(x,lnx3).由于y=e与y=lnx的图象关于y=x对称，y=ax与y= 的图象电关于y=z对称，故它们的交点A,C关于直线y=x对称， B,D关于直线y=x对称，则x=lnx2,x=e,且x1·x=lnx2·e= 13 a=云十=+a=(合十)k选ABD D 三、填空题 12.(2,十o∞)【解析】令x2-2x>0,解得x<0或x>2,故函数f(x)的定义 域为(-∞，0)U(2,十∞)， 令y=lg,u=x2一2x,由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调递增区间为(2，十∞) -1【解1顶战=sin40(n10。-3）=sin40·cos10°g=sin40°.2sin10°-60) cos10° cos10° -2sin40°sin50°=-2sin40cos40°=_sin80°=_cos10° cos 10% cos10° c0s10°= cos10=-1. 140,2],(-2,](第-空2分，第二空3分) 【保】质意作生数因破 ”的图象，如图所示， 因为方程f(x)一Q=0有四个根x1,x2,x3,x4,且<x2<x3<x4, 由图象可知a∈(0,2]，且十x2=-4,-log3x3=log3x4,可得x3x4=1, 则西十2十十4=一4十十x4=一4十西十， 因为-2≤g西<0，所以日<，<1，所以2<+≤留， x39 所以-2×-4++1≤46， 即十十十五的取位范国是（一2智] 四、解答题 15.【解折11）因为袋合A={✉到<21≤128=-1<8，…2分 无，号≤Z≤32=y-3≤y≤5}， 所以A=[-1,8],B=[-3,5],故AUB=[-3,8].…6分 (2)因为A=[-1,8],B=[-3,5],所以A∩B={x-1≤x≤5}， 7分 若C=必，则m十1>2一1，解得m<2,满足题意；…9分 m+1≤2m-1, 若C≠必，则m十1≥一1，解得2≤m≤3，… …12分 2m-1≤5， 综上，实数m的取值范围为（一∞，3]. …13分 数学参考答案(Q)一2 16.【解折】1)因为a-至，在RtA0BC中，BC-60sin不-302（米），. …2分 故BC=AD=30W2(米)， 在Rt△OAD中，则OD=AD2X302=20√6（米）.5分 sin弩v3 (2)因为四边形ABCD是矩形，可得OB⊥BC, 所以在Rt△OBC中，BC=60sina,OB=60cosa,… 6分 在R△OAD中，AD=BC=60sina,则OA=AD-Y5X60sina=205sine, tan子 3 于是AB=OB-OA=60cosa-20W3sina,… …8分 则矩形ABCD的面积S(a)=AB·BC=60sina(60cosa-20W3sina)=1200W3(W3 sin acos a-sina) =120v5fsm2a+2cos2a2）=12005sim(2a+晋)-60w5, 所以S(a)=1200W3sin(2a+）-6005(0<a<5） …12分 由0<a<5,得看<2a+吾<晋， 则当2a+否=受时，即a=吾时，S(a)=6003, 14分 所以当Q=石时，S@)取得最大值，最大位为605平方米.… …15分 17.【解析】(1)由函数y=ax十b,y=a+b,y=b log,x的解析式可知， 这三个函数的单调性在定义域内要么单调递增，要么单调递减，要么是常值函数， 不会出现在定义域内，既有单调递减又有单调递增的情况， 而函数y=ax一m十b(a<0),在区间（一∞，m)上单调递增，在区间(m,十o∞）上单调递减， 由列表可知Q(x)的单调性是先增后减， 因此Q(x)=ax-m十b合适.…2分 把(14,59)，(18,63)，(22,59)代入， al14-m+b=59,m=18, 得a18-m+b=63,解得b=63,则Q(x)=-1x-18|十63， a22-ml+b=59,(a=-1, 显然(9,54)，(29,52)也满足函数的解析式， 故Q(x)=-x-18|十63,1≤x≤30，x∈N*.… ……6分 (2)由题意可知，f）=P(x)Q(）=(10+2）(-1x-18到+63)，1≤x≤30，x∈N，…8分 当1≤≤18，x∈N时，fx)=(10+2)[-(18-x)+63]=452+10x+0>≥452+2V90=512, x 当且仅当10x2,即x=3时取等号，此时f)m=512: …11分 当18<≤30，x∈N时，f)-(10+2)[-(红-18)+63]=808-10x+12 显然此时函数f(x)单调递减，此时f(x)m=f30)=513.4.… …14分 综上所述，函数f(x)的最小值为512元.… …15分 18.【解析】(1)因为4+1>0，可知函数f(x)的定义域为R, 若函数f(x)为偶函数，则f(1)=f(一1)， 即m+1log5=-m+1og是，可得2m=log号-log,5=log子=-1，印m= 2， …2分 此时fx)=-2x+1lo8(+1D=1g(4+1)-lb8,2r=1oe（2r+2, 则f(-x)=log4(2+2)=log4(2x十2x)-f(x),即函数f(x)为偶函数， 所以m=-分…4分 1 (2)图为f）-心7x,即-合x+1g,《4+1》-少壹， 5分 数学参考答案(Q)一3 可得1og4(4+1)-x=1og4(4+1)-log44=1og4(1+4x)>t, 即l0g4(1十4)>t对于任意实数x恒成立，… …7分 因为1十4>1，则1og4(1+4x)>0,可得0， 所以实数t的取值范围为（一∞，0们.… 8分 (3)由(1)可知，g(x)=4g4+D-a…2+1十a2-5=45-a…2+1+a2-4,…。 9分 若存在，使得g(-x0)=-g(x0)成立，即45-a·2x+1+a2-4=-(43-a·2x+1十a2-4), 整理可得4十4x-2a(2x+2x)+2(a2-4)=0, 则(2十2名)2-2a(2%十26)十2(a2-5)=0,…11分 令t=2+2≥2√24·2=2，当且仅当2=2，即x。=0时，等号成立， 可得t2-2at十2(a2-5)=0, 构建函数h(t)=-2at十2(a2-5),可知h(t)在[2，+o∞)内存在零点， 因为h(t)的图象开口向上，对称轴为直线t=a, 若a≤2，则h(t)在[2，十∞)内单调递增，… …12分 则h(2)=4-4a+2(a2-5)≤0，解得-1≤a≤3，故-1≤a≤2； …14分 若a>2,则h(t)在[2，a)内单调递减，在[a,十o∞)内单调递增， 则△=4a2-8(a2-5)≥0，解得-√10≤a≤√10，故2<a≤√10，…16分 综上所述，实数a的取值范围为[-1，√I0]. …17分 19.【解析】(1)f,(x)=(sin'wxo十cos2wx)2-2 sin2wx,=1-2sin2 wz.C0s'wz=3, -2 .1 则$in2wx0C0s2wx0=6,… …2分 fe(xo)=(sin2wxo+cosw xo)3-3 sin'wxocoswxo-3 sinwxocos'wxo -1-3 sin woco. 4分 (2)当w=1时，若f(x)+2f3(x)>0,即cosx十sinx十2cos3x+2sin3x>0, 整理得cosx十2cos3x>-(Sinx十2sin3x),…6分 令函数g(t)=t十2t,易知函数g(t)为R上单调递增的奇函数， 由g(cosx)>-g(sinx)=g(-sinx)得，cosx>-sinx,, 8分 化简得VEsi(+至)>0，解得-年+2kx<x<3不+2x,kE乙， 故不等式的解集为(-牙+2kx,3F+2km),k∈乙 9分 @设P)=得由V∈[亮引<，恤有FR 即P)在[语，]上单调远增，… …10分 由(1)可知f(x）=1-2sin'w2ax=1-号sin2uz, F((ico(sin'cos)-2sin cos fa(x)sin'wx++cos wx sinωx+coswx -sin'+cos sina+cos 2 sin'2ox 2sin'wx cos'ox -1-1 名sn2ad 11分 令1=1一司sm2=是+ms4a,则下0=1十号一云此时y=1十号一品为单调选增通复， 从而=十骨as4ar在[品]上递增， …13分 注意到y=cosx的单调递增区间为[2kπ一π，2kπ]，∈Z, 因此[℉，][2kr,2k],即1 ≥2x一x 解得8k-4≤w≤6k,k∈Z,…15分 ≤2m, 注意到w>0,因此当k=1时，4≤w≤6；当k=2时，12w≤12，即w=12; 当k≥3时，8k-4>6k,此时w无解， 综上可知，w∈[4,6]U{12}.… …17分 数学参考答案(Q)一4 高 一 数 学 期 末 时量:120 分钟 满分:150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. C. - 1 D. 1 2.函数 的零点所在的区间为 3.已知点 P(sinα,cosα)在第四象限,则角α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为 5.若∀x∈R,不等式 恒成立，则 的取值范围是 A. [-1,+∞) B. [0,+∞) C.[1,+∞) D. [2,+∞) 6.已知函数 f(x)= cos(x+φ),则“f(-1)=f(1)”’是“f(x)为偶函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若 且α,β均为锐角,α<β,则α+β= A. 8.若函数 有4个零点，则正实数ω的取值范围是 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知实数a>b>0,则 B. C. > D. a|a|>b|b| 10.已知曲线 则下列说法正确的是 A.把曲线C₁向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C₂ B.把曲线C₁向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到曲线C₂ C.把曲线C₁上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度得到曲线C₂ D.把曲线C₁上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到曲线C₂ 11.已知函数 有两个零点 函数 有两个零点x₂,x₃,则 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数 的单调递增区间为 . 13.计算 14.已知函数 若方程f(x)-a=0有四个根 x₃,x₄,且. 则实数a 的取值范围是 ， 的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知集合 (1)求集合A∪B; (2)若 求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN 内修建矩形水池ABCD，矩形一边 AB在OM 上,点C在圆弧MN 上,点 D 在边ON 上,且 OM=60米,设∠COM=α. (1)若 求OD 的长; (2)若矩形ABCD的面积为S(α),当α为何值时,S(α)取得最大值,并求出这个最大值. 17.(本小题满分15分) 某电视台旗下的电商平台依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地的农特产品，打通农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“丹东草莓”“鞍山南果梨”“绥中白梨”“盖州苹果”“熊岳葡萄”等农特产品在当地热销.通过对过去的一个月( 以30天计)的某农特产品的销售情况的调查发现：每千克的销售价格P(x)(单位：元/千克)关于第x天( ≤30，x∈N*)的函数关系近似满足 日销售量Q(x)(单位：千克)关于第x天的部分数据如下表所示： x 9 14 18 22 29 Q(x) 54 59 63 59 52 现在有四种函数模型：① Q(x)= ax+b;② Q(x)=a|x-m|+b; (1)请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型(简要说明理由)来描述日销售量Q(x)关于第x天的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)根据(1)的结果，设该农特产品的日销售收入为函数.y=f(x)(单位：元)，求函数 f(x)的最小值. 18.(本小题满分17分) 已知函数 是偶函数. (1)求实数m的值； (2)若 对于任意实数x 恒成立，求实数t的取值范围； (3)若函数 在 R 上存在x₀，使得 成立，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 设 其中 (1)若 求 的值； (2)若ω=1,求不等式 的解集； (3)若对任意 恒有 求实数ω的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $