精品解析：云南省昆明市第三中学2025--2026学年上学期八年级期末数学试卷

云南省昆明市第三中学2025--2026学年上学期八年级期末数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为厘米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的三边a，b，c满足，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 不能判断 7. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 8. 下列二次根式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 9. 将分式中的，的值同时扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定 10. 2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（  ） A. B. C. D. 11. 如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是( ) A. B. C. D. 13. 若是整数，则正整数的最小值是（　 　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 14. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 15. 如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：=___________________________． 17. 已知，则_____． 18. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为__________． 19. 若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共52分）． 20. 计算：． 21. 解下列分式方程： （1） （2） 22. 先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 23. 阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为__________． （2）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 24. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 25. 受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺．某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了．该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货单价比第一批的贵了5元，药店用了9900元，所购数量是第一批的3倍． （1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？ （2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？ 26. 在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： （1）计算：． （2）若，求的值． 27. 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，点F是的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省昆明市第三中学2025--2026学年上学期八年级期末数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义，分母中必须含有字母，选项C的分母含有字母，因此是分式． 【详解】∵ 分式是分母中含有字母的代数式， ∴ 检查各选项： A分母为2（常数）， B分母为（常数）， C分母为（含字母）， D分母为5（常数）， ∴ 只有C是分式． 故选：C． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需令分母 即可求解． 【详解】∵ 分式有意义时，则分母， ∴ ， 故选：A． 3. 碳纳米管，又名巴基管，是一种具有特殊结构的一维量子材料，其直径一般为厘米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，关键是知识点的熟练应用； 根据因式分解的定义，判断哪个选项是将多项式化为整式的积的形式即可． 【详解】解：∵ 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； ∴选项A：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项B：右边是，不是积的形式； 选项C：右边是，不是积的形式； 选项D：右边是，是积的形式，符合因式分解； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 6. 已知的三边a，b，c满足，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 不能判断 【答案】A 【解析】 【分析】先根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性可得的值，再根据勾股定理的逆定理即可得． 【详解】解：， ， 解得， ， 是直角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了偶次方的非负性、算术平方根的非负性和绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 7. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，掌握相关知识是解题的关键． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查每个选项是否能约分，即可得到答案． 【详解】解：A、分子与分母无公因式，不能约分，是最简分式； B、，能约分，不是最简分式； C、，能约分，不最简分式； D、，能约分，不最简分式 故选：A． 8. 下列二次根式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．把每个根式化简即可确定． 【详解】A．=2．故A选项错误； B．=2．故B选项正确； C．=．故C选项错误； D．=3．故D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，正确对根式进行化简是关键． 9. 将分式中的，的值同时扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为， 即分式的值保持不变， 故选：C． 10. 2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里，根据甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，最终甲比乙早1小时到达，列分式方程即可． 【详解】解：设乙的平均速度为每小时x公里，则甲的平均速度为每小时公里， 根据题意得． 故选：A． 11. 如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 12. 如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为和， ∴斜边长为， ∴点A所表示的数为． 13. 若是整数，则正整数的最小值是（　 　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值． 【详解】∵，若是整数，则也是整数； ∴n的最小正整数值是3； 故选B． 【点睛】考查了二次根式定义．解答此题的关键是能够正确的对进行开方化简． 14. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小及二次根式的混合运算，先根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算出其取值范围即可．熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， ， 代数式的值应在6和7之间． 故选：B． 15. 如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ，， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：=___________________________． 【答案】． 【解析】 【详解】原式==． 故答案为． 17. 已知，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．根据题干信息结合图形表示出，，，再结合勾股定理即可得解． 【详解】解：根据题意得，，，， 根据勾股定理得． 19. 若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共52分）． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及：乘方、负整数指数幂、零次幂、绝对值、算术平方根，解题的关键是掌握相关运算法则．先计算乘方、负整数指数幂、零次幂、绝对值、算术平方根，再计算乘法，最后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 21. 解下列分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是要注意解分式方程时必须进行检验． （1）方程两边同时乘以，将分式方程转化为整式方程，解整式方程并检验即可； （2）方程两边同时乘以，将分式方程转化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以得：， 整理得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以得：， 去括号得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程无解． 22. 先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， ∴当时，原式． 23. 阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为__________． （2）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底． （1）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可； （2）设，对多项式进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将换回，再分解彻底即可． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设， ． 24. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 答：这片绿地的面积是． 25. 受新冠肺炎疫情影响，口罩、体温计、消毒液等一度紧缺．某药店用3200元采购一批耳温计（测量体温的），上市后发现供不应求，很快销售完了．该药店又去采购第二批同样的耳温计，进货单价比第一批的贵了5元，药店用了9900元，所购数量是第一批的3倍． （1）求第一批采购的耳温计单价是多少元？ （2）若该药店按每个耳温计的售价为210元，销售光这两批耳温计，总共获利多少元？ 【答案】（1）第一批采购的耳温计的单价是160元；（2）销售完这两批耳温计，总共获利3700元． 【解析】 【分析】（1）设第一批采购的耳温计的单价是x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据数量=总价÷单价及两次购进数量间的关系，可分别求出第一、二批购进耳温计的数量，再利用利润=销售单价×数量-进货成本，即可求出结论． 【详解】解：（1）设第一批采购的耳温计的单价是x元，则第二批采购的耳温计的单价是（x+5）元， 依题意，得：， 解得：x=160， 经检验，x=160是所列分式方程的解，且符合题意． 答：第一批采购的耳温计的单价是160元． （2）第一批购进耳温计的数量为3200÷160=20（个）， 第二批购进耳温计的数量为20×3=60（个）． 210×（20+60）-3200-9900=3700（元）． 答：销售完这两批耳温计，总共获利3700元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26. 在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ，即 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： （1）计算：． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 原式 ． 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， ． 27. 已知和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上． （1）如图1，连接． ①请你探究与之间的关系，并证明你的结论； ②求证：． （2）如图2，若，点F是的中点，求的长． 【答案】（1） 解：①，，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； ②∵， ， ∵， ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）先得到，再证明即可得出，，因为是等腰直角三角形，所以，则，则可证； 由可得，在等腰直角三角形中，由勾股定理可得，又因为，代入即可得证； （2）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于，如图： 由②得，，， ∴ ， ， ∵点是的中点， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $