辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

绝密★启用前 辽西重点高中2025~2026学年度上学期高一期末考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 3．若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 4．从某款苹果礼盒中随机抽取5个苹果，测得这5个苹果的果径（单位：）分别为74，75，75，75，76.这5个苹果中，果径在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．0个 5．已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的有（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．与互为反函数，其图像关于对称 D．已知，且，则实数 10．已知，且，则下列正确的有（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为2 11．已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取出两个球，则至少取到一个白球的概率为 ． 13．设正数，满足，则的最小值为 ． 14．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为 ． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．已知集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 16．已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 17．平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 18．若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数”. (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数m的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，且对任意正数x，都有，证明：对任意，都有. 19．已知函数，具有以下性质：①定义域均为，且在上单调递增；②其中一个是奇函数，另外一个是偶函数；③． (1)求函数与的解析式； (2)设函数，求解下列问题： ①的值；②在上的最小值； (3)试探究：是否存在正实数使得函数在区间上的值域为，若存在，求的取值范围，并证明此时；若不存在，请说明理由． 高一数学 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 辽西重点高中2025~2026学年度上学期高一期末考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集定义直接计算可得结果. 【详解】由，可得。 故选：A 2．下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】选项根据指数运算的公式即可判断；选项根据平方根的定义即可判断；选项根据指数，利用完全平方公式即可计算出结果；选项根据平方开根号必须加绝对值，再利用正负取绝对值即可判断. 【详解】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误； 对于：，，故错误； 对于：，所以 ，化简得，所以，故正确； 对于：因为，所以，故错误. 故选：. 3．若是方程的两个根，且，则m的值为（       ） A．或2 B．1或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系得，结合已知列方程求参数值即可. 【详解】由题设，而， 所以，可得或， 由，故. 故选：D 4．从某款苹果礼盒中随机抽取5个苹果，测得这5个苹果的果径（单位：）分别为74，75，75，75，76.这5个苹果中，果径在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】利用标准差的计算公式可得答案. 【详解】这5个苹果的果径的平均数， 方差， 标准差.果径在以平均数为中心，1倍标准差范围内， 即在内的苹果有3个. 故选：C 5．已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件构造函数，并判断该函数的单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果. 【详解】依题意，，，都有， 令，当时，， 则在定义域内单调递增， 又，则， 又，变形得，即， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：B. 7．已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 8．已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数k的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，可得，且，进而可得恒成立，求出的最大值，进而得到实数k的最小值． 【详解】函数的图象如图所示： 当方程有四个不等实根时， ，即， ，即， 且， 若不等式恒成立， 则恒成立， 由 ，当且仅当时等号成立 故， 故实数k的最小值为， 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的有（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．与互为反函数，其图像关于对称 D．已知，且，则实数 【答案】ABC 【分析】对A，由求解判断；对B，令，由一元二次函数的性质求解判断；对C，根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，即互为反函数的两个函数图象的对称关系判断；对D，将已知指数式化为对数式，利用对数的运算法则及换底公式的性质求解判断. 【详解】对于A：要使函数有意义，则，即， 因为函数是增函数，所以， 即函数的定义域为，A正确； 对于B：令，则原函数变为， 因为在单调递增，且时，， 所以原函数的值域为，B正确； 对于C：函数与是同底的指数函数和对数函数， 所以它们互为反函数，其图象关于对称，C正确； 对于D：由得，所以， 所以， 所以，解得，D错误； 故选：ABC. 10．已知，且，则下列正确的有（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，解得， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当，即时，取等号，所以最小值为，故B错误； 对于C，因为， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； 对于D，因为，由A可知最大值为， 所以的最大值为4，所以的最大值为2，故D正确. 故选：ACD. 11．已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 【答案】ABC 【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，D再根据面积关系判断C，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确，D错误. 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取出两个球，则至少取到一个白球的概率为 ． 【答案】/0.7 【分析】列举出基本事件，利用古典概型的概率公式求解. 【详解】袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，记为；2个白球，记为， 从中随机抽取2个球，基本事件为，共有10种， 其中取出的2个球中至少有1个白球的事件有7种，故取出的2个球中至少有1个白球的概率为. 故答案为：. 13．设正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用“乘1”法结合基本不等式即可解得. 【详解】由，可得, 因,，故,, 则， 其中， 当且仅当即时取等号， 结合，解得，， 故的最小值为． 故答案为：． 14．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，由有5个根，得到有3个根，结合图象即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 因为有5个零点， 有5个根， 所以或有2个根， 所以有3个根， 结合图象可得， 所以即实数的取值范围是， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15．已知集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先把集合和它的补集的范围确定下来，再代入的值得到，利用并集，交集的定义就行. （2）是全在左边或全在右边，据此列不等式求. 【详解】（1）解不等式，等价于，解得， 补集. 当时，. ，， 或，， 所以 （2），， 若，得，或. 当时，解得；当时， 因此，实数的取值范围为：或 16．已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 18．若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数”. (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； (2)若函数是“H函数”，求实数m的取值范围； (3)若函数为“H函数”，，且对任意正数x，都有，证明：对任意，都有. 【答案】(1)函数为“H函数”，不是“H函数”，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据“H函数”的定义判断即可. （2）根据“H函数”的定义列出不等式并变形化简，得到，然后求出的最小值即可. （3）根据“H函数”的定义和数学归纳法证明即可. 【详解】（1）对任意正数，， 由于，所以，所以. 所以，所以函数为“H函数”. 对任意正数，， 由于，比如时，，此时. 不满足“H函数”的条件，所以不是“H函数”. （2）因为函数是“H函数”，所以满足. ，令，所以. 所以，由于， 所以要使得不等式对于任意正实数恒成立，则，即. （3）证明：时，，由是“H函数”，， 因，，故，而，故. 假设当时，对，有. 当时，，令，， 由“H函数”性质：. 先证：. 由，，归纳得. 再由归纳假设，，若，则； 若，由且，仍有（因时，）. 因此（因）. 19．已知函数，具有以下性质：①定义域均为，且在上单调递增；②其中一个是奇函数，另外一个是偶函数；③． (1)求函数与的解析式； (2)设函数，求解下列问题： ①的值；②在上的最小值； (3)试探究：是否存在正实数使得函数在区间上的值域为，若存在，求的取值范围，并证明此时；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，. (2)①；② (3)，证明见解析 【分析】（1）由奇、偶函数的对称特征确定是奇函数，则是偶函数，根据③联立与，求得函数与的解析式； （2）代入由（1）所得的解析式，利用指数的运算性质得的值；根据，得.分析在上的单调性，求得值域，利用复合函数的单调性，对进行讨论，可得； （3）假设存在正实数满足题意，利用的单调性获得方程的两个正根，构造函数，分析的单调性及值域，可得的取值范围；结合均值不等式，及二次不等式，可证得. 【详解】（1）因为偶函数关于轴对称，且在轴两侧的单调性不同，所以是奇函数，是偶函数. 所以. 因为， 所以． 所以，. （2）①； ②由（1）知，，所以函数. ，当且仅当，即时，等号成立. 因为是增函数，结合对勾函数的单调性，可知在上单调递增. 所以当时，. 令，，对称轴为. 当，即时，在上单调递增，所以其最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以其最小值为； 当，即时，在上单调递减，所以其最小值为. 综上所述，在上的最小值. （3）存在.理由如下: 假设存在正实数使得函数在区间上的值域为，则 由题可知函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为. 所以.所以是方程的两个正根，即与的图象有两个交点. 令， 当仅当时，等号成立. 因为单调递增，所以时，. 令，则，即，，解得. 当，即时，单调递减； 当，即时，单调递增. 所以，的取值范围是. 此时，，即. 因为，所以，即. 所以，即， 所以， 所以，或. 因为，所以. 高一数学 第17页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $