精品解析：河北省唐山市路南区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2026年1月九年级数学学情调研 注意事项：本次调研共24个题，满分120分，调研时间为120分钟． 一、精心选一选：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个叙述，哪一个是正确的（ ） A. 3x表示3+x B. x2表示x+x C. 3x2表示3x•3x D. 3x+5表示x+x+x+5 【答案】D 【解析】 【分析】根据代数式表达的意义判断各项． 【详解】A、3x=3•x， B、x2=x•x， C、3x2=3x•x， D、3x+5=x+x+x+5． 故选D． 【点睛】此题主要考查代数式表达的意义，注意把运算顺序表述清楚，要明白幂与乘法的区别． 2. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．画树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别A、B、C、D， 画树状图法如下： 由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，其中恰好选中《算学启蒙》的情况有6种， ∴恰好选中《算学启蒙》的概率是． 故选：B． 3. 如图，已知，若，，，则的长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例． 由得到，推出，然后代数求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4. 的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简及减法运算，先化简二次根式，再相减即可． 【详解】解：． 故选：D． 5. 跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据实际意义以及函数的解析式，确定函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：结合物理知识可得， ∴压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，同时自变量是正数． 故选：D． 6. 已知，则代数式值为（ ） A. B. 3 C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，根据已知可得，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，点A在反比例函数图象上，轴于点B．若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义．根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，再根据反比例函数性质确定的值，即可解题． 【详解】解：轴于点B．且， ， 解得或， 反比例函数图象在第一象限， ， 故选：D． 8. 如图，平分，则的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质. 先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的性质即可求出. 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴， 故选：B 9. 如图，、、是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可得：． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：D． 11. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质，解题关键是掌握锐角的余弦定义． 由锐角的余弦定义得到关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴． 故选：B． 12. 若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，第一象限内点的坐标特征． 根据平移规律可得平移后的抛物线的解析式，从而可得平移后的顶点坐标，由第一象限内的点的坐标特征，列不等式组，求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线为， 平移后的顶点坐标为， 根据题意可得， 解得， ∴的取值范围是． 故选：B． 二、细心填一填（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，解答此题的关键是要明确合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类项的法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图． 如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为___________． x 2 7 8 y 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数加法和减法的应用，先求出已知对角线上3个数的和，然后求y，再求x，最后代入计算． 【详解】解：， ∴，， ∴． 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形与正方形关于原点位似，且相似比为．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，也考查了正方形的性质．利用位似的性质得到，则，所以，从而得到E点坐标． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则的值为______． 【答案】 20 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，设销售单价为元时，利润为，列出二次函数，确定最大利润时销售单价为35元，对应销售量为150件；设，根据降价后销售额5670元列出方程，解二次方程得到t的值，进而得到a的值；选择使销售量最大的a值． 【详解】解：设销售单价为元时，利润为， 根据题意，得， ∵， ∴当时，有最大值， 此时，销量为（件）， 则降价促销后，售价为元，销售量为件． 根据题意，得， 设， 则方程为，即， 解得或， 则或， 为使销量尽可能大，则． 故答案为：20． 三、解答题：（本大题共8个小题，满分共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） 0 （2） 10 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角三角函数值的混合计算，熟知特殊角三角函数值是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知的算术平方根是3，b的立方根为． （1）求a与b的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，， 解得，； 【小问2详解】 由（1）可知，； ∴的立方根为2． 19. 如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n． （1）用含m、n的代数式表示切痕总长L； （2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求的值． 【答案】（1）(6m+6n)m； （2）150． 【解析】 【分析】（1）根据切痕长有两横两纵列出算式，再根据合并同类项法则整理即可； （2）根据小矩形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出m+n的值，即可得到结论． 【小问1详解】 解：切痕总长L=2[（m+2n）+（2m+n）] =6m+6n； 【小问2详解】 解：由题意得：mn=30，2(m2+n2)=180，即m2+n2=90， ∴（m+n）2=m2+n2+2mn=90+2×30=150． 【点睛】本题考查完全平方公式、列代数式以及整式的加减运算等知识点，能正确列出代数式是解此题的关键． 20. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们标号为，，，随机摸取一个小球后放回，再随机摸出一个小球． （1）取一次小球，摸到标号“3”的概率为______． （2）请用列表法求两次取出小球标号的和等于4的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了列表法求概率及简单事件的概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式即可求解； （2）首先根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和为4的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3， ∴第一次取出的小球标号为3的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 1 2 3 一共有9种等可能性的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的结果数有3种， ∴两次取出的小球标号的和等于4的概率是． 21. 如图，． （1）若平分，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质得出，然后再利用相似三角形的对应角相等，即可求解； （2）利用线段的和差求出，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（负值已舍）． 22. 已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）k=3；（2）k＜1；（3）不在；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数图象的性质得到：k-1＜0，由此求得k的取值范围； （3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 【详解】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1=1×2， 解得k=3； （2）∵在函数图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1； （3）∵k=13，有k﹣1=12， ∴反比例函数的解析式为． 将点B坐标代入，可知点B的坐标满足函数关系式， ∴点B在函数的图象上， 将点C的坐标代入，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式， ∴点C不在函数的图象上． 23. 如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为． （1）过点作于点，求的值． （2）此时点相对于点升高了多少？ 【答案】（1）的值为； （2）此时点相对于点升高了． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据题意，得，，由即可求解； （2）过点作，根据题意，得到，利用三角函数得到，结合（1）中，利用线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，，， ∴ ∴， 答：的值为； 【小问2详解】 解：过点作， 由题意，得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，即此时点相对于点升高了， 答：此时点相对于点升高了． 24. 冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉淇所在城市新建滑雪场，嘉淇依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道（直线的解析式为）上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看作一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． （1）求点坐标； （2）求抛物线的解析式，并直接写出点坐标； （3）现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 【答案】（1） （2） （3）不能完整做完这个转体运动 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出表达式． （1）由所在直线的表达式为，将代入即可求出答案； （2）利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； （3）根据题意得到，求出，然后代入求解比较判断即可． 【小问1详解】 解：∵所在直线的表达式为， ∵点到地面的距离为5米，      ∴， 解之得：， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， 将，代入抛物线得： ， 解之得：， ∴抛物线的解析式为； ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知：， 整理得， 解得（不符合题意），， 当时，， ∵，      ∴不能完整做完这个转体运动． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月九年级数学学情调研 注意事项：本次调研共24个题，满分120分，调研时间为120分钟． 一、精心选一选：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个叙述，哪一个是正确的（ ） A. 3x表示3+x B. x2表示x+x C. 3x2表示3x•3x D. 3x+5表示x+x+x+5 2. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，若，，，则的长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（ ） A B. C. D. 6. 已知，则代数式的值为（ ） A B. 3 C. 17 D. 7. 如图，点A在反比例函数图象上，轴于点B．若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 如图，平分，则的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 9. 如图，、、是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 12. 若抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、细心填一填（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. ______． 14. 幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图． 如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为___________． x 2 7 8 y 15. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形与正方形关于原点位似，且相似比为．若点的坐标为，则点的坐标为______． 16. 某超市要销售一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．经过试营销后，超市决定按销售利润取最大值时的单价进行销售．为了回馈广大顾客，同时提高该文具知名度，超市决定在1月1日当天开展降价促销活动，若每件文具降价，则可多售出，结果当天销售额为5670元，要使销量尽可能的大，则的值为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，满分共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算 （1）； （2）． 18. 已知的算术平方根是3，b的立方根为． （1）求a与b的值； （2）求的立方根． 19. 如图，将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕为虚线所示，其中有两块是边长都为m厘米的大正方形，两块是边长都为n厘米的小正方形，五块是长宽分别是m厘米、n厘米的全等小矩形，且m＞n． （1）用含m、n的代数式表示切痕总长L； （2）若每块小矩形的面积为30平方厘米，四个正方形的面积和为180平方厘米，试求的值． 20. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们标号为，，，随机摸取一个小球后放回，再随机摸出一个小球． （1）取一次小球，摸到标号“3”概率为______． （2）请用列表法求两次取出小球标号的和等于4的概率是多少？ 21. 如图，． （1）若平分，求的度数； （2）若，求的长． 22. 已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 23. 如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为． （1）过点作于点，求的值． （2）此时点相对于点升高了多少？ 24. 冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉淇所在城市新建滑雪场，嘉淇依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道（直线的解析式为）上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看作一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． （1）求点坐标； （2）求抛物线的解析式，并直接写出点坐标； （3）现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $