精品解析：山西省太原市第四十八中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

高一数学 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则下列不等关系成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 当，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数a，b满足 ，则（ ） A. ab的最小值为1 B. ab的最大值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上不单调 C. 若，则函数的值域是 D. 图象可以由图象向右平移个单位长度得到 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______. 13. 已知定义在R上的函数在区间上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_______ 14. 已知函数的图象与直线有两个交点，与直线有四个交点，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的对称轴方程及单调递增区间； （2）若方程在上有解，求实数m的取值范围． 16. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）设.若对，都有成立，求的取值范围. 17. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的覆盖面积为月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型：与. （1）分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式； （2）若测得6月底凤眼莲的覆盖面积约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适. 18. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 第Ⅰ卷（选择题58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可. 【详解】集合或，所以. 故选：C 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将代入函数解析式求解. 【详解】解：因为， 所以. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】不等式的解为， 若“”，则不一定有“”，充分性不成立， 若“”，则一定有“”，必要性成立， 所以“”是“”必要不充分条件． 故选：B. 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式以及面积公式计算可得结果. 【详解】易知圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为. 故选：D. 5. 设，，，则下列不等关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别构造指数函数、幂函数、对数函数，利用函数单调性，引入中量比较大小即可. 【详解】因为在上递减，所以， 又因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递减，所以， 所以. 故选：D 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及特殊点一一判定即可. 【详解】因为的图象关于原点对称，所以为奇函数， 而为偶函数，为奇函数，为奇函数，为偶函数， 应该为一个奇函数与一个偶函数的积，排除B与D. 又因为，不满足，排除A， 满足，C正确. 故选：C 7. 当，函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出，在同一坐标系下的图象求得交点个数可得. 【详解】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4. 故选：B. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设推出函数的周期性和图象的对称性，再利用这些性质推出，根据和，利用周期性即可求得结果. 【详解】因对于，，则， 故函数为周期函数，4是函数的一个周期， 又是上的奇函数，则，故的图象关于点对称， 于是，， 在，取，得， 因， 则 ， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数a，b满足 ，则（ ） A. ab的最小值为1 B. ab的最大值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 【详解】因为，所以由基本不等式 ， 当且仅当时等号成立，此时ab的最大值为1，故B正确； 由基本不等式， 当且仅当时，即时等号成立，的最小值为，故D正确； 故选：BD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上不单调 C. 若，则函数的值域是 D. 图象可以由图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由五点作图法可得，再整体换元可判断BC选项，最后再由图象的平移及诱导公式可判断D选项. 【详解】由函数，再由五点作图法得， 解得，所以A正确； 所以，令，当时，， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上不单调，故B正确； 若，则，，所以C不正确； 由图象向右平移个单位长度得函数为 ， 所以D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先用赋值法求特殊值，再通过判断奇偶性，结合中心对称性进一步推出周期性，最后利用奇偶性排除错误选项，利用中心对称性验证对称结论，利用周期性拆分求和项，最终确定正确选项即可. 【详解】对于A：令，可得，解得或， 令，， 又因为，若，则，显然不成立，故，故A正确； 对于B：令，得，即， 又因为函数的定义域为，所以为偶函数．故B错误； 对于C：由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数的图象关于成中心对称，故C正确； 对于D：因为为偶函数，， 由C选项得，所以， 即，所以，故函数的一个周期为4， 因为，，，， 所以． 所以，故D正确． 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】先求出函数的定点，然后得到，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】函数的图像过定点，所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：12 13. 已知定义在R上的函数在区间上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及偶函数性质得的图象关于直线对称，且，结合区间单调性和对称性求不等式的解集. 【详解】因为定义域为R，且为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，得，时，得， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知函数的图象与直线有两个交点，与直线有四个交点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的图象与直线有两个交点，可得有两个不同的正实数解，结合对勾函数的性质及图象，分、及，求得；由与有四个交点，可得或，取交集即可得答案. 【详解】因为函数的图象与直线有两个交点， 则有两个不同的正实数解， 所以有两个不同的正实数解， 由对勾函数的性质可知当时，， 所以函数的最小值为， 所以当时，， 不满足有两个不同的正实数解； 当时，， 此时满足有两个不同的正实数解； 当时，时， 要使有两个不同的正实数解，如图所示： 只需即可，解得， 所以， 综上，当有两个不同的正实数解时； 又因为与有四个交点，即有四个不同的实数解， 即和各有两个不同的实数解， 即和各有两个不同的实数解， 所以，解得或， 又因为，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的对称轴方程及单调递增区间； （2）若方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先将系数化正，再整体代换求解； （2）问题转化为与在有交点，由值域求解. 【小问1详解】 由题设， 令，得， 所以函数对称轴方程为； 由，则单调增区间为的单调减区间， 令，则， 所以的单调增区间为； 【小问2详解】 方程在上有解，等价于与的图象有交点． 由，则，即， 所以，故m的取值范围为． 16. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）设.若对，都有成立，求的取值范围. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用换元法，结合二次函数的性质求解即可； （2）结合余弦函数的性质可知，则有对恒成立，即，对恒成立，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，， 设，， 则， 此时函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；当时，. 所以函数的值域为； 【小问2详解】 因为.若对，都有成立， 而在上的最大值为， 故对恒成立， 易得， 因为，当且仅当，即时取等， 所以， 即实数的取值范围为. 17. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的覆盖面积为月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型：与. （1）分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式； （2）若测得6月底凤眼莲的覆盖面积约为，判断上述两个函数模型中哪个更合适. 【答案】（1）， （2）函数模型更合适 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）将分别代入比较即可得解. 【小问1详解】 依题意，可知时，；时，， 对于函数模型，有，解得， 所以. 对于函数模型，有，解得， 所以. 故两函数模型的解析式为，； 【小问2详解】 对于， 当时，， 对于， 当时，， 由于比更接近， 所以函数模型更合适. 18. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 【答案】（1） 由题意可知，，解得，. 所以.易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形； （2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可； （3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式可化为，即， 解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 由题意可知，，得，即， 令，又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 【答案】（1）不是“函数”，是“函数” （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对举反例即可，利用作差法结合因式分解并利用指数函数性质即可判断； （2）（i）令，，不断迭代即可证明； （ii）根据并结合，再根据其定义性质即可证明. 【小问1详解】 对于，取， 则，. 因为，不满足， 故不是“函数”； 对于，对任意的正数，， 有 ， 因为，则，所以函数是“函数”. 【小问2详解】 （i）令，， ， . （ii）因为当时，， 所以对任意，有， 又，则， 又， 所以， 由（i）知，则， 所以， 则， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用是令，，再通过不断迭代即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $