甘肃省陇南市西和县第二中学、第三中学、成名高级中学2025-2026学年高二上学期1月期末检测数学试卷

参考答案 题号 1 2 3 6 7 答案 D B A 0 B 1.答案：D 解析：直线√3x-y+4=0可化为y=√3x+4, 所以直线的斜率k=√ 设直线的倾斜角为a,则tana=√，因为0°≤a<180, 所以a=60°， 故选D 2.答案：B 解析：对于双曲线：因为a2=16,b2=9, 所以c2=a2+b2=25,所以c=5 所以双曲线的右焦点坐标为：（5,0) 对于抛物线y2=2px(p>0),因为焦点为(5,0)，即2=5→p 所以其准线方程为：x=-卫=-5. 2 故选：B 3.答案：A 解析：由a,+a=8,得2a4=8,所以a4=4, 又4，=0，所以公差d=a4-2=2, 4-2 故a=a2-d=-2,则S。=6a,+ 6×5 d=18. 2 故选：A 4.答案：D 解析：对于A:由题意抛物线C:y2=8x的准线方程为x=-2, 对于B:因为抛物线的准线方程为x=-2, 由抛物线的定义可知AF=x+2=8,，所以x=6,故B错误； 8 9 10 11 C BD ABD BD =10. 故A错误； 对于C:由题意直线AB斜率不为0且过点F(2,0), 所以不妨设AB:x=my+2, 将其与抛物线方程C:y2=8x联立消去x, 得y2-8y-16=0, 而△=64m2+64>0,y+2=8m,yy2=-16, 所以AFBF=(x+2)(x2+2)=(my+4)(my2+4) =m2yy2+4my+y2)+16 =m2.(-16)+4m.8m+16=16m2+16, 当且仅当m=0即AB:x=2时，等号成立， 所以AFBF最小值为16，故C错误： 对于D:由C选项分析可知 0A.0B=xx2+yy2=(my+2)(my2+2)+My2 =(m2+1)y1y2+2m(y,+y2)+4 =-16(m2+1)+16m2+4=-12<0, 由于O,A,B,不共线， 所以OA,OB是钝角， 即∠AOB为钝角，故D正确. 故选：D. 5.答案：C 解析：要求a+a2+…+an=l00的n的最大值，那么a=3, {a}(k=1,2,…,n-1,n∈N)是公差为1的等差数列，通项a a+a,++a1-I-+),令a-la+4≤10，得n 2 2 且 =k+2,则 ≤12，当n=12时， a1=13,an=12,不满足题意.当n=11时，an1=12,a,=25，满足题意. 综上，n的最大值为11 6.答案：C m-月引 24-a-4-4分”-a-} 所以Sn=2a,-an,即甲是乙的充分条件； 当Sn=2a-an时，若q=1,则na,=2a,-a,=a, 由等比数列中a,≠0知，Sn=2a,-an对任意n∈N不成立， 所以g1,所以a1-g1=24-4g,即2g-g1-24+1=0, 1-g 可得(2g-1)(g--1=0,而已知q≠1，则g-1-1=0不恒成立， 故必有24-1=0，解得9-之即甲是乙的必要条作， 综上，甲是乙的充要条件. 故选：C 7.答案：B 解析：由题意知两条动直线x+my=0和mx-y-4m+4=0交于点P, 联立直线方程消去m可得x2+y2-4x-4y=0, 由于mx-y-4m+4=0,即m(x-4)-y+4=0, 该直线过定点(4,4)，但不会过点(4,0)， 故P点轨迹方程为(x-22+(y-2)2=8(去掉点(4,0))， 圆心为D(2,2),半径为R=2√2： C:(x+2)2+(y+2)2=3上两点E,F间的距离为22， 9为线段EF的中点，则圆C的圆心(-2，-2)到的距离为√（√3）2-(2)}=1， 则2点轨迹方程为(x+2)2+(y+2)2=1,圆心为C(-2,-2),半径为r=1; 由于(x-22+(y-2)2=8与圆(x+22+(y+2)2=1的圆心距满足 1CD上4W2>R+r=22+1,故这两圆外离， 则P的最小值为CD-R-r=2+2+(2+2-22-1=2V2 故选：B 8.答案：C 解析：直线1：x-2y+5=0的斜率，如图， M Mr-OM,得∠AMP0=∠AMOF,则直线oM的斜率am= +片=1 设4(5y),8(,),M(x),则a b2 ,两式相减得-x =1 a2b21 于是B5+x=》-丛，而4业=)1业-上=kw=- 1 a乃+乃￥-x￥-x32'x+x3x0 2 (2)=解得81 因此-b2 a=4 所以椭圆的离心率e-V口-B ，b3 a2=2 故选：C. 9.答案：BD 1, -经=0， b2 10.答案：ABD 解析：根据题意，当n≥2时，a,-a-1=n,an1-an-2=n-l,…,a2-a1=2, 累加得a,-a,=2+3+4++n= (2+m(n-1_n2+n-2 2 2 a= n+,易知a=1也满足所以a,=mm+,4,=5X6=15,故A正确： 2 2 2 0-0,=1+1,故B正确：a=2025×2026 2025×1013为奇数，故C错误； 2 ae品g} 2ann(n+1 1+1++1-21 a az an 223 n+1 meN152-2<2,即1≤1+1+…+1<2，故D正确 n+1 a az a 故选：ABD. 11.答案：BD 解析：由x=2y,得x2=4y(x≥0)，则曲线x=2y为抛物线x2=4y的右半部分 (包括原点)抛物线x=4y的焦点为F(0,1),准线1：y=-1,Vx2+(y-1)2=PF21, 故A错误由抛物线的定义易知B正确.原点到直线y=-x-2的距离为V2,其为点P 到直线y=-x-2的距离的最小值，故C错误.设点A1,5)到准线1：y=-1的距离为d, 则Vx2+(y-1)2+Vx-1)2+(y-5)2=PF1+PA≥d=5+1=6,故D正确.故选BD. 12.答案：10：10W5 解析：由题意，圆心C(4,0), 则圆心C到直线1的距离d=4+6 =5, V1+3 因为圆C上到直线1的距离为5的点有且仅有3个，所以r=10, 则直线1被圆C截得的弦长为2√102-52=105 故答案为：10：10√3 13.答案：17 解析：设{an}的公比为g,则S2=S4+gS4+gS4=273S4,解得g=16, 所以S=S+gS=1+16=17. 故答案为：17. 14.答案：2 1+2=-3,a 解析：由题意得：a,=-2 11 1+320,=31.1+ =1-3-1,a 3 3=2, 1+ 2 1、1 3 所以数列{a,}是周期为4的周期数列， 所以a2025=a45061=a=2. 故答案为：2， 15.(13分）答案：()k=1,an=23 23++n-3到 解析：(1)由题意得：a=S,=3-k,42=S2-S,=6,a=S3-S,=18. 因为{a,}是等比数列，所以a巧=a,·a, 即36=18(3-k),解得k=1, 故Sn=3”-1. 当n≥2时，0，=Sn-S-1=(3”-1-(3-1-1=3”-3m-1=23-, 当n=1时，4，=S,=2满足上式， 故an=23m-1. (2)由(1)得，a,=23”-,所以b,=3”+n, 则Tn=b+b+b+…+b,=(3+32+33+…+3+1+2+…+m 31-3）+n(n+=3+m2+m-3 1-3 2 16.（15分)答案：(1)证明见解析 (2)V3 2 (3)25 5 解析：(1)连接BD,交AC于F,连接EF. P E B 因为。ABCD中，F为对角线交点，所以F为BD的中点， 又E是PD中点，所以EF IIPB, 又EFc平面AEC,所以PBt平面AEC, 所以PB∥平面AEC· (2)在△ABC中，∠ABC=60°，AB=1,BC=AD=2AB=2, 由余弦定理得AC=√AB2+BC2-2 AB.BC.c0s60°=√3， 则AB2+AC2=4=BC2,所以AB1AC. 又PA⊥底面ABCD,AC,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA1AC 所以以A为原点，以AB,AC,AP所在直线为xy,z轴建立空间直角坐标系， 则40 .oj.a(L.c.o.cei.oo-1i-ptaa间-55 i以亚-（59，c-ooa厨-la0 设平面4EC法向量为m=(x八，则m:正=0， mAC=0 「15 即2 、y+ 2 2 z=0,令2=1，则x=5y=0,所以m=(V50, V3y=0 BA.m -1x5 所以点B到平面AEC的距离d= + 2 (3)由(2)得BP=(-1,0,V3,BC=-1,3,0 设平面BPC的法向量为n=(a,b,c), 则n-驴=0，即-a+5c=0令：1，则a=5,b=1所以万=（5，1) n.BC=0-a+√3b=0 所以平面AEC与平面BPC所成锐二面角余弦值为 cos m,= m元3x3+125 m同2×55 17.(15分)答案： 1)+ =1 43 (2)见解析 a-c=1 解析：(1)由题意得 c 1 ,解得 a2=4 a 2 1b2=31 a2=b2+c2 则椭圆E的标准方程为x+y 1. 43 2:由题知-10若-l ,此时直线BC的斜率不存在，不合要求，舍去， 设B(xy),C(x2,y),x≠-1，此时x≠x2,x≠-x2 则4(-x,),k=5+上，k=-上， x2+x1x2-x1 又上+片-1①，三+5=1②， 43 43 式子0-②得-片-3 X7-x 41 所以kk,=+4少-出=-片=-3 x2+x x2-X x2-x (i)由题意可知，三角形BCD面积等于三角形OBC的面积2倍， 椭圆左焦点F为(-1,0)，可设直线BC方程为x=my-1, x=my-1 联立方程组 .y2 =1 43 即(3m2+4)y2-6my-9=0, 6m -9 故+⅓=3m+43m2+4 珠 C F B D 所以三角形08C的面积为Soc=0r-=2-为=)%+⅓P-4 6m 2 36 6Vm2+16Vm2+1 6 3m2+4 3m2+4 3m2+43m2+1+13Nm2+1+ 1, √m2+1 令t=√m2+1t21, 由对勾函数性质可得y=31+}在L,+0)单调递增， 故y=3t+≥4，当且仅当t=1取得最小值成立， 6 3m2+1+1 ≤2，当且仅当Vm+1=1,即m=0时成立， Vm2+1 三角形OBC的面积的最大值为3 所以△BCD面积的最大值为3. 18.(17分)答案：1.证明：对每个n∈N,当x>0时，fn（x)= 故f(x)在(0，+o∞)[内单调递增 由时=0，当n≥2天0克+守+…+ >0, 故fn(1)≥0. <0, 34 1 2 3 所以存在唯一的xn∈ 满足f(x）=0. 2.证明：当x>0时，f+(x)=fn(x)+ (n+)2>(x), (x)>f(x)=f)=0. 由f(x)在(0，+o∞)[内单调递增知，xn+1<xn, 故{x}为单调递减数列， 从而对任意n,p∈N,xn+p<xa 对任意p∈N,由于fn(xn)=-1+xn+ +…+ 22 1=0,① n 人，化)=-l+n+2+ +2+ 22 n2(n+1)2 (n+p)2 ①-②式并移项，利用0<x+p<x,≤1， 1 因此，对任意p∈N,都有0<x,-x+p< n 19.17分>答案：1)4=.a,=1a=月 (2)a,=3 ++>0. n n 0,② 绝密★启用前 2025-2026年西和县第二中学、第三中学、成名高中高二期末统一检测考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．直线的倾斜角为( ) A. B.120° C.150° D.60° 2．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为( ). A. B. C. D. 3．记等差数列的前n项和为，，，则( ) A.18 B.28 C.30 D.42 4．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于，两点，则下列选项中结论正确的是( ) A.抛物线C的准线方程为 B.若，则 C.的最大值为16 D.为钝角 5．已知是各项均为整数的递增数列，且.若，则n的最大值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 6．已知数列为公比为q的等比数列，为数列的前n项和.设甲：公比；乙：.则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．已知两条动直线和交于点P，圆上两点E，F间的距离为.若点Q是线段的中点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8．直线经过椭圆的左焦点F,且与椭圆交于两点,若M为线段中点,,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图,,是双曲线与椭圆的公共焦点,点A是,在第一象限内的交点,若,则( ) A.双曲线的渐近线为 B.的离心率为 C.的方程为 D.的面积为 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球……设第n层有个球,则( ) A. B.是等差数列 C.为偶数 D. 11．已知为曲线上一动点，则( ) A.的最小值为 B.存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 C.P到直线的距离的最小值小于 D.的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若圆上到直线的距离为5的点刚好有3个,则________,直线l被圆C截得的弦长为________. 13．已知等比数列的前n项和为,若,且,则___________________. 14．已知数列满足:,,则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知等比数列的前n项和. (1)求k的值及数列的通项公式； (2)设,求数列的前n项和. 16．（15分）如图,在四棱锥中,底面,四边形为平行四边形,其中,,,且,点为的中点. （1）证明:平面. （2）求点B到平面的距离. （3）求平面与平面所成角的余弦值. 17．（15分）已知椭圆分别是左、右焦点,P是椭圆上一点,的最小值为1,离心率为. （1）求椭圆E的标准方程; （2）直线与椭圆E相交于A,B,点A在第一象限,直线与椭圆E的另一交点为C,且点C关于原点O的对称点为D. （i）若直线BC,AC的斜率分别为,证明:为常数; （ii）求面积的最大值. 18．（17分）设函数.证明: 1.对每个,存在唯一的,满足; 2.对任意,由1中构成的数列满足. 19．（17分）定义:已知双曲线,,过C的上支上一点斜率为k的直线与C的下支交于点,点关于x轴的对称点为,过点斜率为k的直线与C的下支交于点,点关于x轴的对称点为,……,以此类推,过点斜率为k的直线与C的下支交于点,点关于x轴的对称点为.记,则称数列为C的“k数列”. 引理:在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点,,若O,A,B三点可以构成三角形,则的面积. 利用上述定义和引理求解下列问题:若为双曲线的上支上一点,且C的离心率为,数列为C的“数列”. （1）求,,; （2）求数列的通项公式; （3）记线段,的中点分别为,证明:的面积为定值（O为坐标原点）. ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $