精品解析：内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高一上学期期末数学试题

高一年级 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回． 3．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集运算的概念，求解即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 命题 ，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题 ，为全称量词命题， 则是，. 故选：A 4. 函数在下列哪个区间上存在零点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性结合零点存在性定理判断区间即可. 【详解】因为和都是R上的增函数， 所以在R上单调递增， 因为，， 所以，所以在有零点， 所以存在唯一零点. 故选：B 5. 某校高一年级10个班参加艺术节合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85．则这组数据的25%分位数、70%分位数为（ ） A. 88，92 B. 88，92.5 C. 89，92.5 D. 90，94.5 【答案】C 【解析】 【分析】由百分数的计算可得. 【详解】从小到大排列为85，87，89，90，91，91，92，93，94，96， 因为，， 所以这组数据的25%分位数为89，70%分位数为. 故选：C. 6. 已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【详解】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 7. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ） A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】 根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【详解】对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误. 对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误. 对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误. 对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题. 8. 若，则（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将指数化为对数，再根据对数运算可得. 【详解】由可得， 可得 . 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 若任取，则是必然事件 B. 若任取，则是不可能事件 C. 若任取，则是随机事件 D. 若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：因为 ，，所以，因此若任取，则是必然事件，真命题； 对于B：因为 ，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此若任取，则是随机事件，假命题； 对于C：因为 ，任取，有可能成立，也可能不成立， 因此任取，则是随机事件，真命题； 对于D：因为 ，，所以一定有，显然任取，则是必然事件，真命题． 故选：ACD 10. 已知，，，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的单调性和基本不等式得出答案. 【详解】已知是单调递增的函数，且; 因为 单调递增，因为，由基本不等式可得， 所以，即，选项A正确. ，而， 所以，选项D正确，C错误. 因为，所以，即，选项B正确. 故选：ABD 11. 定义平面斜坐标系，为斜坐标系的原点，记，、分别为轴、轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点满足，则记点的斜坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 在斜坐标系下，的坐标不能由点的位置唯一确定 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则、、三点共线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平面向量坐标的表示及运算即可对A判断求解；由题可得，即可对B判断求解；，，即可求得从而对C判断求解；由题可求得，，假设、、三点共线，则可得，但无解，即可对D判断求解. 【详解】A：由题可设在斜坐标系下记点的斜坐标为，原点，，故的坐标可由点的位置唯一确定，故A错误； B：若，，所以，故B正确； C：若，， 则，故C正确； D：由，，， 则，， 假设、、三点共线，则可得，即，无解，故假设不成立，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______．（用区间作答） 【答案】 【解析】 【分析】分式不等式转化为整式不等式. 【详解】等价于 解得 或。 所以解集是 故答案为： 13. 一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取出两个球，则至少取到一个白球的概率为______． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】列举出基本事件，利用古典概型的概率公式求解. 【详解】袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，记为；2个白球，记为， 从中随机抽取2个球，基本事件为，共有10种， 其中取出的2个球中至少有1个白球的事件有7种，故取出的2个球中至少有1个白球的概率为. 故答案为：. 14. 若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 【答案】或1 【解析】 【分析】根据题意先求出的零点，根据对称性得到或，再作验证即可. 【详解】由题意， 当时，为三次函数无对称轴， 当时，令可得，或，或， 即函数与轴交点坐标为， 故根据对称性，或，得或， 验证如下： 当时，， 此时，故函数关于对称，满足题意； 当时，， 此时，故函数关于轴对称，满足题意. 故答案为：或1 四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明． 15. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1） （2）300人 （3） 【解析】 【分析】（1）由所有频率之和为1求解； （2）由年龄在内的频率计算求解； （3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解. 【小问1详解】 由题可知组距为， 则： 解得：. 【小问2详解】 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为： 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人. 【小问3详解】 估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为： . 16. 如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． （1）若是上靠近的三等分点，用和表示； （2）若是中点，设，，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用向量的加法法则计算可得； （2）利用向量的四边形法则结合共线的基本定理可得. 【小问1详解】 因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. 【小问2详解】 若是中点，设，， 则， 因为三点共线，所以. 17. 某产品的市场调研如图所示，产品市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，产品的成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线表示． （1）写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的成本与上市时间的函数关系式； （2）若设定市场售价减去成本为纯收益，则何时上市的产品纯收益最大？ （注：产品市场售价和成本的单位：元／件，时间单位：月） 【答案】（1）；. （2）当月时上市有最大收益元／件. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式；根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式； （2）结合（1）列出纯收益的解析式，然后求出利润的最大值. 【小问1详解】 由题意可设函数解析式， 当时，，， 当时，，， 所以； 设函数解析式， 由图可得，解得， 所以. 综上可得：；. 【小问2详解】 设收益， 当时，， 当时，有最大值； 当时，， 当时，有最大值； 综上：当月时上市有最大收益元／件. 18. 掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数 （1）求两枚骰子点数相同的概率； （2）记事件：红骰子的点数为1；事件：两枚骰子的点数和为5；事件：两枚骰子的点数和为7 （ⅰ）判断事件与是否相互独立； （ⅱ）判断事件与是否相互独立． 【答案】（1） （2）（ⅰ）事件与不相互独立 （ⅱ）事件与相互独立 【解析】 【分析】（1）列出样本空间由古典概型公式计算即可； （2）由相互独立的定义进行判断即可. 【小问1详解】 用表示红色和蓝色两枚均匀的骰子朝上的面的点数， 则样本空间， 记事件为两枚骰子点数相同， 则. 【小问2详解】 （ⅰ）,， , 所以, , , 故事件与不相互独立， （ⅱ）因为, ,所以, , 故事件与相互独立. 19. 已知函数对任意的实数m，n都有，且当时，有恒成立． （1）求的值； （2）求证在R上为增函数； （3）若，，对任意的，则关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明：任取，且， ∵，∴，即 ∴，所以在R上为增函数． （3）. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令求； （2）设是R上任意两个实数，且，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为恒成立，利用函数的单调性可转化为，有恒成立，令，构造函数 ，即成立即可，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）由，令时， 则，解得 （2）略 （3）令时， 关于x的不等式恒成立， 等价于恒成立，即恒成立 ∵在R上为增函数，∴ 又∵在单调递减 ∴，有恒成立， 令，则，等价于，恒成立， 令，即 又对称轴为，函数在上单调递增，， 所以实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数求值，抽象函数的单调性，及利用函数的单调性不等式，要设法把隐性转化为显性，方法是： （1）把不等式转化为的模型； （2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意奇偶函数的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级 数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，把答题卡交回． 3．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题 ，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数在下列哪个区间上存在零点（ ） A. B. C. D. 5. 某校高一年级10个班参加艺术节合唱比赛的得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85．则这组数据的25%分位数、70%分位数为（ ） A. 88，92 B. 88，92.5 C. 89，92.5 D. 90，94.5 6. 已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ） A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 8. 若，则（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（ ） A. 若任取，则是必然事件 B. 若任取，则是不可能事件 C. 若任取，则是随机事件 D. 若任取，则是必然事件 10. 已知，，，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义平面斜坐标系，为斜坐标系的原点，记，、分别为轴、轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点满足，则记点的斜坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. 在斜坐标系下，的坐标不能由点的位置唯一确定 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则、、三点共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为______．（用区间作答） 13. 一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取出两个球，则至少取到一个白球的概率为______． 14. 若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明． 15. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 16. 如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． （1）若是上靠近的三等分点，用和表示； （2）若是中点，设，，求的值． 17. 某产品的市场调研如图所示，产品市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，产品的成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线表示． （1）写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的成本与上市时间的函数关系式； （2）若设定市场售价减去成本为纯收益，则何时上市的产品纯收益最大？ （注：产品市场售价和成本的单位：元／件，时间单位：月） 18. 掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数 （1）求两枚骰子点数相同的概率； （2）记事件：红骰子的点数为1；事件：两枚骰子的点数和为5；事件：两枚骰子的点数和为7 （ⅰ）判断事件与是否相互独立； （ⅱ）判断事件与是否相互独立． 19. 已知函数对任意的实数m，n都有，且当时，有恒成立． （1）求的值； （2）求证在R上为增函数； （3）若，，对任意的，则关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $