专题1.4 不等式拓展（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式、万能k法）讲义-2026届高三数学一轮复习

专题1.3 不等式拓展（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式、万能k法） 1.3.1 糖水不等式 知识点梳理 假如有一杯糖水，糖水质量为a，糖水中糖的质量为b，则此时糖水的浓度为：，此时a>b>0，若向杯中加入m(m>0)克糖，此时糖水的质量为a+m，糖的质量为b+m，则此时糖水的浓度为.由生活常识可知，糖水会变甜，即加入糖后，糖水的浓度变大了.由此可得糖水不等式：. 典型例题 例1.比较和的大小. 解：∵，， 由糖水不等式可得：，∴. 例2.已知,,.则（ ） A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 解：方法一：显然，，则， 因此，令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，，即有，于是，有， 则，即，所以.故选：. 方法二：，则；，则；根据糖水不等式得， .∴，故排除ABC.故选:D. 例3.已知，请证明：. 证明: 设的前项和为,由糖水不等式可知：, ; ∵，则，∴. 随堂演练 1.(多选题) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 解：A. 由糖水不等式得： 时, , 故 A 错误. B. , 故 B 正确. C. , 故 C 正确. D. , , 故 D 正确.故选: BCD. 2.已知.设,则( ) A. B. C. D. 解:方法1: 由题意可知, ; 由,得,由,得, ,可得; 由,得,由,得, , ,可得. 综上所述,.故选: A. 方法2:先利用换底公式变化 , , ,排除D. 故选A. 3.设,则( ) A. B. C. D. 解:方法1:因为,所以, 故,即, 因为,而, 所以,故,综上,故选: D 方法2: 故,排除B, C 再由,可得,即, 故,排除A,故选:D. 4.已知,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 解：方法一:构造函数,其中,则, 所以,函数在上为减函数, 所以,即,则 则， 因此, .故选: D. 方法二: 则， ，则.故选:D. 5.已知,则( ) A. B. C. D. 解：据糖水不等式,所以, 所以,即.故选: B. 6.设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 解：由题意可知,, , 利用糖水不等式可知; 又, 又因为, 同理根据糖水不等式,,即,故选：D. 7.(多选题)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 解: 由,则.若 , . 若,则，故. 若,则，故. 由题设, 结合不等式性质显然有.故选: ABC. 8.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖 (假设全部溶解)，糖水变甜了. （1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立; （2）在锐角中，根据(1)中的结论，证明：. 解: (1)若，则. 证明: . 因为，所以，又，故.因此. (2)证明: 在锐角三角形中，由 (1) 得, 同理，.以上各式子相加得. 1.3.2 柯西不等式 知识点梳理 1.在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中，巧用柯西不等式会比较方便快捷. 二维柯西不等式:等号成立条件:. 多维柯西不等式:.等号成立条件:. 2.二维形式的证明: （1）代数法证明：.当且仅当,即时成立. （2）多维柯西不等式向量法证明：令 则 = ∴， ∴. 则.等号成立条件： . 典型例题 例1.设，且，则的最小值是 ( ) A. B. C. D. 解：∵， ∴，时等号成立. 故答案为: . 例2.设均为实数，则的最大值是 . 解:由柯西不等式知, 所以,所以, 当且仅当时等号成立,故答案为:. 例3.已知实数，则的最小值是 . 解：令，取等条件： ①， ，取等条件： ②， ，当时取等号③， 联立①②③及. 例4.若为实数，且，求的最小值为 . 解：由柯西不等式,得：， 因为,所以,当且仅当时,不等式取等号, 此时,所以 的最小值为4. 故答案为: 4 随堂演练 1.设，则的最小值为 . 解：方法一：， 当且仅当 时，等号成立. 方法二：由柯西不等式可知， 当且仅当 时，等号成立.故答案为：9. 2.已知实数，则的最小值是 . 解: 当且仅当时取等号，故答案为:. 3.设为正数，且，则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 解:解法一 :根据题意，有:, =,其中，令, 解得,于是 等号当时取得，因此所求最大值为 解法二: 根据题意，有: =，当，且即时取得等号.因此所求最大值为. 故选: A. 4.已知，且，则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 解：由可得即 由可知，所以= 由 可得 由柯西不等式得： 所以 ，当 即 时取等号. 所以 的最大值为 .故选：C. 5.已知，且，则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 解：由柯西不等式得: =. 所以时, 等号成立, 故选B. 6.已知，且，则的最小值为 ( ) A.1 B.3 C.6 D.9 解: ，∴ =， 当且仅当时等号成立.故选 D. 7.若，则的最小值是 ( ) A. 0 B. C. D. 解：由已知， 整理得， 由柯西不等式得 ， 当 时取等号, 所以, 即 解得, 所以的最小值为.故选：C. 8.若实数满足，则的最小值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上答案都不对 解：根据题意,有， 而，当且仅当时等号成立. 同理，当且仅当时等号成立. 记题中代数式为,于是 . 当的最小值为 2. 故选: B. 9.已知均为非负数，且，则的最小值为 . 解:因为 均为非负数, 且 , 则 , 所以由柯西不等式可得: 所以；当且仅当 即，解得： 即 时, 等号成立.故的最大值为2.故答案为：2. 10.已知实数满足，则的最大值为 . 解：根据柯西不等式:， 根据柯西不等式，对于实数，有. 令，则, , , , 当等号成立时，即 ，也就是，即. 此时取得最大值.故的最大值为. 1.3.3 权方和不等式 知识点梳理 柯西不等式:对于任意的恒有不等式. 对柯西不等式变形, 易得. 在时,我们就有:,当且仅当时,等号成立.这就是权方和不等式.权方和不等式拓展形式: ①若,则：成立,当且仅当时,等号成立. ②对于, ,，当且仅当时,等号成立. 观察上式特征, 成为该不等式的权,它的特点是:分子的幂指数比分母的幂指数高次. 典型例题 例1.若直线过点，则的最小值为 . 解: 因为直线过点, 所以,因为, 所以， 当且仅当 , 即 时取等号,所以的最小值为.故答案为: . 例2.已知，且，则的最小值为 . 解：方法一：设， 可解得，从而 =， 当且仅当时取等号.故答案为:. 方法二: 考虑直接使用柯西不等式的特殊形式, 即权方和不等式: ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为:. 例3.若,且,则的最小值为 . 解:当且仅当,当且仅当时取等号. 故答案为：. 例4.求的最大值为 . 解:， 当且仅当 即或时取等号. 故答案为: . 随堂演练 1.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表达式如下：设正数，满足，当且仅当时，等号成立.则函数的最小值为( ) A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 解：因为,则,当且仅当时等号成立,又,即, 于是得,当且仅当,即时取“=”, 所以函数的最小值为.故选: D. 2.若正数满足，则的最小值是( ) A. B. C.5 D.6 解：， 当且仅当,即时取等号. 故答案为: C. 3.“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的. 其具体内容为: 设,则,当且仅当时,等号成立.根据权方和不等式,若,当取得最小值时,的值为( ) A. B. C. D. 解:由题意得, , 则,当且仅当, 即时等号成立,所以.故选:C. 4.已知,则的最小值为 . 解:令. ,, 当且仅当取等号，故答案为：. 5.已知，则的最小值是 . 解：令，则, 当时，即时，两个等号同时成立，原式取得最小值8. 故答案为: 8. 6.若正数满足,则的最小值为 . 解:,当且仅当时取等号.解得：. 故答案为: 9. 7.已知正数满足,则的最小值为 . 解:,当且仅当时取等. 故答案为:1. 8.已知是正实数且满足,则最小值 . 解:,当且仅当时取等. 故答案为: 3. 9.已知正数满足,则的最小值为 . 解：≥， 当且仅当时取等号.故答案为: . 10.已知,则的最小值是 . 解:由题意得: 当,即 时,取得最小值.故答案为: 11.已知实数,且,则 的最小值为 . 解:, 当且仅当 时取等号.故答案为：. 12.已知,,则的最大值为 . 解：，则，当且仅当时取等号.故答案为：2. 1.3.4 万能k法 知识点梳理 对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于, 然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可,此方法称之为万能法. 典型例题 例1.若实数满足,则的最大值是 . 解：方法1(万能法): 令, 则 , 代入得：, 整理可得：,即 . ,得：, 故. 方法2: , . , .解得：. 故可知的最大值是.故答案为. 例2.若存在正实数,使得,则实数的最大值为 . 解：, , , , ， 解得：① ， ② 由①②可得： 综上：的最大值是.故答案为. 随堂演练 1.已知实数满足,则的最大值是 . 解：方法1:令,则,代入原式化简得, 因为存在实数,则,即, 化简得：,解得：, 故的最大值是,故选：C. 方法2:,整理得, 令,其中, 则, 所以,则,即时,取得最大值,故选：C. 2.设正实数满足,则实数的取值范围是 . 解：正实数满足，化为， 关于的方程有正实数根，. 又，与同号，，解得：. 由，，. ，， ，解得:. 实数的取值范围是.故答案为. 3.若正实数满足,则的最小值为 . 解:方法1: 正实数 满足 , ∴， 当且仅当,即时取等号,则的最小值为. 方法2: 令,则带入原式, 整理得,从而, , 解得：或(舍),故答案为：. 4.已知正实数满足,那么的最大值为 . 解：正实数满足，化为，关于的一元二次方程有正实数根，，又，解得.那么的最大值为 .故答案为 . 5.已知实数满足,,则的最大值是 . 解：方法 1:令时,. 为实数, ,即,解得：. 方法2:，因为, 所以 , 解得：, 所以的最大值为, 故答案为：. 6.已知实数满足,则的取值范围是 . 解：设,则. , ,整理得：. 是正实数, ,即, 整理得：, 解得：或 (舍去).故答案为：. 7.实数满足,设,则 . 解：方法1: 令,则. , . . 又. 关于的方程在上有解.. . 的最小值为.. . 又. 设. .即. . . . .故答案为：. 方法2:令. 整理得： . 即. 解得：. . . 8.设为实数,若,则的最大值是 . 解：令,则, , 化为. 为实数, , 解得：, 解得：. 的最大值为, 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 不等式拓展（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式、万能k法） 1.3.1 糖水不等式 知识点梳理 假如有一杯糖水，糖水质量为a，糖水中糖的质量为b，则此时糖水的浓度为：，此时a>b>0，若向杯中加入m(m>0)克糖，此时糖水的质量为a+m，糖的质量为b+m，则此时糖水的浓度为.由生活常识可知，糖水会变甜，即加入糖后，糖水的浓度变大了.由此可得糖水不等式：. 典型例题 例1.比较和的大小. 例2.已知,,.则（ ） A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 例3.已知，请证明：. 随堂演练 1.(多选题) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( ) A.若，则 B. C.若为三条边长，则 D.若为三条边长，则 2.已知.设,则( ) A. B. C. D. 3.设,则( ) A. B. C. D. 4.已知,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 5.已知,则( ) A. B. C. D. 6.设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 7.(多选题)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( ) A.若，则 B.若，则 C. D.当时， 8.已知克糖水中含有克糖，再添加克糖 (假设全部溶解)，糖水变甜了. （1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立; （2）在锐角中，根据(1)中的结论，证明：. 1.3.2 柯西不等式 知识点梳理 1.在求二元(或多元)代数式最值或者二元(或多元)不等式的证明的题目中，巧用柯西不等式会比较方便快捷. 二维柯西不等式:等号成立条件:. 多维柯西不等式:.等号成立条件:. 2.二维形式的证明: （1）代数法证明：.当且仅当,即时成立. （2）多维柯西不等式向量法证明：令 则 = ∴， ∴. 则.等号成立条件： . 典型例题 例1.设，且，则的最小值是 ( ) A. B. C. D. 例2.设均为实数，则的最大值是 . 例3.已知实数，则的最小值是 . 例4.若为实数，且，求的最小值为 . 随堂演练 1.设，则的最小值为 . 2.已知实数，则的最小值是 . 3.设为正数，且，则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 4.已知，且，则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 5.已知，且，则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 6.已知，且，则的最小值为 ( ) A.1 B.3 C.6 D.9 7.若，则的最小值是 ( ) A. 0 B. C. D. 8.若实数满足，则的最小值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上答案都不对 9.已知均为非负数，且，则的最小值为 . 10.已知实数满足，则的最大值为 . 1.3.3 权方和不等式 知识点梳理 柯西不等式:对于任意的恒有不等式. 对柯西不等式变形, 易得. 在时,我们就有:,当且仅当时,等号成立.这就是权方和不等式.权方和不等式拓展形式: ①若,则：成立,当且仅当时,等号成立. ②对于, ,，当且仅当时,等号成立. 观察上式特征, 成为该不等式的权,它的特点是:分子的幂指数比分母的幂指数高次. 典型例题 例1.若直线过点，则的最小值为 . 例2.已知，且，则的最小值为 . 例3.若,且,则的最小值为 . 例4.求的最大值为 . 随堂演练 1.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表达式如下：设正数，满足，当且仅当时，等号成立.则函数的最小值为( ) A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 2.若正数满足，则的最小值是( ) A. B. C.5 D.6 3.“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的. 其具体内容为: 设,则,当且仅当时,等号成立.根据权方和不等式,若,当取得最小值时,的值为( ) A. B. C. D. 4.已知,则的最小值为 . 5.已知，则的最小值是 . 6.若正数满足,则的最小值为 . 7.已知正数满足,则的最小值为 . 8.已知是正实数且满足,则最小值 . 9.已知正数满足,则的最小值为 . 10.已知,则的最小值是 . 11.已知实数,且,则 的最小值为 . 12.已知,,则的最大值为 . 1.3.4 万能k法 知识点梳理 对给定关于的一个二次式,要求另一个代数式的值或取值范围,可以直接令此代数式等于, 然后用表示或表示,代入原式，得到一个关于的一元二次方程,然后利用判别式大于等于零,得到一个不等式,解出的范围即可,此方法称之为万能法. 典型例题 例1.若实数满足,则的最大值是 . 例2.若存在正实数,使得,则实数的最大值为 . 随堂演练 1.已知实数满足,则的最大值是 . 2.设正实数满足,则实数的取值范围是 . 3.若正实数满足,则的最小值为 . 4.已知正实数满足,那么的最大值为 . 5.已知实数满足,,则的最大值是 . 6.已知实数满足,则的取值范围是 . 7.实数满足,设,则 . 8.设为实数,若,则的最大值是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $