培优点1 柯西不等式与权方和不等式讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考地区适用）

培优点1 柯西不等式与权方和不等式 目录： 1. 考情分析 2. 考点梳理 考点1：柯西不等式 考点2：权方和不等式 3. 分题型精讲精练 题型一：柯西不等式的应用 题型二：权方和不等式的应用 考情分析 本节内容为基本不等式的高阶扩展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒杀！ 考点梳理 考点1：柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式 （，当且仅当时，等号成立）. 2. 二维形式的柯西不等式的变式 ⑴（，当且仅当时，等号成立）. ⑵（，当且仅当时，等号成立）. ⑶（，当且仅当时，等号成立）. 3. 二维形式的柯西不等式的向量形式 （当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立）. 4. 多维形式的柯西不等式 （…）（…）（…） 考点2：权方和不等式 1. 二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立）. 2. 一般形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立. 称之为权方和不等式. 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 分题型精讲精练 题型一：柯西不等式的应用 例1. 已知，，求的最值. 例2.函数的最大值为 . 例3：已知，若恒成立，求实数的取值范围是 ． 例4：已知，求的最小值.（利用柯西不等式） 【解题方法总结】掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序，改变结构、添项等方法. 练习：1.为非零常数，的最小值为 . 2.（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 3.柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 6.（2024·高三·浙江台州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 7.（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 题型二：权方和不等式的应用 例1.若，，，则的最小值为 . 例2.已知正数满足，则的最小值为 . 例3：已知正数满足，则的最小值为 【解题方法总结】 ⑴权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键. ⑵关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式. ⑶关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次. 练习：1. 若，，，则的最小值为______________ 2. 若，，则的最小值为______________ 3. 已知正数，，满足，则的最小值为______________ 4. 已知正数，满足，则的最小值为______________ 5. 求的最小值为______________ 6.权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 7.已知，，，求的最大值为______________ 8.求的最大值为______________ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点1 柯西不等式与权方和不等式 目录： 1. 考情分析 2. 考点梳理 考点1：柯西不等式 考点2：权方和不等式 3. 分题型精讲精练 题型一：柯西不等式的应用 题型二：权方和不等式的应用 考情分析 本节内容为基本不等式的高阶扩展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒杀！ 考点梳理 考点1：柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式 （，当且仅当时，等号成立）. 2. 二维形式的柯西不等式的变式 ⑴（，当且仅当时，等号成立）. ⑵（，当且仅当时，等号成立）. ⑶（，当且仅当时，等号成立）. 3. 二维形式的柯西不等式的向量形式 （当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立）. 4. 多维形式的柯西不等式 （…）（…）（…） 考点2：权方和不等式 1. 二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立）. 2. 一般形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立. 称之为权方和不等式. 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 分题型精讲精练 题型一：柯西不等式的应用 例1. 已知，，求的最值. 【答案】：最大值为，最小值为. 【详解】（方法一：）由柯西不等式得 . 当且仅当， 即或时等号成立. 于是的最大值为，最小值为. （方法二：）由柯西不等式得 . 当且仅当， 即或时等号成立. 于是的最大值为，最小值为. 例2.函数的最大值为 . 【答案】 【详解】由柯西不等式得 当且仅当，即时等号成立. 例3：已知，若恒成立，求实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由柯西不等式得， 所以，即. 例4：已知，求的最小值.（利用柯西不等式） 【答案】 【详解】由柯西不等式可知：（）（4+9+36）， ，当且仅当. 【解题方法总结】掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序，改变结构、添项等方法. 练习：1.为非零常数，的最小值为 . 【答案】 【详解】由柯西不等式得 ， 当且仅当，即或时，等号成立. 2.（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【解析】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 3.柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为, 令,又,,, 所以, 当且仅当即时等号成立, 即, 故选:D. 4.（2024·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，即. 由可知，所以. 由，可得， 由柯西不等式得 ， 所以，当即时，取等号. 所以的最大值为. 故选：C. 5.（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【解析】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 6.（2024·高三·浙江台州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由柯西不等式. 而，所以时等号成立， 故答案为：. 7.（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为. 故选：C． 题型二：权方和不等式的应用 例1.若，，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】 ,即， 因为，，则， 当且仅当，即，时取等号. 例2.已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 例3：已知正数满足，则的最小值为 解： 当且仅当时取等号.由解得：， 【解题方法总结】 ⑴权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键. ⑵关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式. ⑶关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次. 练习：1. 若，，，则的最小值为______________ 解：，当且仅当时取等号 2. 若，，则的最小值为______________ 解： 当且仅当时取等号，即，所以的最小值为 3. 已知正数，，满足，则的最小值为______________ 解：，当且仅当时取等号. 4. 已知正数，满足，则的最小值为______________ 解： 当且仅当时取等号. 5. 求的最小值为______________ 解： 当且仅当时取等号. 6.权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 解：由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 7.已知，，，求的最大值为______________ 解： 当且仅当时取等号. 8.求的最大值为______________ 解： 当且仅当时取等号. 学科网（北京）股份有限公司 $$