重难点培优04 均值不等式、糖水不等式、柯西不等式（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优04均值不等式、糖水不等式、柯西不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 基本不等式求最值（★★） 3 题型二 热点不等式求最值（★★★） 4 题型三 糖水不等式求最值（★★★★） 5 题型四 柯西不等式求最值（★★★★）....................................................................................................6 03 实战检测・分层突破验成效 7 检测Ⅰ组 重难知识巩固 7 检测Ⅱ组 创新能力提升 9 一、基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）；②（异号）； ③或 解题策略 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值. 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 二、热点不等式 通过对柯西不等式变形可知在时，就存在当时，等号成立．同理当时，等号成立． 三、糖水不等式求最值 1. 糖水不等式定理: 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 四、柯西不等式求最值 1.二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 3.扩展： 题型一 基本不等式求最值 【技巧通法·提分快招】 基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 2．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 3．（2025·天津·二模）在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 4．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 5．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则 ，若，则当最大时，的值为 . 6．（2025·天津·模拟预测）在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是 ． ①为定值3                             ②面积的最大值为 ③的取值范围是                ④若为中点，则不可能等于 7．（2024·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为 ；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为 . 8．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 题型二 热点不等式求最值 【技巧通法·提分快招】 在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而热点不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用. 1．（2025·天津·期中）已知x，y均为正数，，则的最小值 . 2．（2025·天津·联考）已知随机变量的分布列如表：其中，，若，则的最小值为 . 3．（2025·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 4．（2025·天津·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 5．（2025·天津西青·期末）设，且，则的最小值为 . 6．（2025·天津武清·期末）已知，则的最小值为 . 7．（2025·天津·期中）已知，，，则的最小值是（   ） A．3 B． C． D．9 8．（2025·天津静海·模拟预测）已知、均为正实数，且，则下列错误的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 题型三 糖水不等式求最值 【技巧通法·提分快招】 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 若 , 则一定有 1．（2025·天津·调研）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·调研）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（2025·天津·开学考试）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 5．（2025·天津·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（2025·天津南开·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025·天津·调研）已知，，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·天津南开·开学考试）若，则下列结论中错误的是（    ）. A． B． C． D． 题型四 柯西不等式求最值 【技巧通法·提分快招】 若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等式往往起到秒杀作用. 当且仅当 时，等号成立.) 1．（2025·天津河西·模拟预测）已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 2．（2025·天津·调研）若正数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·期末）对于，当非零实数、满足，且使最大时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·期中）已知，均为正数，且，则的最小值为 A．6 B．7 C．8 D．9 5．（2025·天津·开学考试）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 6．（2025·天津·联考）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ． 7．（2025·天津·模拟预测）设角、均为锐角，则的范围是 ． 8．（2025·天津·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 2．（2025·天津河西·二模）在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，当的周长取最大值时，求的面积． 4．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 5．（2025·天津·期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 6．（2025·天津河西·一模）在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示 .若，则余弦值的最小值为 . 7．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津河西·二模）如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为 . 9．（2024·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则 ； （2）与的面积之比的最小值为 . 10．（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 11．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为 12．（2024·天津·二模）在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为 ，若，,则面积的最大值为 ． 13．（2025·天津调研）已知，若，则的值为 . 14．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 ． 15．（2025·天津红桥·一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·期中）如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .    2．（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为 ；的最小值为 . 3．（2025·天津河西·模拟预测）在中，，，，设，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津河西·模拟预测）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津北辰·三模）在中，，，若为其重心，试用，表示为 ；若为其外心，满足，且，则的最大值为 ． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优04均值不等式、糖水不等式、柯西不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 基本不等式求最值（★★） 3 题型二 热点不等式求最值（★★★） 9 题型三 糖水不等式求最值（★★★★） 14 题型四 柯西不等式求最值（★★★★）....................................................................................................18 03 实战检测・分层突破验成效 23 检测Ⅰ组 重难知识巩固 23 检测Ⅱ组 创新能力提升 36 一、基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）；②（异号）； ③或 解题策略 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值. 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 二、热点不等式 通过对柯西不等式变形可知在时，就存在当时，等号成立．同理当时，等号成立． 三、糖水不等式求最值 1. 糖水不等式定理: 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 四、柯西不等式求最值 1.二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 3.扩展： 题型一 基本不等式求最值 【技巧通法·提分快招】 基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 1．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 故答案为：4 2．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 3．（2025·天津·二模）在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 【答案】 4； 【分析】根据三角形面积公式可得，即可根据投影向量的定义求解（1），根据重心的性质，结合基底表达，即可根据向量的数量积运算律，结合基本不等式求解（2）即可. 【详解】（1）因为，所以， 解得，则，结合，解得， 由投影向量公式得在向量上的投影向量为， 故向量在向量上的投影向量的模为， （2）如图，根据题意可知为的重心，故，    又为线段上靠近的三等分点，故, 因此， ， ， 由（1）知，故， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为. 故答案为：4， 4．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 5．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则 ，若，则当最大时，的值为 . 【答案】 / 【分析】第一空，由题意知，得，由三点共线的结论即可求出； 第二空，先求和，由有，得，利用数量积的定义和基本不等式即可求得，由得即可求解. 【详解】由题意有，所以，由， 所以，所以， ，由有， 即， 即，所以， 即，当时，等号成立， 当最大时，，，由有， 所以， 所以， 故答案为：；. 6．（2025·天津·模拟预测）在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是 ． ①为定值3                             ②面积的最大值为 ③的取值范围是                ④若为中点，则不可能等于 【答案】①②④ 【分析】对于①:利用和数量积的计算公式可求； 对于②：利用面积公式和基本不等式即可判断； 对于③：先判断出，结合的范围即可判断； 对于④：利用求出范围，即可判断. 【详解】设. 对于①:因为，所以D为BC的中点. 因为，所以， 即，所以. 因为，所以， 所以.故①正确； 对于②：， 又，当且仅当“"时,取“=” 此时， 所以.故②正确； 对于③：因为，所以， 所以. 当时，D、E重合，取得最大值3. 可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故③错误； 对于④：若为中点，则 .故④正确. 故答案为：①②④. 7．（2024·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为 ；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为 . 【答案】 （或） 【分析】由题意可知：.若是虚轴长的倍，列式整理可得，即可得渐近线方程；若的周长为8，分析可知，结合定义整理可得，代入结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：，且该双曲线的焦点在x轴上， 若是虚轴长的倍，则，即， 所以该双曲线的一条渐近线为（或）； 由题意可知：∥，且为线段的中点，可知分别为，的中点， 则， 可得，结合对称性可知， 又因为点A在双曲线上，则，即， 可得，整理可得，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：（或）；. 8．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：如图所示： 设椭圆和双曲线的方程分别为：，， 由题意得， 设，则， 解得， 在中，由余弦定理得：， 即，化简得， 则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：C 题型二 热点不等式求最值 【技巧通法·提分快招】 在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而热点不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用. 1．（2025·天津·期中）已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 2．（2025·天津·联考）已知随机变量的分布列如表：其中，，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据分布列的性质可得，然后由期望公式可得、的关系，最后巧用“1”和基本不等式可得. 【详解】由分布列的性质可知，解得， 所以，又，， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 3．（2025·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 【答案】 【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，则， 则. 当且仅当，且，， 即，时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 4．（2025·天津·二模）正项等差数列中，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得. 【详解】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 5．（2025·天津西青·期末）设，且，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】利用基本不等式计算可得的最小值. 【详解】由，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9. 6．（2025·天津武清·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当时等号成立， 则的最小值为， 故答案为： 7．（2025·天津·期中）已知，，，则的最小值是（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】先运用对数的运算性质化简已知式为，结合所求式的结构，将其化成，利用常值代换法将所求式凑成积为定值，借助于基本不等式求解即得. 【详解】由可得: , 即,则 则 , 当且仅当时,等号成立. 由解得：， 即当时，的最小值是. 故选：B. 8．（2025·天津静海·模拟预测）已知、均为正实数，且，则下列错误的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】B 【分析】对A，利用基本不等式即可解得； 对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案； 对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案； 对D，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以，的最小值为，C对； 对于D选项， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，D对. 故选：B. 题型三 糖水不等式求最值 【技巧通法·提分快招】 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 若 , 则一定有 1．（2025·天津·调研）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 2．（2025·天津·调研）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，取，则，D错误. 故选：C 3．（2025·天津·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】举例说明可判断，；作差法结合不等式的性质可判断，. 【详解】对于，， 因为，所以，， 所以，即，故错误； 对于，若，，则，，所以，故错误； 对于，， 因为，，所以，所以， 所以，即，故正确； 对于，若，，，， 则，，所以，故错误. 故选：. 4．（2025·天津·开学考试）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 【答案】D 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 5．（2025·天津·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】选项A、C、D可有反例推导错误；选项B利用不等式性质推导可得. 【详解】选项A：当时，，故A错误； 选项B：因，，所以，得，故B正确； 选项C：当时，满足，，但，故C错误； 选项D：当时，满足，，但，故D错误， 故选：B 6．（2025·天津南开·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】作差结合已知条件比较大小可判断ABCD. 【详解】对于A，若，则，， 所以 ，所以，故A错误； 对于B，若，则，， 所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，所以，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 7．（2025·天津·调研）已知，，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质一一判定即可. 【详解】对于A，若，则，即A错误； 对于B，由，结合糖水不等式可知， 或作差法证，即，即B正确； 对于C、D，取，则满足，， 但，，即C、D错误； 故选：B 8．（2025·天津南开·开学考试）若，则下列结论中错误的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可判断AB，由不等式的性质判断C，根据基本不等式可判断D. 【详解】由，∵，，，，故A正确； 由，∵， ∴，，故B正确； ∵，，，故C错误； ∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确. 故选：C 题型四 柯西不等式求最值 【技巧通法·提分快招】 若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等式往往起到秒杀作用. 当且仅当 时，等号成立.) 1．（2025·天津河西·模拟预测）已知，，，且，则的最大值为 A．3 B． C．18 D．9 【答案】B 【分析】先利用柯西不等式求得的最大值，由此求得的最大值. 【详解】由柯西不等式得： ，所以，当且仅当时，等号成立，故选B. 2．（2025·天津·调研）若正数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式化为，左边，利用柯西不等式求出最小值即可求解. 【详解】不等式化为， 左边 ， 所以， 实数的取值范围为. 故选：D 3．（2025·天津·期末）对于，当非零实数、满足，且使最大时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将等式变形为，再由柯西不等式得到，分别用表示、，再代入到得到关于的二次函数，求得其最小值即可. 【详解】，， 由柯西不等式可得， 故当最大时，有，则，， ， 所以，当时，取得最小值. 故选：C. 4．（2025·天津·期中）已知，均为正数，且，则的最小值为 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b＝0，可得1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b＝0， ∴1． 则 b2﹣1， 又因为b＝（）（b）2≥2+2＝4，当且仅当a＝4，b＝2时取等号． ∴（b2）（1+1）≥（b）2≥16，当且仅当a＝4，b＝2时取等号． ∴b2≥8， ∴b2b2﹣1≥7． 故选B． 5．（2025·天津·开学考试）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解. 【详解】由已知整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为. 故选：C． 6．（2025·天津·联考）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围. 【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离， 即， 由柯西不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得：. 故答案为： 7．（2025·天津·模拟预测）设角、均为锐角，则的范围是 ． 【答案】 【分析】由将函数化为，结合三角函数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案. 【详解】因为角、均为锐角，所以的范围均为， 所以， 所以 因为， 所以， ， 当且仅当时取等， 令，，， 所以. 则的范围是：. 故答案为： 8．（2025·天津·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】## 【分析】将目标式转化为，应用柯西不等式求的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，，则， 又， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为. 故答案为：. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 【答案】 【分析】（1）首先利用基底法表示数量积，再结合四边形面积公式，以及基本不等式，即可求解的最小值；根据第一问的过程，结合投影向量公式，可以求，，再代入数量积公式，即可求解. 【详解】由条件可知，,， 所以，所以， ，， ， ， 当时等号成立， 所以的最小值为； 在上的投影向量为，则，即, 因为，所以，得，， 则. 故答案为：；. 2．（2025·天津河西·二模）在正四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，则该正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对外接球，根据几何关系建立方程求解半径；对内切球，先求出侧面三角形面积进而得到四棱锥表面积，再利用等体积法求出内切球半径，最后得到的表达式，通过换元法结合基本不等式求其最小值及对应的值，最后利用锥体体积公式求解即可. 【详解】设正四棱锥的高为，设，连接，则平面， 设该正四棱锥的外接球球心为，则在直线上， 取的中点，连接、， 对外接球，解得：， 对内切球：， 故四棱锥表面积， 由体积法：， 所以， 令，则， 进而， 当且仅当，即时，取最小值，此时. 因此，该正四棱锥的体积为. 故选：B. 3．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，当的周长取最大值时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据得，由正弦定理求得的值； （3）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. （2）因为在中，，所以， 又因为，，由正弦定理， 可得. （3）在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 4．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ； 设点、，其中，， ，， 所以，，可得， 因为，则，则，， 所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：；. 5．（2025·天津·期末）已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】由平行四边形的面积为，，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为平行四边形的面积为，， 所以，得， 如图，连接，则， 因为，又为平行四边形，则 ， 所以， 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：；. 6．（2025·天津河西·一模）在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示 .若，则余弦值的最小值为 . 【答案】 / 【分析】第一空使用向量线性运算求解即可；第二空以为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可. 【详解】如图， 由已知，得 ， 所以， 设，即的夹角为， ， ∴若，则， ∴， 又∵， ∴由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：，. 7．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值． 【详解】 由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则，故， 又，设， 则 ， 当且仅当时等号成立， 由可知，， 故的最大值为． 故选：A． 8．（2025·天津河西·二模）如图，直角梯形ABCD中，，，，在等腰直角三角形CDE中，，则向量在向量上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】； 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设，，，进而根据题意得，再根据坐标运算得，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】根据题意，如图，建立平面直角坐标系， 因为， 所以， 所以，， 所以，向量在向量上的投影向量为， 故其模为. 因为，分别为线段，上的动点， 所以，设，， 所以， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：； 9．（2024·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，. （1）若，则 ； （2）与的面积之比的最小值为 . 【答案】 / 【分析】根据，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得，根据三点共线可得，利用三角形的面积公式可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 因为M，O，N三点共线，故，即， 又因为，而，， 则，即，当且仅当时取等号， 所以与的面积之比的最小值为. 故答案为：；. 10．（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵， ，其中，且， ∴， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为. 故选：A. 11．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为 【答案】 【分析】先对进行等式变形，利用把原式化简为，再利用均值不等式可得，然后由函数在区间上是单调递减，即可得到最小值为. 【详解】由， 因为，所以上式， 又因为，，由均值不等式得：， 利用函数在区间上是单调递减可知： ， 当且仅当时取到最小值. 故答案为： 12．（2024·天津·二模）在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为 ，若，,则面积的最大值为 ． 【答案】 ， 【分析】根据几何关系，表示向量；设，再利用平面向量基本定理表示，即可求解，再根据，以及基本不等式，三角形面积公式，即可求解. 【详解】由点是的中点， 则； 设，， 则， ， ， ， 所以，得,, 所以，即， 因为， 所以， ， 即，即，当时，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    故答案为：；. 13．（2025·天津调研）已知，若，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据余弦函数的有界性，借助于基本不等式推理得到，求出，再求的值. 【详解】由可得，即， 又因，故得，所以，， 因此. 故答案为：. 14．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由， 故 ，当且仅当时等号成立， 故最小值为4， 故答案为：4 15．（2025·天津红桥·一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】在中，，，则， 故 ， 故； 又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为：； 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·期中）如图，在中，与BE交于点，，则的值为 ；过点的直线分别交于点设，则的最小值为 .    【答案】 4 【分析】设，将分别代入，利用共线定理的推论列方程组求出，然后根据求解可得；将代入，根据共线可得，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可. 【详解】设，令， 因为，所以， 所以， 又与分别共线，所以，解得. 因为， 所以，即， 解得，即. 因为，    所以， 所以， 因为共线，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：4；. 2．（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为 ；的最小值为 . 【答案】 /0.5 【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可求出第一空，建立平面直角坐标系，依据条件建立方程，结合基本不等式求解第二空即可. 【详解】 因为所以， 由共线，则，解得 作，以为原点建立平面直角坐标系， 设且，则，而的面积为， 则，故， 则， 则， 当且仅当时取“=”， 所以的最小值为 故答案为：；. 3．（2025·天津河西·模拟预测）在中，，，，设，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理及向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求解. 【详解】在中，，， 由余弦定理，得，即，于是有. 由，得，即,于是有. 联立，得， 由，得, 将代入中，得. 由，，，知, 所以, 因为， 所以, 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故当时，取得最大值为. 故选：B. 4．（2025·天津河西·模拟预测）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的概念和运算性质可得，再由基本不等式可求解. 【详解】由，可得，， 代入，得，即， 由对数运算性质，，解得， 则， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：C. 5．（2025·天津北辰·三模）在中，，，若为其重心，试用，表示为 ；若为其外心，满足，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】结合重心的定义及向量的线性运算，利用，表示，根据向量的线性运算和数量积的定义结合正弦定理化简向量等式，可得，结合基本不等式求的最大值. 【详解】连接并延长交与点， 由重心性质可得为线段的中点，且， 又， 所以， 若为的外心，则， 设点为线段的中点，设点为线段的中点， 则， 因为， ， 所以可化为： ， 所以， 由正弦定理可得，故 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：，. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$