江苏省徐州市三校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试卷

江苏省徐州市三校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，，则( ) A. B. C. D. 2．设复数z满足，则z的实部为( ) A. B. C. D. 3．已知直线,则“”是“”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．已知等比数列的前n项和为且，若，，，则下列等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 5．已知,,直线与直线相交于点M,则的面积最大值为( ) A.10 B.14 C.18 D.20 6．已知、，且，则( ) A. B. C. D.无法确定、的大小 7．已知函数，则( ) A.若函数相邻两条对称轴的距离为，则 B.当，时，的值域为 C.当时，是的对称中心 D.若在内有且仅有两个零点，则 8．点，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为双曲线的离心率，则为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．若平面向量,,其中n,,则下列说法正确的是( ) A.若,则 B.若,则与同向的单位向量为 C.若,且与的夹角为锐角,则实数m的取值范围为 D.若,则的最小值为4 10．已知内接于圆O,,设,则( ) A. B.若,则圆O的面积为 C.若,则圆O的面积为 D.若,则 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A,B的距离之比为定值的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中,已知,点P满足,设点P的轨迹为圆C,则下列说法正确的是( ) A.圆C的方程是 B.若x,y满足圆C的方程,则的最小值是 C.若圆C上存在4个点到直线的距离为1,则 D.过直线上的一点P向圆C引切线,,则四边形的面积的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为________. 13．已知函数，则满足的实数m的取值范围是________. 14．已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过，至少需要投掷飞镖____________次.（参考数据：） 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知数列为等差数列,且. (1)求的通项公式； (2)设,且,求数列的前n项和. 16．（15分）为研究高中生数学成绩优秀与平时认真完成作业的关系,从某校的学生中随机抽了500人,得到如下列联表: 是否认真完成作业组别 认真完成作业 不认真完成作业 合计 数学成绩优秀 180 20 200 数学成绩不优秀 80 220 300 合计 260 240 500 （1）记该校平时认真完成作业的学生的数学成绩优秀的概率为P.求P的估计值（保留三位小数）. （2）根据小概率值的独立性检验,分析高中生平时是否认真完成作业与数学成绩优秀有关. 附:. 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17．（15分）如图,在四棱锥中,底面,四边形为平行四边形,其中,,,且,点为的中点. （1）证明:平面. （2）求点B到平面的距离. （3）求平面与平面所成角的余弦值. 18．（17分）已知曲线，，两曲线的离心率均为，其中，，分别是的左、右顶点. (1)分别求，的方程. (2)已知Q是上一点，，分别交直线和于M，N两点，以为直径的圆记为圆D. （i）判断圆D是否过定点.若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由. （ii）P是上一点，当圆D的面积最小时，过点P作圆D的两条切线，切点为S，T，求面积的取值范围. 19．（17分）已知函数的最小值为0，其中. (1)求a的值； (2)若对任意的，有成立，求实数k的最小值； (3)证明：. 江苏省徐州市三校2026届高三上学期12月联考 数学参考答案 1．答案：B 2．答案：D 3．答案：B 4．答案：C 5．答案：B 6．答案：A 7．答案：B 8．答案：A 9．答案：BD 10．答案：ACD 11．答案：ACD 12．答案：15 13．答案： 14．答案：3 15．答案：(1) (2) 解析：(1)设等差数列的公差为d, 因为,则,解得, 所以. (2)由, 则,所以, 所以, 则, 两式相减,得 , 所以. 16．答案：（1）0.692 （2）认为数学成绩优秀与是否认真完成作业有关,该推断犯错误的概率不超过0.001. 解析：（1）由列联表可知,认真完成作业的260人中有180人成绩优秀,所以P的估计值为; （2）零假设:数学成绩优秀与是否认真完成作业无关, 根据表中数据可得, 根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立, 即认为数学成绩优秀与是否认真完成作业有关,该推断犯错误的概率不超过0.001. 17．答案：（1）证明见解析 （2） （3） 解析：（1）连接,交于F,连接. 因为中,F为对角线交点,所以F为的中点, 又E是中点,所以, 又平面,所以平面, 所以平面. （2）在中,,,, 由余弦定理得, 则,所以. 又底面,,平面,所以,. 所以以A为原点,以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则,,,,,, 所以,, 设平面法向量为,则, 即,令,则,,所以. 所以点B到平面的距离. （3）由（2）得,. 设平面的法向量为, 则,即,令,则,,所以. 所以平面与平面所成锐二面角余弦值为 . 18．答案：(1)曲线，曲线； (2)（i）圆过定点；（ii） 解析：（1）因为，则， 可知曲线的焦点在x轴上，曲线的焦点在y轴上； 对于曲线，，解得：； 对于曲线，，解得：； 即，所以曲线，曲线. （2）（i）由题意可知：，， 设，因为Q在上，则，可得， 直线的方程为，令得：，即； 直线的方程为，令得：，即； 则， 且 ， 可知圆D的圆心为，半径， 则圆D的方程为：，整理可得， 令得，所以圆D过定点； （ii）因为，则，当且仅当时，等号成立， 所以当圆D的面积最小时，圆心为，半径， 方程为，设，， 则，即； 则， 因为，是圆D的两条切线，则，， 可知，， 设，则，， 因为 ， 令，则，可得， 因为在内单调递减，且，， 可得，所以面积的取值范围为. 19．答案：(1)1； (2)； (3)证明见解析. 解析：（1）由函数， 则其定义域为，且. 由，得:，又由，得:， 在单调递减，在单调递增， ，； （2）设， 则在恒成立等价于（*）， 注意到，又， ①当时，由得. 在单减，单增，这与（*）式矛盾； ②当时，在恒成立，符合（*）， ，k的最小值为； （3）由（2）知：令得：， 令得：， 当时，(1)； 当时，， (2)， (3)， …… (n)， 将(1)(2)(3)，……，(n)式相加得： 不等式左边： ； 不等式右边： ； 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $