2025年北师大版中考数学《反比例函数》专题复习训练

2025年北师大版中考数学《反比例函数》专题复习 1．如图，物理实验课上小明设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根质地均匀的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况，实验数据记录如下： 观察表中的数据，当弹簧测 力计与点的距离为时，弹簧测力计的示数的值是（   ） A．5 B． C．10 D．120 2．双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝　 　． 3.如图，A（2，m）是正比例函数y＝kx与反比例函数y＝（x＞0）的图象的交点．AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是 　 　． 4．如图，四边形OABC和CDEF均为正方形，点C，D均在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，点F在BC上，点B，E在反比例函数的图象上，则E的坐标为 　 　 ． 5. 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为________． 6. 如图，已知A，B是函数（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO，交BN于点E，若，四边形AMNE的面积为2，则k的值为__________． 7. 如图，矩形的顶点在反比例函数（）的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是，，则______． 8．如图，一次函数y＝﹣x+5与反比例函数 的图象在第一象限相交于A，B两点，点B坐标是（n，1），AC垂直x轴交x轴于点C，O为坐标原点，AC＝4OC，连接BC． （1）求反比例函数的关系式； （2）若点D在x轴上，△BCD的面积和△ABC的面积相等，求点D的坐标． 9．如图，直线y1＝﹣x+4，都与双曲线交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 10．如图，直线y＝x+1与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝． （1）求k的值； （2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与轴交于点，将直线AB沿轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，若的面积为4，则的值为___________ 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围； （3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为8，求点P的坐标． 13．如图，在x轴的正半轴上依次截取…，过点分别作x轴的垂线与反比例函数 （）的图象相交于点连接分别与 …，交于点，……，得，四边形，四边形 ，四边形 ，并设其面积分别为 …，以此类推．      (1)求； (2)直接写出及的值． 14. 如图，点，，，…，，为反比例函数（）图象上的点，其横坐标分别为1，2，3，…，，．过点，，，…，，为作轴垂线，垂足分别为点，，，…，，；连接，交于点，连接，交于点…；连接，点交于点，记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为______；______； ______；______；（用含的代数式表示） （2） 当时，______．（用含的代数式表示） 2025年北师大版中考数学《反比例函数》专题复习——解析 1．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，依据题意，根据表格数据求出与的函数关系，求出解析式，将代入即可． 【详解】解：观察表格数据可得，与成反比例函数关系，设 ． 函数为 当时， 弹簧测力计的示数的值是． 故选：B． 2．双曲线C1：y＝和C2：y＝如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1﹣k2＝　﹣4　． 【分析】由反比例函数k的几何意义得到S△OBD＝﹣k2，S△OCE＝﹣k2，S矩形ABOC＝﹣k1，根据S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE＝S四边形ADOE即可求出k1﹣k2． 【解答】解：∵D，E在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限， ∴S△OBD＝OB•BD＝﹣k2，S△OCE＝OC•CE＝﹣k2， ∵A在反比例函数y＝的图象上，且图象在第二象限， ∴S矩形ABOC＝OB•OC＝﹣k1 ∴k1﹣k2＝﹣[﹣k1﹣（﹣k2）]＝﹣（S矩形ABOC﹣S△OBD﹣S△OCE）＝﹣S四边形ADOE＝﹣4， 故答案为：﹣4． 3．如图，A（2，m）是正比例函数y＝kx与反比例函数y＝（x＞0）的图象的交点．AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是 　y＝x﹣3　． 【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象有一个交点A（2，m）， ∴2m＝6， 解得：m＝3， ∴A（2，3）， 则3＝2k， 解得：k＝， ∴正比例函数解析式为：y＝x， ∵AB⊥x轴于点B，平移直线y＝kx，使其经过点B， ∴B（2，0）， ∴设平移后的解析式为：y＝x+b， 则0＝3+b， 解得：b＝﹣3， ∴直线l对应的函数表达式是：y＝x﹣3． 故答案为：y＝x﹣3． 4．如图，四边形OABC和CDEF均为正方形，点C，D均在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，点F在BC上，点B，E在反比例函数的图象上，则E的坐标为 　（+1，﹣1）　 ． 【解答】解：设正方形OABC的边长为a，正方形CDEF的边长为b，则B（a，a），E（a+b，b）， ∵点B，E在反比例函数的图象上， ∴a2＝4，（a+b）•b＝4， ∴a＝2，b＝﹣1， ∴a+b＝+1， ∴E（+1，﹣1）． 故答案为：（+1，﹣1）． 5. 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 根据反比例函数k值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 6. 如图，已知A，B是函数（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO，交BN于点E，若，四边形AMNE的面积为2，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】, 过点A，B，E作轴，轴， 轴，垂足分别为，根据反比例函数比例系数的几何意义结合列方程求解即可． 【详解】如图所示，过点A，B，E作轴，轴，轴，垂足分别为 N ∵点A，B都在函数图象上， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 解得， 故答案为：6 7. 如图，矩形的顶点在反比例函数（）的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何图形面积，解直角三角形的计算，掌握反比例函数系数的计算，解直角三角形的计算是关键． 根据题意，设，可得，，，则，，由几何图形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设，对角线轴，交轴于点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形的面积是，即， 解得，， ∴， 故答案为： ． 8．如图，一次函数y＝﹣x+5与反比例函数 的图象在第一象限相交于A，B两点，点B坐标是（n，1），AC垂直x轴交x轴于点C，O为坐标原点，AC＝4OC，连接BC． （1）求反比例函数的关系式； （2）若点D在x轴上，△BCD的面积和△ABC的面积相等，求点D的坐标． 【分析】（1）设OC＝a，则AC＝4OC＝4a，可得A（a，4a），把点A代入一次函数解析式即可求出a的值，进而表示出点A的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）将一次函数和反比例函数联立求出点B的坐标，利用面积公式求得△ABC的面积，根据题意点D在x轴上，△ABD的面积和△ABC的面积相等，可得到CD•yB＝6，求得CD的长，进而求得点D的坐标． 【解答】解：（1）设OC＝a，则AC＝4OC＝4a， ∴C（a，0），A（a，4a）， ∵一次函数y＝﹣x+5 的图象经过点A， ∴4a＝﹣a+5，解得a＝1， ∴A（1，4）， 把A（1，4）代入反比例函数 得：k＝1×4＝4， ∴反比例函数解析式为y＝； （2）由，解得或， ∴B（4，1）， ∵A（1，4）， ∴S△ABC＝＝6， ∵△ABD的面积和△ABC的面积相等， ∴CD•yB＝6，即， ∴CD＝12， ∴D（13，0）或（﹣11，0）． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到待定系数法求解析式、三角形面积以及求函数交点坐标，能够数形结合是解题的关键． 9．如图，直线y1＝﹣x+4，都与双曲线交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 【分析】（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线，可得y与x之间的函数关系式； （2）求得直线y1＝﹣x+4与双曲线的交点，可得当x＞0时，不等式的解集为1＜x＜3； （3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP＝BC＝，或BP＝BC＝，即可得到OP＝3﹣＝，或OP＝4﹣＝，进而得出点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3， ∴A（1，3）， 把A（1，3）代入双曲线，可得k＝1×3＝3， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝； （2）解得或， ∴直线y1＝﹣x+4与双曲线交于点A（1，3）和（3，1）， 由图象可知，当x＞0时，不等式的解集为：1＜x＜3； （3）y1＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 把A（1，3）代入y2＝x+b，可得3＝+b， ∴b＝， ∴y2＝x+， 令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC＝7， ∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分， ∴CP＝BC＝，或BP＝BC＝， ∴OP＝3﹣＝，或OP＝4﹣＝， ∴P（﹣，0）或（，0）． 10．如图，直线y＝x+1与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝． （1）求k的值； （2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）对于直线y＝x+1，令x＝0求出y的值，确定出A坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，得到M横坐标与A横坐标相同，再由M在直线y＝x+1上，确定出M坐标，代入反比例解析式求出k的值即可； （2）将N坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P（如图），此时PM+PN最小，由N与N1关于y轴的对称，根据N坐标求出N1坐标，设直线MN1的解析式为y＝kx+b，把M，N1的坐标代入求出k与b的值，确定出直线MN1的解析式，令x＝0求出y的值，即可确定出P坐标． 【解答】解：（1）由y＝x+1可得A（0，1），即OA＝1， ∵tan∠AHO＝＝， ∴OH＝2， ∵MH⊥x轴， ∴点M的横坐标为2， ∵点M在直线y＝x+1上， ∴点M的纵坐标为3，即M（2，3）， ∵点M在y＝上， ∴k＝2×3＝6； （2）∵点N（1，a）在反比例函数y＝的图象上， ∴a＝6，即点N的坐标为（1，6）， 过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P（如图）， 此时PM+PN最小， ∵N与N1关于y轴的对称，N点坐标为（1，6）， ∴N1的坐标为（﹣1，6）， 设直线MN1的解析式为y＝kx+b， 把M，N1的坐标得， 解得：， ∴直线MN1的解析式为y＝﹣x+5， 令x＝0，得y＝5， ∴P点坐标为（0，5）． 11. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与轴交于点，将直线AB沿轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，若的面积为4，则的值为___________ 【答案】（1）； （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数于反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）数形结合，直接写出不等式的解集即可； （3）作，垂足为，根据直线解析式得到为等腰直角三角形，利用三角形面积求出，根据等腰直角三角形三边关系求出向下平移的单位长度即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与函数的图象交于两点， ， 解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在一次函数图象上， ∴，解得：， ． 【小问2详解】 解：观察图象可得，当时，取值范围为：； 【小问3详解】 解：原直线向下平移个单位，得到新的直线解析式为， 如图，作，垂足为， ， ， ∵的面积为 4 ， ， 解得：， ∵直线解析式为， ∴为等腰直角三角形， ． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围； （3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为8，求点P的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象直接写出不等式＞k1x+b＞0的解集即可； （3）根据S△PAC＝S△PAD﹣S△PCD＝8求得PD，进一步即可求得P点的坐标． 【解答】解：（1）∵B（4，﹣3）在反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象上， ∴k2＝4×（﹣3）＝﹣12， ∴反比例函数解析式为：y＝﹣， ∵点A（m，6）在y＝﹣图象上， ∴m＝﹣2， ∴A（﹣2，6）， ∵点A（﹣2，6），B（4，﹣3）在一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）的图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x+3． （2）观察函数图象，当＞k1x+b＞0时，自变量x的取值范围为：﹣2＜x＜0； （3）由一次函数y＝﹣x+3可知C（0，3），D（2，0）， ∵△PAC的面积为8， ∴S△PAC＝S△PAD﹣S△PCD＝8，即＝8， ∴PD＝， ∴P（﹣，0）或（，0）． 13．(1) (2)， 【分析】本题考查的是反比例函数综合题． （1）设，利用反比例函数的定义求出，，，，利用梯形的面积公式计算即可； （2）结合（1）得到，按此规律，可得． 【详解】（1）解： ，，，是反比例函数的图象上的点， 设， ，，，， ， ； （2）解：由（1）可得， ， ， ， ， 14. 如图，点，，，…，，为反比例函数（）图象上的点，其横坐标分别为1，2，3，…，，．过点，，，…，，为作轴垂线，垂足分别为点，，，…，，；连接，交于点，连接，交于点…；连接，点交于点，记的面积为，的面积为，的面积为． （1）当时，点的坐标为______；______； ______；______；（用含的代数式表示） （2）当时，______．（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数交点的计算，几何图形面积的计算，掌握函数图象的性质，找出规律是解题的关键． （1）根据题意，得到点的坐标，根据得到对应阴影部分的面积，找出规律即可求解； （2）计算方法同（1）． 【小问1详解】 解：当时，反比例函数解析式为， ∵点，，，…，，的横坐标分别为1，2，3，…，，， ∴， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为：， 直线解析式为：， ∴， 解得，， ∴，且， ∴ ， ， ∴， 同理，， ∴， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，反比例函数解析式为， ∵点，，，…，，的横坐标分别为1，2，3，…，，， ∴， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为， 直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 同理，直线的解析式为：，直线的解析式为：， 直线的解析式为：，直线的解析式为：， ∴，，且， ∴ ， ， ， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $