精品解析：浙江省乐清市荆山公学2025-2026学年度高一上学期数学周测试卷（1月4日）

荆山公学2025-2026学年度高一周测试卷 数 学 考试范围：必修第一册；考试时间：1月4日17：10-19：10 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：） A. B. C. D. 8. 已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正实数满足，则（   ） A. 的最大值为 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 11. 以下命题正确的是（ ） A. 函数的图象与直线一定有1个公共点 B. 是非奇非偶函数 C. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为. D. 若函数的值域为，则的取值范围为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则等于________． 13. 已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________． 14. 已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）请在下面三个条件中任选一个，作为已知条件，求实数k的取值范围（全选按照第一个给分） 条件：①“”是“”的充分条件；②;③． 17. 已知定义域为的函数是奇函数，且. （1）求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）若，求实数m的取值范围. 18. 某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元）， 当游客人数不超过14万人时，； 当游客人数超过14万人时，． （1）写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）； （2）当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？ 19. 已知函数，对，有. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆山公学2025-2026学年度高一周测试卷 数 学 考试范围：必修第一册；考试时间：1月4日17：10-19：10 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，即， 又，所以， 故选：B. 2. 已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将角度化为弧度，再由弧长公式求出扇形的半径，最后由扇形面积公式计算可得. 【详解】因为，设扇形的半径为，所以，解得， 所以该扇形的面积． 故选：B． 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以 ，解得且 ， 所以函数的定义域是， 故选：B 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 6. 已知函数是上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数每一段都是增函数，且左侧函数值不大于右侧函数值求解. 【详解】由题意可知是上的单调递增函数，则，解得． 故选：B. 7. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得出关于、的等式组，解出这两个量的值，可得出的表达式，然后解方程，求出的值即可. 【详解】由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 所以，则． 故选：B. 8. 已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的零点和单调区间求解即可. 【详解】， 函数的一个零点是，故，, 所以， 在上单调，则， 故，解得， 且，故， 结合 故 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正实数满足，则（   ） A. 的最大值为 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 【详解】对于A，，则，当且仅当，时等号成立，A正确，； 对于B，，当且仅当，即时等号成立，B错误； 对于C，，当且仅当，时等号成立，C正确； 对于D，，则当且仅当，即可时等号成立，故D正确， 故选：ACD． 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D． 【详解】对于选项A:由题意可得，故， 则，， 即，解得， 又，即，故A正确； 对于选项B:即，当时，有， 故的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C:令，则， 当时，， 而在单调递增，故C正确； 对于选项D:将函数的图象向由右平移个单位得到，故D错误． 故选：ABC． 11. 以下命题正确的是（ ） A. 函数的图象与直线一定有1个公共点 B. 是非奇非偶函数 C. 若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为. D. 若函数的值域为，则的取值范围为. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的定义域值域，结合函数的奇偶性性质然后逐项判断； 【详解】选项A: 函数，在处没有意义，故两者没有公共点，选项错误； 选项B：定义域，解得：且定义域关于原点对称， 故函数为奇函数，选项错误； 选项C：当时，， 当时，，， 因为函数是奇函数，所以，故选项正确； 选项D：因为函数的值域为，设函数， 所以函数可以取遍所以大于0的数，故有 解得：，选项正确； 故选:CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的性质代入计算函数值即可. 【详解】由题意，. 故答案为：. 13. 已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数的图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 14. 已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，， 作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使, 解得，，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于较难题. 解题思路一般是将辐角看成整体角，求出其范围，借助于正弦函数（或余弦函数）的图象，即可求得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据对数及指数幂的运算法则求解； （2）利用诱导公式化简求解. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）请在下面三个条件中任选一个，作为已知条件，求实数k的取值范围（全选按照第一个给分） 条件：①“”是“”的充分条件；②;③． 【答案】（1） （2）选①，选②，选③：或． 【解析】 【分析】（1）解不等式可化简集合A，然后由集合并集可得答案； （2）若选①，可得，然后由题设可得答案；若选②，可得，然后由题设可得答案；若选③，可得，然后由题设可得答案. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以， 当时，，所以； 【小问2详解】 若选①，由“”是“”的充分条件，可得， 由（1）知， 当，即，时，显然有，满足题意， 当，即时，由可得，，解得. 故或． 若选②，因，则，之后解析同①； 若选③，因，则，之后解析同①. 17. 已知定义域为的函数是奇函数，且. （1）求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 由题意，函数是定义在上的奇函数，且 所以，解得， 此时，则，符合题意， 所以. 函数在上单调递增，证明如下： 由， 任取，且， 则 ， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而解出a，b的值，再利用函数单调性的定义证明单调性即可； （2）根据函数的奇偶性可将不等式化为，再结合单调性及定义域求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数， 由，即， 由（1）知，函数在上单调递增， 则，解得， 即实数m的取值范围为. 18. 某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元）， 当游客人数不超过14万人时，； 当游客人数超过14万人时，． （1）写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）； （2）当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？ 【答案】（1） （2）9万 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 根据题意得， 当时，， 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，， 且当时，在单调递增，当时，在单调递减， 此时． 当时，， 当且仅当时，等号成立． 因为，故当时，取得最大值1250， 即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为9万人． 19. 已知函数，对，有. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间为（） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据得到方程，求出，得到函数解析式，整体法得到函数单调性； （2）根据得到，凑角法，结合正弦和角公式得到答案； （3）根据伸缩和平移变换得到，令，故，令，从而得到，因为，所以当时，，所以，解出答案. 【小问1详解】 ， 因为对，有，可得当时，取得最值， 所以，， 可得，，又， 所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. 【小问2详解】 由，，， 可得，， 所以， 所以. 【小问3详解】 将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到 函数的图象，进而可得， 令， 只需， 令， 因为，所以， 所以， 因为，可得， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $