江苏省徐州市2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·徐州） （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（    ） A．d<3 B．d>3 C．d=3 D．无法确定 3．在小孔成像问题中，如图（三）所示，若点O到的距离是，O到的距离是，则物体的长是像长的（    ） A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍 4．在一次女子跳水比赛中，八名运动员的年龄（单位：岁）分别为：12，13，13，14，15，13，13，15．这组数据的众数是（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 5．在△ABC中，AC＝4，AB＝5，则△ABC面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 6．如果点在抛物线上，将此抛物线向右平移3个单位后，点同时平移到点，那么坐标为（    ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（    ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．如图，正八边形内接于，连接、，若，则的半径为（    ） A．1 B． C． D．2 二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9．如图是南方某市4月7日开始未来7天日最高气温和日最低气温走势图，则在这7天中温度值的极差为 ℃． 10．已知，则 ． 11．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围 12．如图，DC∥AB，OA=2OC，，则与的位似比是 ． 13．已知一个扇形的圆心角为，半径为3，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 14．用七巧板摆出如图所示的图案，一小球在图案上滚动，并随机停留在某处，你们停留在阴影部分的概率是 ． 15．如图，某景区计划在一块长、宽的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为，根据题意可列方程为 ． 16．如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ． 三、解答题（本大题共有8小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题8分） (1)计算 (2)解方程 18.（本题8分） 解下列方程和不等式组 (1) (2) (3) (4)解不等式组： 19. （本题8分）某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，现抽取两位同学的六次模拟成绩（满分100分）并进行整理、描述和分析，统计如下：（单位：分） 甲的成绩：90，89，92，89，90，90 乙的成绩：91，85，94，87，91，92 平均数 中位数 众数 甲的成绩 90 90 乙的成绩 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________；_________；_________； (2)甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则_________（填“”“”“”）； (3)应用你所学的统计知识，分析应选哪位同学参加市级信息技术大赛？ 20.（本题8分） 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“力”“旺”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．若一次从盒子中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好张为“力”、张为“旺”的概率． 21. （本题10分）已知关于的二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标； （2）若函数满足：对于任意的实数，都有成立． ①求的值： ②直线与函数的图象交于，两点，与函数的图象交于，两点，若对于任意的，都有，结合函数图象，直接写出的取值范围． 22. （本题10分）如图，内接于，为的直径，，是的弦，的切线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，垂足为，，求的长． 23. （本题10分）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角． 　　　　 (1)如图2，求遮阳棚前端到墙面的距离； (2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 24.（本题10分） 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） (1)求此时该展板点B到地面的距离； (2)该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 25.（本题12分）【新知学习】 如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【概念理解】 （1）下列三个三角形，是智慧三角形的是______（填序号）； 【灵活应用】 （2）如图，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）； 【深入探究】 （3）如图，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，那么为______时，为“智慧三角形”． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·徐州） （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合要求； B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； D选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 2．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（    ） A．d<3 B．d>3 C．d=3 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵点P在⊙O外， ∴d＞3． 故选：B． 3．在小孔成像问题中，如图（三）所示，若点O到的距离是，O到的距离是，则物体的长是像长的（    ） A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【详解】设点O到AB的距离为h1，点O到CD的距离为h2，则h1=18cm，h2=6cm 由题意知，△OAB∽△OCD ∴ ∴AB=3CD 即物体的长是像长的3倍 故选：B 4．在一次女子跳水比赛中，八名运动员的年龄（单位：岁）分别为：12，13，13，14，15，13，13，15．这组数据的众数是（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】这组数据中，13出现次数最多，故众数为：13． 故选：B． 5．在△ABC中，AC＝4，AB＝5，则△ABC面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】把AB边作为底边，则AB边上的高的最大值为AC的长度，同理把AC边作为底边，则AC边上的高的最大值为AB的长度，即三角形为直角三角形时面积最大，求出即可． 【详解】解：把AB边作为底边，则AB边上的高的最大值为AC的长度， 同理把AC边作为底边，则AC边上的高的最大值为AB的长度， 即三角形为直角三角形时面积最大； 所以，在△ABC中，AC=4，AB=5， 则△ABC面积的最大值为， 故选：B． 6．如果点在抛物线上，将此抛物线向右平移3个单位后，点同时平移到点，那么坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把代入得，于是得到点坐标为，由于抛物线向右平移3个单位，则抛物线上所有点都右平移3个单位，然后根据点平移的规律可确定点坐标． 【详解】解：把代入得， 则点坐标为， 把点向右平移3个单位后所得对应点的坐标为． 故选：C． 7．二次函数的图象经过点，，．若，且抛物线的对称轴为直线．则下列结论的正确的是（    ） ①；②；③关于的方程的两根之积；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系、二次函数与方程． 根据对称轴可得，由点A和点B的函数值符号可得，进而判断和正确；方程两根之积；根据当时，总有，可得，再由点，在对称轴的同侧，可得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，     ∴， ∴， ∵图象经过点，且， ∴，故②正确； ∵， ∴图象经过点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，故①正确； 设方程的两根为， ∵， ∴二次函数的图象与的一个交点在和之间， 不妨设， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵点，在抛物线上， ∴， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴, 要使不等式恒成立，只需当取最小值时该不等式成立， ∵点，在对称轴的同侧， ∴，即的最小值为2， ∴，即，故④正确； 综上，正确结论为①②④． 故选：B 8．如图，正八边形内接于，连接、，若，则的半径为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，根据正八边形的性质对称，，同理得出，设正八边形的边长为，即，在中，求出，同理得出，从而得，在和中，列出等式求出即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则， ∵正八边形内接于， ， ， 同理， 设正八边形的边长为，即， 在中，， ， 同理， ， 在中，， ， ， 即， 解得， 在中， ， ， 的半径为， 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9．如图是南方某市4月7日开始未来7天日最高气温和日最低气温走势图，则在这7天中温度值的极差为 ℃． 【答案】15 【详解】由图可知04-13的温度最高，为30℃， 04-08的温度最低，为15℃， ∴在这7天中温度值的极差为30-15=15℃． 故答案为：15． 10．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知比例关系，设，（），代入计算即可． 【详解】解：由，设，（）， 则． 故答案为：． 11．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后解两个不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得且， 解得且； 故答案为：且． 12．如图，DC∥AB，OA=2OC，，则与的位似比是 ． 【答案】1︰2 【分析】先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OCD与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA＝． 【详解】∵DC∥AB， ∴△OAB∽△OCD， ∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O， ∴△OCD与△OAB的位似， ∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA＝. 13．已知一个扇形的圆心角为，半径为3，将这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径． 【详解】解：∵扇形的弧长=， ∴圆锥的底面半径为． 故答案为：． 14．用七巧板摆出如图所示的图案，一小球在图案上滚动，并随机停留在某处，你们停留在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为a， 则阴影部分的为标号为1，4，7的三角形的面积，即：， ∴它停在阴影部分的概率， 故答案为：． 15．如图，某景区计划在一块长、宽的矩形空地上修建一个停车场，在停车场中修建四块大小相同的矩形停车区域，使停车区域的面积之和为．若四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，则行车通道的宽度为多少？设行车通道的宽度为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据据停车区域面积之和为拼起来矩形的面积，列出一元二次方程，然后求解即可，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 【详解】解：根据题意，可得， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ． 【答案】 【分析】折叠是对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．由折叠可得到，得出，在中依据勾股定理进行计算，即可求出CD长，即得AB的长． 【详解】解：根据矩形ABCD中，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A，折痕为DE， ∴∠DAE=∠A=90°，AD=AD=6， 根据矩形ABCD中，将∠B沿EA向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B， ∴AB=AB，∠BAE=∠BAE， ∵∠BAE+∠DAC=90°，∠BAE+∠DAB=90°， ∴∠DAC=∠DAB， 在DAB和DAC中， ∴， ∴， 在RtACD中，∠C=90°，AD=6，AC=3，则由勾股定理得 CD=，即在矩形ABCD中，AB=CD=， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有8小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题8分） (1)计算 (2)解方程 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：    （2）， 移项，得， 配方，得， 即， ∴， 解得：，． 18.（本题8分） 解下列方程和不等式组 (1) (2) (3) (4)解不等式组： 【答案】(1)； (2)； (3)此方程无解； (4) 【分析】本题考查解一元二次方程的解，解分式方程，解不等式组，掌握解方程和不等式的基本步骤是关键； （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据公式法解方程即可求解； （3）先去分母，再解整式方程，最后进行检验即可求解； （4）分别求出两个一元一次不等式的解，再求公共部分即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∵ ， ∴， ∴； （3）解： 去分母得：， 解得：， 经检验：是增根，舍去， 故此方程无解； （4）解：由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为：． 19. （本题8分）某校拟从甲、乙两位同学中选一人参加市级信息技术大赛，现抽取两位同学的六次模拟成绩（满分100分）并进行整理、描述和分析，统计如下：（单位：分） 甲的成绩：90，89，92，89，90，90 乙的成绩：91，85，94，87，91，92 平均数 中位数 众数 甲的成绩 90 90 乙的成绩 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________；_________；_________； (2)甲、乙两位同学成绩的方差分别记为、，则_________（填“”“”“”）； (3)应用你所学的统计知识，分析应选哪位同学参加市级信息技术大赛？ 【答案】(1)90；90；91 (2) (3)甲、乙同学成绩的平均数相同，但乙同学成绩的中位数和众数比甲同学高，所以选乙 【分析】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． （1）根据平均数的定义直接求出乙的成绩的平均数，再找到乙的成绩的6个数据中出现次数最多的即为的值，将甲成绩的6个数据进行排序，第3和第4个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到成绩的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数、中位数和众数作决策即可． 【详解】（1）解：乙成绩的平均数， 乙成绩的6个数据中，出现次数最多的是：91， ∴； 将甲成绩的6个数据进行排序：89，89，90，90，90，92； ∴； 故答案为：90；90；91； （2）由折线统计图可知：乙的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． （3）甲、乙同学成绩的平均数相同，但乙同学成绩的中位数和众数比甲同学高，所以选乙 20.（本题8分） 一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“力”“旺”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．若一次从盒子中随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好张为“力”、张为“旺”的概率． 【答案】抽取的卡片恰好1张为“力”、1张为“旺”的概率为． 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率． 根据题意画树状图，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中，恰好张为“力”、1张为“旺”的情况有种， ∴． ∴抽取的卡片恰好1张为“力”、1张为“旺”的概率为． 21. （本题10分）已知关于的二次函数． （1）求函数图象的顶点坐标； （2）若函数满足：对于任意的实数，都有成立． ①求的值： ②直线与函数的图象交于，两点，与函数的图象交于，两点，若对于任意的，都有，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，从而可得答案； （2）①分别求解与的最值，再分三种情况讨论：当 逐一分析对于任意的实数，是否都有成立，从而可得答案；②分别求解当时，的顶点坐标，再确定直线过定点 从而可得当时，的图象关于对称，从而证明 再结合抛物线的图象的性质可得答案. 【详解】解：（1） 函数的顶点坐标为： （2） 当时，函数取得最大值 ， 当时，函数取得最小值 当时，有 对于任意的实数，不成立． 当时，最大值为 的最小值为 此时 此时： 即：对于任意的实数，都有成立． 当时，有 此时：对于任意的实数，不成立． 综上： ②当时，，， 顶点坐标分别为： 过定点， 如图， 关于成中心对称， 当时，与关于成中心对称， 对于抛物线，越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大， 当的开口宽度比大时，总有 所以当 则 综上：对于任意的，都有时， 22. （本题10分）如图，内接于，为的直径，，是的弦，的切线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，垂足为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到，再由圆周角定理可得，即可求证； （2）根据垂径定理可得，从而得到，从而得到是等边三角形，进而得到，在中，根据锐角三角函数可得，再在中，根据锐角三角函数，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵为的直径， ∴，， ∴在中，， ∴． ∴在中，， ∴． 23. （本题10分）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角． 　　　　 (1)如图2，求遮阳棚前端到墙面的距离； (2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)遮阳棚前端B到墙面的距离约为 (2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质等知识点，将实际问题转化为几何问题成为解题的关键． （1）如图3，作于，在中，根据列式计算即可； （2）如图3，作于，于，延长交于，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后在中，解直角三角形求出，进而可得的长． 【详解】（1）解：如图3，作于， 在中，，即， ． 答：遮阳棚前端到墙面的距离约为． （2）解：如图3，作于，于，延长交于，则， 四边形，四边形是矩形， 由（1）得， ， 在中，，即， ， 由题意得：， ， ， 在中，，即， ， ． 答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为． 24.（本题10分） 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） (1)求此时该展板点B到地面的距离； (2)该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； （2）解：最高点A到地面的高度为， 当时，， 在中， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 同理得， ∴， ∴． 故当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了． 25.（本题12分）【新知学习】 如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【概念理解】 （1）下列三个三角形，是智慧三角形的是______（填序号）； 【灵活应用】 （2）如图，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）； 【深入探究】 （3）如图，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，那么为______时，为“智慧三角形”． 【答案】（1）① （2）图见详解 （3）或或或 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可判断． （2）分别按照直径所对的圆周角为直角，和分别过点，作线段的垂线的方法即可找到四个点，使得为“智慧三角形”． （3）分当点在线段上，点在线段上时和当点在线段上，点在线段上时两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）∵直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半， ∴①是“智慧三角形”． 故答案为：①． （2）解：①选用圆规画出的垂直平分线，即可得出中点，以点为圆心，以为半径画圆，与直线相交的两个点，即为和，与连接形成的，，如图所示： ∵， ∴，均为智慧三角形． ②延长线段，再分别过，作线段的垂线，交直线于点和，与连接形成的，，如图所示： ∵， ∴，均为智慧三角形． （3）①当点在线段上，点在线段上时，若，则， ∴， 解得：． 若，则， ∴， ∴． ②当点在线段上，点在线段上时，若，则， ∴， ∴， 若，则， ∴， ∴， 综上所述：满足条件的的值为或或或． 故答案为：或或或． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $