精品解析：上海市建平中学西校2025-2026学年八年级上学期数学期末试卷

2025学年度第一学期八年级数学学科期末考试试卷 （共4页 时间：90分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每个小题只有一个正确选项） 1. 下列数中，、、、、，无理数的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数．据此逐个判断每个数即可．也考查了有理数及算术平方根． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无理数； 是有限小数，是有理数； 是无理数； 是整数，属于有理数； ∴ 无理数有个． 故选：B． 2. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二次根式的化简，判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后比较被开方数是否相同，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，， 被开方数均为2，是同类二次根式； 选项B： 已是最简根式，， 被开方数均为7，是同类二次根式； 选项C： ，，被开方数均为3，是同类二次根式； 选项D： ， 被开方数为3；， 被开方数为6，不是同类二次根式； 故选D． 3. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟记根的判别式是关键． 通过计算一元二次方程的判别式判断是否有实数解，若则有实数解． 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 4. 如果关于x的一元二次方程（a-c）x2-2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程（a-c）x2-2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根， ，即 ， 解得：a2=b2+c2且a≠c． 又∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴△ABC为直角三角形． 故选A． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有理数与无理数的积是无理数 B. 没有平方根 C. 数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D. 一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根，立方根的性质，数轴，有理数与无理数的积，根据相关知识逐一判断即可． 【详解】解：选项A，有理数0与无理数的积为0，是有理数，不符合题意； 选项B，若，则，有平方根，不符合题意； 选项C，数轴上存在无理数点，不与有理数对应，不符合题意； 选项D，若，平方根有两个值，立方根只有一个值，不可能相等；若，平方根不存在，立方根存在；只有时，平方根和立方根均为0，符合题意； 故选D． 6. 在中，边上的高，那么另一边的长为多少（ ） A. 10 B. 8 C. 6或10 D. 8或10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理，在和中分别求出和的长度，然后根据垂足D的位置分类讨论，求解即可． 【详解】解：如图， ∵是边上的高，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴ 情况1：当垂足D在线段上时， ， 情况2：当垂足D在延长线上时， ， ∴ 的长为10或6． 故选C． 二、填空题（本大题共12小题） 7. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 8. 比较大小：_____ （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】 【详解】解：∵，，且18＞12， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜ 9. 某种细菌的直径是0.00000078m，用科学记数法表示为：_____． 【答案】 m 【解析】 【分析】利用科学记数法将数表示为即可． 【详解】解：0.00000078＝． 故答案为： m． 【点睛】本题主要考查了科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法表示较小的数的方法进行求解是解决本题关键． 10. 当_____时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 由二次根式有意义得：被开方数为非负数列不等式可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 11. 在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝_____． 【答案】2（x﹣）（x﹣） 【解析】 【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果． 【详解】解：令2x2﹣4x﹣1＝0， 这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∵△＝16+8＝24， ∴ 则原式＝2（x﹣）（x﹣）. 故答案为2（x﹣）（x﹣）. 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键．由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值． 【详解】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：2． 13. 快过元旦了，全班同学每两人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有名同学，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为每两人互发一条祝福短信，则每个人都要发条，据此列出方程即可． 【详解】解：设全班有名同学， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系进而列出方程是解题的关键． 14. 实数分别满足且，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由题意得和是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，求出和的值，再代入的表达式求解即可． 【详解】解：∵和满足方程和，且， ∴和是方程的两个实数根， 根据根与系数的关系，得，， ∴， 故答案为:． 15. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=35°,D为AB边上的中点,CE⊥AB,那么∠DCE=_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得，则，从而根据外角的性质可得，在中，求解即可. 【详解】在中，，D为AB边上的中点 （直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半） （等边对等角） 又 是直角三角形 . 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质.直角三角形的性质主要有：（1）在直角三角形中，两锐角互余；（2）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半；（4）勾股定理；这些性质都是常考点，需熟记. 16. 已知：如下图，在中，，，的垂直平分线交于，垂足为，，则_________. 【答案】2； 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质得，根据直角三角形性质得DC=AD. 【详解】连接AD, 因为的垂直平分 所以BD=AD=4cm 所以 因为 所以 所以 所以DC=AD=2 故答案为：2 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 17. 有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图（1）所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图（2）所示．若“生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积之和是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理，根据勾股定理得出规律经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，即可得解．正确得出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，边长为的大正方形经过次“生长”后，形成图形如图， “生长”次，“生长”出的两个正方形，三个正方形围成，三个正方形面积和为：； “生长”次，又“生长”出四个正方形，所有的正方形围成的直角三角形有、、，则这四个正方形面积和等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，即，， ∴所有正方形的面积之和为： ； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和等于第二次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为：； …… 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， ∴“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为：． 故答案为：． 18. 已知，在△ABC中，AB=，∠C=22.5°，将△ABC翻折使得点A与点C重合，折痕与边BC交于点D，如DC=2，那么BD的长为_____． 【答案】+1或﹣1． 【解析】 【分析】过A作AF⊥BC于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到BD的长． 【详解】分两种情况： ①当∠B为锐角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F， 由折叠可得，折痕DE垂直平分AC， ∴AD=CD=2， ∴∠ADB=2∠C=45°， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴AF=DF= ， 又∵AB=， ∴Rt△ABF中，BF= =1， ∴BD=BF+DF=1+； ②当∠ABC为钝角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F， 同理可得，△ADF是等腰直角三角形， ∴AF=DF=， 又∵AB= ， ∴Rt△ABF中，BF==1， ∴BD=DF﹣BF=﹣1； 故答案为 +1或﹣1． 【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行 求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变， 位置变化，对应边和对应角相等． 三、简答题（本大题共6小题） 19. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】先把前三项化为最简二次根式，第四项用二次根式的除法法则计算，然后合并即可． 【详解】原式=2++3﹣+﹣=2++3﹣+2﹣2=4+． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 20. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先去括号，移项，合并同类项，再用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 即 解得， 解得， ∴原方程的解为，． 21. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式，二次根式的化简，掌握解不等式的方法是解题的关键，根据不等式的性质解不等式，再将二次根式化简即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10．点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等． （1）用直尺圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点D）； （2）求点D到边AB的距离． 【答案】 （1）如图，点D就是所要求作的点； （2） 【解析】 【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于D，则根据角平分线的性质可判断点D到边AB和边BC的距离相等； （2）过点D作DE⊥AB于E，如图，利用勾股定理计算出BC=8，设DE=x，则DC=x，利用S△ADB+S△BCD=S△ABC得到x+x=×6×8，然后解方程求出x即可． 【详解】解：（1）略 （2）过点D作DE⊥AB于E，如图， 在Rt△ABC中，BC= =8， 设DE=x，则DC=x， ∵S△ADB+S△BCD=S△ABC， ∴10x+8x=×6×8 ∴x=， ∴点D到边AB的距离为． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质． 23. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理，得，解得，， ∴m的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 24. 如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． （1）若，则和各为多少米？ （2）若，则和各为多少米？ 【答案】（1）米和米或米和米 （2）米和米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，不等式的应用， （1）设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米，再根据“总面积为平方米”得到关于的一元二次方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； （2）根据题意列出方程，求解后结合题意确定的值后可得答案； 正确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； 【小问2详解】 解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． 四、解答题（本大题共2小题） 25. 已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图所示，连接， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【解析】 【分析】（1）由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则； （2）如图所示，连接，根据直角三角形的性质得到，则，再由角平分线的定义证明，推出，即可证明垂直平分，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，相等垂直平分线的性质与判定等等，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 26. 已知，是的平分线，按以下要求解答问题： （1）如图1，将三角板的直角顶点在射线上移动并绕着点旋转，两直角边分别与边、交于点、，求证：． （2）将三角形的直角顶点在射线上移动，一直角边与边交于点，， ①如图2，若另一直角边所在的直线与边交于点，与的延长线交于点，使，求出此时的长． ②如图3，若另一直角边所在的直线与的延长线交于点、与边交于点，使，直接写出此时的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点，作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）如图，过点作于点，作于点，根据角平分线的性质得，证明，即可得证； （2）①设交于点，推出，继而得到，再根据直角三角形斜边中线的性质可得答案； ②如图，过点作于点，作于点， 根据角平分线的性质得，结合等腰三角形判定推出，证明得，，进一步推出，设，利用勾股定理推出，，最后得到关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设交于点， ∵点是三角板的直角顶点，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， 此时的长为； ②如图，过点作于点，作于点， ∵点是三角板的直角顶点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 此时的长为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的斜边上中线的性质，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第一学期八年级数学学科期末考试试卷 （共4页 时间：90分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每个小题只有一个正确选项） 1. 下列数中，、、、、，无理数的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 下列关于的方程中一定有实数解的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如果关于x的一元二次方程（a-c）x2-2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有理数与无理数的积是无理数 B. 没有平方根 C. 数轴上的每个点都有一个有理数与之对应 D. 一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0 6. 在中，边上的高，那么另一边的长为多少（ ） A. 10 B. 8 C. 6或10 D. 8或10 二、填空题（本大题共12小题） 7. 的平方根是_______． 8. 比较大小：_____ （填“＞”或“＜”或“＝”）． 9. 某种细菌的直径是0.00000078m，用科学记数法表示为：_____． 10. 当_____时，二次根式有意义． 11. 在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝_____． 12. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为_____． 13. 快过元旦了，全班同学每两人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有名同学，则可列方程为______． 14. 实数分别满足且，则的值是_____． 15. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=35°,D为AB边上的中点,CE⊥AB,那么∠DCE=_______. 16. 已知：如下图，在中，，，的垂直平分线交于，垂足为，，则_________. 17. 有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图（1）所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图（2）所示．若“生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积之和是_____． 18. 已知，在△ABC中，AB=，∠C=22.5°，将△ABC翻折使得点A与点C重合，折痕与边BC交于点D，如DC=2，那么BD的长为_____． 三、简答题（本大题共6小题） 19. 计算：. 20. 解方程：． 21. 解不等式：． 22. 如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10．点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等． （1）用直尺圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点D）； （2）求点D到边AB的距离． 23. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值． 24. 如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． （1）若，则和各为多少米？ （2）若，则和各为多少米？ 四、解答题（本大题共2小题） 25. 已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： （1）； （2）． 26. 已知，是的平分线，按以下要求解答问题： （1）如图1，将三角板的直角顶点在射线上移动并绕着点旋转，两直角边分别与边、交于点、，求证：． （2）将三角形的直角顶点在射线上移动，一直角边与边交于点，， ①如图2，若另一直角边所在的直线与边交于点，与的延长线交于点，使，求出此时的长． ②如图3，若另一直角边所在的直线与的延长线交于点、与边交于点，使，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $