第一章 三角形的证明 学情评估卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章　学情评估卷 一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分) 1．若一个等腰三角形的顶角为30°，则这个等腰三角形的底角为(　　) A．30° B．50° C．65° D．75° 2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(　　) A．1，2，3 B．1，， C.，2， D．5，6，7 3．下列命题的逆命题是真命题的是(　　) A．对顶角相等 B．等边三角形是轴对称图形 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的对应边相等 4． 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AC交AB于点E，若∠BED＝64°，则∠ADE的度数是(　　) A．23° B．26° C．30° D．32° (第4题) (第5题) (第6题) 5．如图，射线OC平分∠AOB，点D，Q分别在射线OC，OB上，若OQ＝4，△ODQ的面积为10，过点D作DP⊥OA于点P，则DP的长为(　　) A．10 B．5 C．4 D．3 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F。已知CF＝3，AF＝5，则BF的长为(　　) A．3 B．2 C．4 D．4 7. 小华新买了一条跳绳，如图①，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度。将图①抽象成图②，若两手握住的绳柄两端的距离约为1 m，小臂到地面的距离约为1.2 m，则适合小华的绳长为(　　) A．2.2 m B．2.4 m C．2.5 m D．2.6 m 8. 尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理。如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，BC的长为半径作弧交边AB于点D；②以点A为圆心，AD的长为半径作弧交AC于点E；③连接CD与DE。则∠CDE的度数是(　　) A．50° B．55° C．70° D．80° 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 9．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角小于或等于45°”，应先假设_________________________________________________________。 10．如图，在等边三角形ABO中，点A在第二象限，点B的坐标为(－1，0)，若正比例函数y＝kx的图象经过点A，则k的值为________。 　 　 (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 11．如图，在△ABC中，AB>AC，D是BC延长线上一点，过点D的直线分别交AB，AC于点E，F，若∠B＝x°，∠ACB＝y°，∠1＝∠2，则∠D＝________°(用含x，y的代数式表示)。 12．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝68°，∠AEB＝94°，则∠EBD的度数为________。 13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是边BC上一点，DE是线段AC的垂直平分线，交AC于点E，AE＝AB，则∠C的度数为________。 14．如图，等腰三角形ABC的底边BC＝12，面积为48，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为________。 三、解答题(共6小题，共58分) 15．(8分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF。 (1)求证：△ACE≌△BDF； (2)若AB＝8，AC＝2，求CD的长。 16．(8分)如图，在四边形ABCD中，已知BC＝CD＝4，CD⊥BC，垂足为C，AD＝，AB＝7，求∠ADC的度数。 17.(7分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，请用尺规作图法，求作一个等边三角形CDE，使得D，E两点在边AB上。(保留作图痕迹，不写作法) 18．(10分)如图，早上8：00，一艘轮船以15 n mile/h的速度由南向北航行，在点A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在点B处测得小岛P在北偏西30°方向上，若轮船不改变方向，则轮船继续向前航行至何处时距离小岛P最近？最近距离是多少海里？ 19．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝50°，点D在线段BC上运动(不含端点)，连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E。 (1)当线段DC的长为何值时，△ABD≌△DCE； (2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。 20．(15分)【问题提出】 学习了三角形的角平分线的定义之后，我们把三角形的三条内角平分线的交点叫作三角形的内心。 (1)如图①，已知△ABC的周长和面积都为30，点O是△ABC的内心，求点O到边AB的距离； 【问题探究】 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝∠ABC＝90°，以AB为边作等边三角形ABE，使得点E在边CD上，且∠BEC＝30°，点F是等边三角形ABE的内心，求点F到边CD的距离； 【问题解决】 (3)如图③所示的四边形ABCD为某公园的平面图，市政府计划在公园内部修建一个三角形广场即△ABE，点E到AB的距离为60 m，在三角形广场ABE的边上装满彩灯，并在△ABE的内心F处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉F处到边CD上修建一条最短的地下水渠以便抽水。已知AB＝2BC＝80 m，AD＝100 m，∠DAB＝∠ABC＝90°，据了解，彩灯每米30元，修建水渠每米60元，当彩灯费用最少时，求装满彩灯和修建水渠的总花费。(结果保留根号) 答案 一、1.D　2.B　3.D　4.D　5.B　6.A 7．D　8.A 二、9.直角三角形中两个锐角都大于45° 10．－　11.　12.138°　13.30°　14.＋3 三、15.(1)证明：在△ACE和△BDF中， ∴△ACE≌△BDF(AAS)。 (2)解：∵△ACE≌△BDF，AC＝2， ∴BD＝AC＝2。 又∵AB＝8，∴CD＝AB－AC－BD＝4。 16．解：连接BD，如图所示。 ∵BC＝CD＝4，CD⊥BC， ∴∠BDC＝45°，BD2＝ BC2＋CD2＝32。 ∵AD＝，AB＝7， ∴AD2＝17，AB2＝49。 ∵AD2＋BD2＝17＋32＝49＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠BDC＋∠ADB＝45°＋90°＝135°。 17．解：如图所示，△CDE即为所求。 18．解：如图，过点P作PD⊥AC于点D，依题意得AB＝15×2＝30(n mile)，∠PAB＝15°，∠PBC＝30°， ∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°， ∴∠APB＝∠PAB， ∴PB＝AB＝30 n mile。 在Rt△PBD中，∠PBD＝30°， ∴PD＝PB＝15 n mile，∴BD＝＝＝ 15 (n mile)。 即若轮船不改变方向，则轮船继续向前航行至距离B处15 n mile时，距离小岛P最近，最近距离是15 n mile。 19．解：(1)当DC＝2时，△ABD≌△DCE。 理由如下： ∵AB＝AC＝2，DC＝2，∠B＝50°， ∴AB＝DC，∠C＝∠B＝50°。 ∵∠ADE＝50°，∴∠BDA＋∠CDE＝130°。 ∵∠C＝50°，∴∠CED＋∠CDE＝130°， ∴∠BDA＝∠CED， ∴△ABD≌△DCE(AAS)。 (2)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA的度数为115°或100°，分情况如下： ①当AD＝DE时， ∠DAE＝∠DEA＝＝65°， ∴∠BDA＝∠DAC＋∠C＝65°＋50°＝115°； ②当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝50°，此时，点E与点C重合，点D与点B重合，不合题意，∴AD≠AE； ③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝50°， ∴∠BDA＝∠DAE＋∠C＝50°＋50°＝100°。 ∴当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE的形状可以是等腰三角形。 20．解：(1)分别过点O作OD⊥AC，OF⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，F，E，连接OA、OB、OC，如图①。 ∵点O是△ABC的内心， ∴OD＝OF＝OE， S△AOC＝AC·OD，S△BOC＝×BC·OF，S△AOB＝AB·OE。 ∵△ABC的周长为30， ∴AC＋BC＋AB＝30。 又∵△ABC的面积为30， ∴S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝AC·OD＋BC·OF＋AB·OE ＝(AC＋BC＋AB)·OE ＝×30×OE＝30， 解得OE＝2， 即点O到边AB的距离为2。 (2)如图②，过点F作FN⊥DC于点N，连接EF并延长交AB于点M，连接AF， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝∠EAB＝60°，AE＝AB＝4。 ∵点F是等边三角形ABE的内心， ∴EM平分∠AEB，AF平分∠EAB， ∴EM⊥AB，AM＝MB＝AB＝2，∠FAM＝∠EAB＝30°，∠FEB＝∠AEB＝30°， ∴EM＝＝2。 ∵∠AMF＝90°，∠FAM＝30°， ∴AF＝2FM， ∴MF2＋AM2＝AF2， 即MF2＋22＝(2MF)2， 解得MF＝(负值舍去)， ∴EF＝EM－MF＝2－＝。 ∵∠FEB＝30°，∠BEC＝30°， ∴∠FEC＝∠FEB＋∠BEC＝60°。 ∵FN⊥CD，∴∠ENF＝90°， ∴∠NFE＝30°， ∴EN＝EF＝， ∴FN＝＝2， 即点F到边CD的距离为2。 (3)如图③，在边AD上取一点P，使AP＝60 m，过P点作直线GH∥AB，则直线PH与AB间的距离为60 m， ∴点E在直线GH上。 ∵GH∥AB，DA⊥AB，∴DA⊥GH。 延长PD至A′，使PA′＝PA＝60 m， 则点A′与点A关于直线GH对称。 连接A′B交直线GH于点E， 则EA＋EB＝EA′＋EB＝A′B， 则C△EAB＝A′B＋AB， ∵两点之间线段最短， ∴此时△EAB的周长最小。 由勾股定理得A′B＝＝＝40(m)， ∴C△EAB＝(40＋80)m。 过点E作EM⊥AB于点M， 则∠EMB＝90°，EM＝60 m， ∵GH∥AB，∴∠A′EP＝∠EBM。 又∵∠A′PE＝∠EMB＝90°，A′P＝EM＝60 m， ∴△A′PE≌△EMB(AAS)， ∴A′E＝EB＝A′B＝20 m， ∴AE＝EB＝20 m， ∴EM平分∠AEB， 且AM＝MB＝AB＝40 m， ∴点F在EM上。 由(1)知S△EAB＝C△EAB·FM＝AB·EM， ∴C△EAB·FM＝AB·EM， ∴(40＋80)·FM＝80×60， 解得FM＝ m。 如图④，作CQ⊥DA于点Q， 则易得AQ＝BC＝AB＝40 m， QC＝AB＝80 m， ∴DQ＝DA－AQ＝60 m， ∴DC＝＝100 m。 作FN⊥DC于点N，连接FA、FB、FC、FD， 作FI⊥DA于点I，FJ⊥BC于点J，则FI＝40 m，FJ＝40 m， ∵S△ADF＋S△ABF＋S△BCF＋S△CDF＝S梯形ABCD， ∴AD·FI＋AB·FM＋BC·FJ＋CD·FN＝(AD＋BC)·AB， ∴AD·FI＋AB·FM＋BC·FJ＋CD·FN＝(AD＋BC)·AB， ∴100×40＋80×＋40×40＋100FN＝(100＋40)×80， 解得FN＝ m， ∴总费用为(40＋80)×30＋×60＝(7 040＋560)元。 学科网（北京）股份有限公司 $