第24章 圆 单元检测 2025-2026学年沪科版 数学九年级下册

圆 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1.将图中的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是 ( ) 2.已知⊙O的半径为4，点 P在⊙O内，则OP的长可能是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知圆锥的底面半径是2cm，侧面积为8πcm²，则这个圆锥的母线长为 ( ) A.2cm B.3cm C.4 cm D.6 cm 4.如图,P是⊙O直径AB 延长线上的一点,PC与⊙O相切于点C,若∠P=20°,则∠A 的度数为( ) A.40° B.35° C.30° D.25° 5.如图，AB是圆O的直径，点C在BA 的延长线上，直线CD与圆O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD,( 则OE的长度为 ( ) A. B.2 C.2 D.4 6.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是 ( ) A. AE=BE B.∠AOC=∠BOC C. CE=OE 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 8.如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,且PA=8,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C,D两点,则△PCD的周长为 ( ) A.32 B.24 C.16 D.8 9.如图，边长为2 的等边三角形ABC的内切圆的半径为 ( ) A.1 B. C.2 D.2 10.如图,⊙O的半径为2,点P是半径OA上的一个动点,过点 P作直线MN且∠APN=60°,过点A的切线AB交MN 于点B.设OP=x，△PAB的面积为y，则下列图象中，能表示y与x之间的函数关系的大致图象是 ( ) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.用反证法证明“一个五边形不可能有4个内角为锐角”应假设 ： 12.如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB的度数是20°,AB的长为π,则⊙O的半径是 . 13.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，⊙P与x轴交于O，A两点，与y轴交于点B，已知点A的坐标为(-6，0)，A，B两点间的距离为 则点 P 的坐标为 . 14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=6,在AC上取一点D,使AD=4,将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，点D的对应点是点 P，连接BP，取BP的中点F，连接CF，当点 P旋转至CA的延长线上时，CF的长是 ，在旋转过程中，CF的最大长度是 . 学科网（北京）股份有限公司 l 学科网（北京）股份有限公司 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.如图,在⊙O中,B,C是AD的三等分点,弦AC,BD相交于点E. (1)求证:AC=BD; (2)连接CD,若 ,求∠BEC的度数. 16.如图，在小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题： (1)将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A₁B₁C₁； (2)将△DEF绕D点逆时针旋转90°,画出旋转后的△DE₁F₁. 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.如图,以▱ABCD的顶点A 为圆心,AB为半径作圆,分别交AD,BC于点E,F,延长BA交⊙A于点G. (1)求证:( (2)若BF的度数为50°,求∠C的度数. 18.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m,现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB所在圆O的半径r. 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD,CD. (1)求证:BD平分∠ABC; (2)当∠ODB=30°时,求证:四边形OBCD是菱形. 20.如图，以△ABC的BC边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于点F,AC=FC. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)已知圆O的半径R=4,EF=3,求sin∠C的值. 六、(本题满分12分) 21.如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E. (1)求证:AC∥DE; (2)连接CD,当OA=AE=2时,求四边形ACDE的面积. 七、(本题满分12分) 22.如图,已知⊙O的直径AB=8cm,直线DM与⊙O相切于点E,连接BE,过点B作BC⊥DM于点C,BC交⊙O于点F,BC=6 cm. 求:(1)线段BE的长; (2)图中阴影部分的面积. 八、(本题满分14分) 23.已知:⊙O上有两个定点A,B和两个动点C,D,AC与BD 交于点E. (1)如图1,求证:EA·EC=EB·ED; (2)如图2,若 ,AD是⊙O的直径,求证:AD·AC=2BD·BC; (3)如图3,若AC⊥BD,点O到AD的距离为2,求BC的长. 学科网（北京）股份有限公司 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 圆 1. C 2. A 3. C 4. B 5. B 6. C 7. C 8. C 9. A 10. D 11.一个五边形中，有4个内角为锐角 12. 13.(—3,2) 14. +2 15.(1)证明:∵B,C是AD的三等分点, ∴AC=BD,∴AC=BD. (2)解:如图,连接AD. ∵∠BDC=25°, ∴∠CAD=∠BDA =∠BDC=25°. ∵∠AED+∠CAD+ ∠BDA=180°, ∴∠AED=180°-∠CAD- ∠BDA=130°, ∴∠BEC=∠AED=130°. 16.解:(1)如图,△A₁B₁C₁ 即为所求. (2)如图,△DE₁F₁即为所求. 17.(1)证明:如图,连接AF. < ∵AB=AF, ∴∠ABF=∠AFB. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC, ∴∠AFB=∠DAF, ∠GAD=∠ABF, ∴∠DAF=∠GAD, 即∠EAF=∠GAE, ∠∴GE=EF. (2)解:∵BF的度数为50°, ∴∠BAF=50°. ∵AB=AF, ∴∠B=∠AFB =65°. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD, ∴∠C=180°-∠B=115°. 18.解:∵弓形的跨度AB=3m,EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB于点F, ∵AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1m, ∴AO=r,OF=r-1. 在 Rt△AOF 中,由勾股定理,可知 即 解得 答：AB所在圆O的半径r为 m. 19.(1)证明:∵OD⊥AC, ∴∠ABD=∠CBD, ∴BD平分∠ABC. (2)解:∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°. 又∵OD⊥AC, ∴OD∥BC. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB=30°, ∴∠AOD=60°, ∴∠A=30°, ∴在Rt△ABC中, ∴BC=OD. 又∵OD∥BC, ∴四边形OBCD是平行四边形. 又∵BC=OB, ∴四边形OBCD是菱形. 20.(1)证明:如图,连接OA,OD. ∵OA=OD,AC=FC, ∴∠OAD=∠ODA, ∠CAD=∠AFC=∠OFD, ∴∠OAD+∠CAD =∠ODA+∠OFD. ∵D为BE的中点, ∴OD⊥BE, ∴∠DOF=∠DOB=90°, ∴∠ODA+∠OFD=90°, ∴∠OAD+∠CAD=90°, 即OA⊥AC. 又∵OA是⊙O的半径, ∴AC是⊙O的切线. (2)解:∵圆O的半径R=4,EF=3,∴OF=1. 在Rt△OAC中,设AC=x, 则AC=FC=x,OC=x+1. 即 解得 21.(1)证明:∵F为弦AC(非直径)的中点， ∴AF=CF,OD⊥AC. ∵DE切⊙O于点D, ∴OD⊥DE,∴AC∥DE. (2)解:∵AC∥DE, 且OA=AE, ∴F为OD的中点, 即OF=FD. 又∵AF=CF, ∠AFO=∠CFD, ∴△AFO≌△CFD, 在Rt△ODE中, ∵OD=OA=AE=2, ∴OE=4, =2 22.解:(1)如图,连接AE,EO. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠AEB=90°. 又∵BC⊥DM, ∴∠ECB=90°, ∴∠AEB=∠ECB. ∵直线DM与⊙O相切于点E， ∴∠AEO+∠OEG =∠CEB+∠OEG=90°, ∴∠AEO=∠CEB=∠EAB, ∴△AEB∽△ECB,∴AB=BC, (2)如图,过点 O作OG⊥BE 于点G. ∴BG=EG. 在Rt△ABE中, ∴∠ABE=30°. 在Rt△OBG中, ∵∠OBG=∠ABE=30°, ∵OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE=30°, ∴∠BOE=180°-30°-30° =120°, 23.(1)证明:∵∠EAD=∠CAD=∠CBD=∠EBC, ∠BCE=∠BCA=∠BDA =∠ADE, ∴△AED∽△BEC, ∴EA·EC=EB·ED. (2)证明:如图2,连接OB交AC于点F,连接OC. 又∵AO=CO, ∴BO为AC的垂直平分线， ∴∠BFC=90°, ∵AD是⊙O的直径, ∴∠ABD=90°, ∴∠ABD=∠BFC. 又∵∠FCB=∠ACB=∠BDA, ∴△CBF∽△DAB. 即CF·AD=DB·BC. ∵2CF=AC, ∴AD·AC=2BD·BC. (3)解：如图3，连接AO并延长交⊙O于点F,连接DF,过O作OH⊥AD于点H. ∵AF为⊙O的直径, ∴∠ADF=90°. ∵OH⊥AD, ∴AH=DH,OH∥DF. ∵AO=OF, ∴DF=2OH=4. ∵AC⊥BD, ∴∠AEB=∠ADF=90°. ∵ ∠ABE = ∠ABD = ∠F, ∴△ABE∽△AFD, ∴∠1=∠2,∴BC=DF, ∴BC=DF=4. $