精品解析：青海省果洛藏族自治州久治县2025-2026学年九年级上学期阶段性练习四（期末）数学试题

2025-2026学年度第一学期阶段性练习（四）九年级数学（青海专版） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列事件中，属于必然事件是（ ） A. 路口遇到绿灯 B. 太阳东升西落 C. 地球绕月球转 D. 水沸腾 2. 作为古蜀文明的艺术瑰宝，三星堆纹饰彰显着非凡创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，得到，则p的值为（ ） A. B. 5 C. D. 21 4. 如图，是的直径，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 6. “青杂”系列杂交油菜品种在青海广泛种植．某农业基地现有油菜种植面积为20公顷，计划两年后将油菜种植面积增至24.2公顷，设该农业基地油菜种植面积的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　） A. B. C. D. 8. 如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 10. 已知和的直径分别为3和4，且，则两圆的位置关系是______． 11. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 12. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 13. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有_________条鱼． 14. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上的点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了___________． 15. 矩形中，，．现将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点E恰好落在直线上，如图所示．则此时线段的长为______． 16. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点、、、分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的关系式为，则图中的长为________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以点A为中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形； （2）画出关于原点O对称的图形． 19. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 20. 近几年，中国航天员在执行任务过程中，将多种生物带入空间站开展重要的科学实验．生物课上，老师将4种上过太空的生物：金鱼藻、涡虫、斑马鱼、小鼠依次写在A、B、C、D四张完全相同的卡片上，带领同学们进行不同物种的学习． （1）小宇随机抽取一张卡片，抽中植物的概率是_____； （2）小铭从4张卡片中随机抽取一张不放回，小丽再抽取一张，请用画树状图或列表的方法求他们二人均抽中脊椎动物的概率． 21. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 22. 青海羊毛毡是一种源自当地牧区的传统手工技艺，以青藏高原特有的藏系绵羊毛为主要原料，通过针刺或湿法毡化等工艺使羊毛纤维自然缠结成型，无需编织即可制作出柔软、环保的工艺品．某工艺品店售卖一款羊毛毡工艺玩偶，请根据以下材料完成相应任务． 市场调查素材 素材一 此工艺品的进价为30元． 素材二 经过市场调查，销售单价是54元时，每天的销售量为20件． 素材三 销售单价每降低1元，每天能多售出2件． 素材四 该店为促进资金流转，决定尽可能清空库存． 问题解决 任务一 若销售单价为52元，求每天销售这款玩偶利润． 任务二 若计划每天销售这款玩偶盈利560元，那么每件玩偶的售价应定为多少元？ 23. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为的切线； （3）点F是与的交点，若，求． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求函数解析式和点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 25. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形内有一点，且，，，求度数； 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图中的度数等于________．（直接写答案） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，． （2）求的度数； （3）求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期阶段性练习（四）九年级数学（青海专版） 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 路口遇到绿灯 B. 太阳东升西落 C. 地球绕月球转 D. 水在沸腾 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件分类，根据必然事件的定义（即在一定条件下一定会发生的事件），逐项判断即可． 【详解】解：A、路口遇到绿灯是随机事件，不一定发生，不符合题意； B、太阳东升西落是自然规律，必然发生，符合题意； C、地球绕月球转与事实不符，是不可能事件，不符合题意； D、水在沸腾需要标准大气压条件，不是无条件必然事件，不符合题意． 故选：B． 2. 作为古蜀文明的艺术瑰宝，三星堆纹饰彰显着非凡创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、图形不中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程，得到，则p的值为（ ） A. B. 5 C. D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，即通过配方将方程转化为完全平方的形式，进而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 配方得， 即， ∴， 故选：D． 4. 如图，是的直径，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 先通过“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”得出，再通过“直径所对的圆周角为直角”，推出，最后通过求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 6. “青杂”系列杂交油菜品种在青海广泛种植．某农业基地现有油菜种植面积为20公顷，计划两年后将油菜种植面积增至24.2公顷，设该农业基地油菜种植面积的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用中的增长率问题．根据年平均增长率模型，两年后的面积等于初始面积乘以（增长率）的平方，列出方程即可． 【详解】解：设该农业基地油菜种植面积的年平均增长率为x，根据题意可列方程为； 故选C． 7. 如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键． 根据球门高为米，可得当时，，即可得解． 【详解】球门高为米， 当时，， ， 可能是． 故选． 8. 如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以点为圆心，长分别为半径，圆心角的扇面，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据直接求解即可． 【详解】解：如图，． 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，则二次项系数， 解得， 故答案为：． 10. 已知和的直径分别为3和4，且，则两圆的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查判断两圆之间的位置关系，求出两个圆的半径之和，以及两个圆的半径之差，与两圆心之间的距离，比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵和的直径分别为3和4， ∴和的半径分别为1.5和2， ∴两个圆的半径之和为3.5，两个圆的半径之差为0.5， ∵， ∴两圆的位置关系是相交； 故答案为：相交． 11. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系． 根据一元二次方程的根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系，两根之和． 故答案为：3． 12. 如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故答案为：． 13. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后，发现捕捞的鱼中有记号的鱼的频率稳定在左右，则鱼塘中估计约有_________条鱼． 【答案】2000 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．设鱼塘中有鱼条，根据频率估计概率，有记号的鱼的频率稳定在0.1左右，即，解方程即可估计鱼塘中鱼的数量． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 故鱼塘中估计约有2000条鱼． 14. 如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上的点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是正确解答此题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：重物上升了， 故答案为：． 15. 矩形中，，．现将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点E恰好落在直线上，如图所示．则此时线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．由矩形的性质可得，，由旋转的性质可得，由勾股定理可求的长，再求出即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点、、、分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的关系式为，则图中的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求得点C、点D的坐标成为解题的关键． 先求解A，B的坐标，进而求得点C的坐标，令，即可求得点D的坐标，然后求得的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：，， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∵是半圆的直径， ∴， 当时，， ∴D点坐标为， ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 即，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 得或， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以点A为中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形； （2）画出关于原点O对称的图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转变换与中心对称变换，解题的关键是掌握点绕某点逆时针旋转的坐标变化规律以及关于原点对称的点的坐标特征； （1）以点为中心逆时针旋转，先确定旋转中心，然后分别找出点绕点逆时针旋转后的对应点的坐标，然后顺次连接得到旋转后的． （2）画关于原点对称的图形：根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找出关于原点的对称点的坐标，然后顺次连接得到． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作图形； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求作图形． 19. 草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 20. 近几年，中国航天员在执行任务过程中，将多种生物带入空间站开展重要的科学实验．生物课上，老师将4种上过太空的生物：金鱼藻、涡虫、斑马鱼、小鼠依次写在A、B、C、D四张完全相同的卡片上，带领同学们进行不同物种的学习． （1）小宇随机抽取一张卡片，抽中植物的概率是_____； （2）小铭从4张卡片中随机抽取一张不放回，小丽再抽取一张，请用画树状图或列表的方法求他们二人均抽中脊椎动物的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意列表，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，共有4种生物，其中抽中植物的情况有1种， ∴抽中植物的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 小丽 小铭 A B C D A B C D 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中他们二人均抽中脊椎动物的结果有2种，即，， 他们二人均抽中脊椎动物的概率为． 21. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形性质，角的运算和勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据旋转的性质即可得到，再根据勾股定理即可解题； （2）根据旋转的性质即可得到，从而到，结合，可得到，从而得到的度数． 【小问1详解】 由旋转的性质可知：，， ； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知：，， ， ， ， ， ． 22. 青海羊毛毡是一种源自当地牧区的传统手工技艺，以青藏高原特有的藏系绵羊毛为主要原料，通过针刺或湿法毡化等工艺使羊毛纤维自然缠结成型，无需编织即可制作出柔软、环保的工艺品．某工艺品店售卖一款羊毛毡工艺玩偶，请根据以下材料完成相应任务． 市场调查素材 素材一 此工艺品的进价为30元． 素材二 经过市场调查，销售单价是54元时，每天的销售量为20件． 素材三 销售单价每降低1元，每天能多售出2件． 素材四 该店为促进资金流转，决定尽可能清空库存． 问题解决 任务一 若销售单价为52元，求每天销售这款玩偶的利润． 任务二 若计划每天销售这款玩偶盈利560元，那么每件玩偶的售价应定为多少元？ 【答案】任务一：若销售单价为52元，每天的销售利润为528元；任务二：每件玩偶的售价定为44元时，每天的销售利润为560元 【解析】 【分析】本题考查销售利润的实际计算与一元二次方程的应用． 任务一，先算单件利润和变化后的销售量，再用利润公式计算； 任务二，设售价（或降价金额）为未知数，结合销售量变化列方程，求解后根据实际需求确定售价． 【详解】解：（1）（元）． 答：若销售单价为元，每天的销售利润为元； （2）设每件玩偶降低元时，每天的销售利润为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 尽可能清空库存， ． （元）． 答：每件玩偶售价为元时，每天的销售利润为元． 23. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为的切线； （3）点F是与的交点，若，求． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； 【小问3详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，角平分线性质，矩形的性质与判定，垂径定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求函数解析式和点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）面积的最大值为4，此时点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据二次函数的对称性可得点的坐标，再利用待定系数法即可得函数解析式； （2）连接，交直线于点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得点即为所求，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入求解即可得； （3）过点作轴于点，交于点，设，则，利用三角形的面积公式可得面积与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线， ∴， 将点代入得：，解得， ∴函数解析式为． 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， 如图，连接，交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得， 由两点之间线段最短可知，，此时点即为所求， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴直线上， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴． ∵，， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为4， 此时， 所以面积的最大值为4，此时点的坐标为． 25. 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图，在正三角形内有一点，且，，，求的度数； 小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图中的度数等于________．（直接写答案） 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点，且，，． （2）求的度数； （3）求正方形的边长． 【答案】（1）（2）（3）． 【解析】 【分析】（1）将绕点旋转至，利用正三角形性质得为等边三角形，结合勾股定理逆定理证为直角三角形，进而求． （2）将绕点旋转至，利用正方形性质得为等腰直角三角形，结合勾股定理逆定理证为直角三角形，求． （3）构造等腰直角三角形，利用勾股定理计算正方形边长． 【详解】解：（1）将绕点顺时针旋转至，连接， ∵是正三角形， ∴，， ∵旋转， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， ∵旋转得， ∴， 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋转至，连接， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形与等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过旋转构造全等三角形，将分散的线段集中到同一三角形中分析是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $