浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第二次周考数学试题

机密★考试结束前 泰顺育才高中2024级高二年级第一学期第二次周考 数学学科试题 姓名： 班级： 本试题卷考查范围：必修一一选必一双曲线（双曲线只考概念) 注意事项： 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息，点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上 3,非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答 的答案无效」 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破。 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.今年，夕夕一家5个人的年龄分别为（单位：周岁）：6,32,34,55,58与4年前相比，下列说法 正确的是 () A.平均数变大，方差变大 B.平均数变大，方差不变 C.平均数变小，方差变小 D.平均数变小，方差不变 2.过点(2,2)且与椭圆9x2+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为 () A￡-。=1 B.上-芒=1 68 68 c号-片-1 D.-父=1 24 3.已知直线1经过A(-3,2),B(1,m)两点，直线4的倾斜角为45，若4与4平行，则m=（) A.-1 B.2 C.3 D.6 4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(x+1)=-fx).当2≤x<3时，f(x)=5-2x,则f(5)=（) A.-5 B.-1 C.1 D.4 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为abc,且=b〔b+c)=l,B=平，则△ABC的面积为 () A.1 B.② 1 D. 2 c分 4 一测高二数学第1页（共4页） 6.如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=3,AD=2,AA'=3,∠BAD=∠BAA'= ∠DAA'=60°，则AC"的长为 () A.√43 B.V34 C.W22+21√3 2 D.30 2 7.从点P(,2-m)向圆Q:(x+2)2+(y+22=1引切线，则切线长的最小值为 () A.5 B.√19 C.W17 D.3√2 8已知椭圆C:兰+二=1a>b>0)上存在两点M,N关于直线2x-y-1=0对称，若椭圆离心率为 ,则N的中点坐标为 6 () A层》 B.（2,3) c(食4》 D(号) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 2已知椭圆C。+上I的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则 () 12 A椭园C的商心率为号 B.△P的周长为12 C.P的最小值为3 D.椭圆C的离心率越大形状越扁平 10.关于空间向量，以下说法正确的是 A.若d,,构成空间的一个基底，则a+,a++c,必共面 B.若空间中任意一点O,有O币=号OA+名O丽+号OC,则P,A,B,C四点共面 C.若空间向量d、满足.<0，则a与b夹角为钝角 D.点M(3,2,1)关于平面xOz对称的点的坐标是(3，-2,1) 11.己知直线1：x-y-4a+1=0,点P,Q是圆C:(x-4)2+（y-2)2=4上的动点，则下列结论成立的 是 () A.当a=√3时，直线1的倾斜角为写 B.直线1与圆C一定相交 C.直线1被圆C截得的弦长最大值为4 D.若点A在直线x+y-10=0上，∠PAQ的最大值为60°，则点A的坐标可以是（4,6) 一测高二数学第2页（共4页) 非选择题部分（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知p、q∈R,且-2+3i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，p+q=_ 13.两个人在一座10层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能 的，则这两个人在同一层离开电梯的概率是 14.已知实数x,y满足x2-y2-x+3y-2=0,则x2+y2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知空间中三点A(-1,1,1),B(0,2,1),C(-2,1,3). (1)设=2W2,且∥AB,求c的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标： (3)求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) (1)己知两直线11：x-y-1=0,12:x十y-5=0.求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y-5=0的直 线方程； (2)已知直线1的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7-4=0.直线1交坐标轴正半轴于A,B两点，当 △AOB的面积最小时，求△AOB的周长. 17.(本小题满分15分) 已知圆C过A(2,2√3)，B(3,√15)，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长： (2)若直线1过点(6,10)，且被圆C截得的弦长为4√，求直线1的方程： (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M,N,O为坐标原点，直线OM,ON分别与直线x=8 相交于P,Q,记△ON的面积为S,△OPQ的面积为S,求g的最大值. S, 一测高二数学第3页（共4页） 18.（本小题满分17分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=AC=PC=4,PA=PB=2W2, M是线段PC上的点. D B (1)求证：平面ABP⊥平面ABC; (2)若M为线段PC的中点，求直线PM与平面ABM所成角的正弦值； (3)若MQ⊥平面ABC,Q为垂足，直线PQ与平面ABM的交点为N,当三棱锥M-ABQ体积最 大时，求PN的长， 19(木小题满分17分)已知椭圆：等+号-1的左、右焦点为、B (1)己知T为的上顶点，求△TFF的周长： (2)已知直线1交于P,Q两点，若PQ=3Q,求直线1的方程： (3)已知k∈R,k>0,直线1'：y=+2与T有两个不同的交点A,B.设M为x轴上一点，是否 存在k,使得△MAB是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点M的坐标：若 不存在，请说明理由. 命题人：张磊吴搏航 审题人：郭兵利 一测高二数学第4页（共4页)育才高中高二2025学年第一学期数学第二次周测选填题答案速查 题号 2 3 5 7 8 9 10 11 答案 B D D B D y Q A ABD ABD ABD 12.34 13.x=6或12x-5y-22=0 14.2 选填题详解 1.B【详解】每个人都增长了相同的岁数，因此平均数增大，但是岁月整体的波动情况未变，因此方差不变.故选B 2D【详解】由号+号 一1可知椭圆焦点在v轴上，且c三√9=3=6，故可设所求双曲线方程为：，一 ㎡+b2=6 依题得： 任结解阳份子做所限的双月线分为：苦兰-1微：刀 8。D【详解】直线的斜车太己=÷2直线的斜车=n5=1,4与6平行，∴布=，D ",2=1,解得m=6.故选：D. 4 4.B【详解】已知f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=一f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为2，所以f(5)= f(5-2×2)=f1),因为f(x+1)=-fx),令x=1,则f(2)=-f1),当2≤x<3时，f(x)=5-2x,则f(2)=5-2 ×2=1,所以f(5)=f1)=-f(2)=-1,故选：B. 5.D【详解】由余弦定理有：a2=b2+c2-2 bccosA,又2=b2+bc,所以c=b+2 bcosA,又由正弦定理有：sinC =sinB+2 sin BcosA,又sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cos AsinB,所以sinB=sinAcosB- cos AsinB=sin(A-B),又A,B,C为三角形的内角，所以B=A-B或A-B=元-B(舍去)，所以A=2B,又a=1, B=子所以A=2B号所以c=0n肾-号，所以e=吉e=号×复×号}放达：D 2 22 6.A【详解】AC列=|AB+AD+AA=√(A正+AD+AA=√AE+Ad+AA+2AB.AD+2AB.AA+2ADA :AE=AA=3,AD=2,A.AD=AAAD=2×3×c0s60°=3，A正.AA=3x3×cos60°=9 2 :AC=√3+2+32+2×3+2×号+2×3=④故选：A 7.C【详解】圆Q:(x+2)2+(y+2)2=1的圆心为Q(-2,-2),半径r=1,点P(m,2-m)在直线x+y-2=0上，则 圆心Q(-2,-2)到直线x+y-2=0的距离d=一2-2-2=3W2>1,可知直线+y-2=0与圆Q相离，设其中一 √2 个切点为A,则切线长PA=√PQ-2=√PQ-12≥V-1=√17，所以切线长的最小值为√17.故选：C. x+y-2=-0 8.A【详解】设M(x1y1)、N(x2y2),线段MN中点为E(xyo),则 西2 2 =’e=1- a ,得= =6 3 2 二测参考答案高二数学第1页（共6页） 4N关于直线2x-y-1=0对称，且直线2x一y-1=0的斜率为2，则kw三=- 21 将点M、N的坐标代入椭圆方程可得{ +=1 a2 两式作差得好一垃+日一片=0。 +是=1 b2 回得咀十，即奶三3即=2。即2=3 x片一x3 X1+X2X1-x2 2x0 x03 ,o)在直线2x-y-1=0上，3一，解得 :故线段N中点为(3，) 9.ABD【详解】椭圆C:+ 16十1的长半轴长a=4,短半轴长b=2W3,半焦距c=V:-b主 对于A,椭圆C的离心率e=日-分，A正确： 对于B,△PF的周长为2a+2c=12,B正确： 对于C,P的最小值为a-c=2,C错误： 对于D,当α一定时，椭圆C的离心率越大，则c越大，b越小，椭圆形状越扁平，D正确. 10.ABD【详解】对于A,{a,b,构成空间的一个基底，则，b,不共面，因为(a+)+=a++,则a+ ,a++c,c必共面，故A正确： 对于B,在O=专O+O丽+0C中合+号+号-1，所以P,4,B,C四点英面，故B正确： 2 对于C,当a·<0时，则（立是钝角或180°，故C错误： 对于D,关于平面xOz对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，所以点M(3,2,1)关于平面xOz对称的点 的坐标是(3，一2,1)，故D正确. 11.ABD【详解】对于A,直线1：-y-4a+1=0的斜率为a,当a=√3时，直线1的斜率为√3，易知其倾斜角 为号，故A正确： 对于B,直线1：m-y-4a+1=0过定点(4,1)，因为(4-4)2+（(1-2)2=1<4，所以点(4,1)在圆C内， 所以直线1与圆C一定相交，故B正确： 对于C,因为圆C:(x-4)2+(y-2)2=4的圆心为C(4,2),半径为r=2,直径为4，又直线过定点(4,1)且斜率一定存 在，所以直线不过圆心，故直线1被圆C截得的弦长小于4，故C错误； 对于D选项，点A是直线1：x+y-10=0上一定点，点P,Q是圆C:(x-4)2+(y-2)2=4上的动点，若∠PAQ的最大 值为60，且A的坐标为(46，则APAQ与圆C相切，此时∠PAQ=60,则∠CAP=30,则CP=AC=2= r,符合题意，故A的坐标可以为(4,6)，故D正确 10 A(4,6) 4(8,2) 1ò主 12.34【详解】易得-2-3i也是实系数方程2x2+x+q=0的一个根，则 -2-3+-2+30=号，得g8。 (-2-3i1)(-2+3i)=号 1q=261 则p+q=34. 二测参考答案高二数学第2页（共6页) 13.x=6或12x-5y-22=0【详解】如图.直线1被圆C截得弦长为4W3,则圆心C到1的距离为√16-(2√3=2. ①当直线1的斜率不存在时，直线1x=6与圆C的交点为(6±2√3)， D6,10) 此时，直线1被圆C截得的弦长为4√3，所以直线x=6满足题意： ②当直线1的斜率存在时，设直线1y-10=k(x-6),整理得-y+10-6k=0, 所以圆心C到直线1的距离为10-2=2，解得k=12,则直线112x-5y-2=0. √k2+1 5 综上，直线1的方程为x=6或12x-5y-22=0. 14.合【详解】由-护-+3-2=0，可得-(-多即x-y+1=0或x+-2=0, 则原点O到直线x-y+1=0的距离的平方为d= (后广=宁：原点0到直线+-2=0的距肉的平方为 2 12 =2,所以+少的最小值为原点0到直线x-y+1=0的距离的平方为号， 解答题参考答案 15.【详解】(1)AB=(0,2,1)-(-1,1,1)=(1,1,0). 因为c∥AB,所以可设=AB,则d=·AB=|×√1+1+0=√2A=2W2,解得A=士2， 所以=2AB=(2,2,0)或=-2AB=(-2,-2,0): (2)设D(x,y,z),则AB=(1,1,0),DC=(-2-x,1-y,3-z), -2-x=1x=-3 因为ABCD是平行四边形，所以AB=DC,所以{1-y=1→{y=0,故D(-3,0,3)· 3-z=0z=3 16.【详解】①联立方程+}0解得x=3y=2, 因为所求直线垂直于直线3x+4y-5=0,所以所求直线的斜率为4 则所求直线方程为y-2-专x-3认即4-3-6=0： (2)由(2+1)x+(m+1)y-7-4=0可得，m(2x+y-7)+x+y-4=0, 令7。解钓；所以直线过定点3 由题设直线1的方程为y-1=k(x-3)(k<0),直线1与x轴、y轴正半轴的交点分别为A,B, 令x=0,得a=1-:令y=0.得-3 所以△A0B面积S=号1-3)3-)=(-9)+()+6≥2[2V-9()+6=6, 当且仅当-9t=太即=号时等号成立，此时△A0B面积最小，A(6,0).B(0,2)A0-√6+(-2-210， 则△AOB的周长为6+2+2√10=8+2√/10 所以当△AOB面积最小时，△AOB的周长为8+2√10 17.【详解】(1)由圆心C在x轴上，设圆的方程为(x-a2+y2=2, 又圆C过A(2,2W),B3,VI5),所以-a+12=r, (3-a3+15=,解得a=4. r=4’ 则圆的方程为(x-4)2+y2=16,其周长为2r=8元. (2)根据题意作图.因为原点O在圆C:(x-4)2+y2=16上，直线MN过圆心C,且与x轴所在直线不重合， 所以∠MON=号设直线OM的斜率为kk≠0)，则直线OM的方程为y=c, 二测参考答案高二数学第3页（共6页） 联立y=x x-42+y2=16'得(1+k2)x2-8x=0,解 x=0或 1v=0 则M 8 8k 1+k2’1+k2月 又直线ON的斜率为一太，则直线ON的方程为y=一， 1 x=-82 联立 y=-tx 得(1+k2)x2-8k2x=0,解得 1+2 8k (x-4)2+y2=16 (x=0或 1y=01 v=-8k’如W8 （1+k2’1+k2 由题知，点P88.Q8-是 则s=号D/IN-号OAIIOM,&=号OPIQ号=3 -IPIOQl, 则S=IOMIIONI=OM,1ON 8 8k2 IOM XM 1 1 1ON11+2 2 1OPxp81+2’1OQ-8-1+2 所以S F正4水一：31店分当组取当长-京则质-1时将号发 1 k2 k2 1 1 所以受的鼓大值为子 18.【详解】(1)取AB的中点O,连接OC、OP,因为PA=PB=2W2,所以PO⊥AB, 因为AB=4,所以P胖+PB=AB,所以PA上PB,则P0=号AB=2, 又AB=BC=AC=4,所以OB⊥OC,则CO=√BC”-BO2=√4-22=2√3， 又PO2+CO2=PC2,所以PO⊥OC, 又PO⊥AB,AB∩OC=O,AB、COC平面ABC,所以PO⊥平面ABC, 又POC平面APB,所以平面ABP⊥平面ABC: (2)因为OP⊥平面ABC,OC⊥AB,所以以点O为坐标原点，OB、OC、OP所在直 线分别为x、八、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(-2,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2W3,0)、P(0,0,2), 当点M为PC的中点时，M(0,√3,1)，P=(0,3,-1),AB=(4,0,0),A☑=(2,3,1)， 设平面ABM的一个法向量为=(x,y,z), 则i:AG=4=0 取y=1,则x=0,z=-√3，则i=(0,1,-√3)， i·AM=2x+√3y+z=0 所以cos(成，P m.PM 2W3_3 成·P 2X2 2 所以当M为PC的中点时，直线PM与平面ABM所成角的正弦值为 2 (3)设M(xoyo,z),P1☑=PC=(0,2√3λ，-2)=(xoyo,z0-2),其中0<1<1， x=0 x=0 则%=2/31，得y=2W31,所以点M(0,2W31,2-2A), 20-2=-21z0=2-21 因为MQ1平面ABC,则点Q0,23元0)，5=号·AD=2=4W3, VM-ABQ= 38m=5×45a×2-2》=8y501-刘≤85×(2+号2-2 3 当且仅当=1-a(0<<1)时，即当入=号时，等号成立， 二测参考答案高二数学第4页（共6页） 故当点M为线段PC的中点时，三传锥M-ABQ的体积取最大位2，此时，点Q03.0, 由(2)可知，此时，平面ABM的一个法向量为i=(0,-1,√3)， 设P=P☑=(0，W3,-2)=(0,√34，-24)，其中0≤u≤1， 则B=BP+PN=(-2,0,2)+(0,34,-24)=(-2,√34,2-24)， 因为Nc平面ABM,则示⊥元.所以B丽.i=-3u+2W(1-)=5(2-3训=0，解得u=子， 所以P丽=o25,号》 因此=2，即PN的长为7 3 19.【详解】(1)由题得2=4，b2=3,则c2=-b2=1,则(-1,0)，(1,0)，T(0,√3). 由两点间距离公式可得=2，T=2,T=2,所以△TFF周长为F到+|TF到+T=6. (2)设点P(xp,yp),Q(xeyQ),由PQ=3FQ得yo-yp=3(yQ-0),即yp=-2yQ 当直线1过点(1,0)，且斜率为0时，则yp=yQ=0,点P(-2,0),Q(2,0),不满足P=3@ 所以直线1过点乃(1,0)，且斜率不为0，设直线1方程为x=y+1, 则答+写-1，得3+4r+6-9=0,则A=(+363+4≥0恒成立. x=ty+1 6t 由韦达定理可得p+o=3十4p%=3+4 9 结合%=2可得：2或12，则直线的方程为=2等y+1或=2y+1, 5 即√5x-2y-√5=0或√5x+2y-√5=0. 31联立直线与精圆的方程若十，.得(3++16a十4=0，则A06旷-163+4)≥0，解得>子· y=k+2 设点A(,山，B(,2),则1+x=一，16k 4 3+4k21,=3+4k2 则+=0，++4=3十=a+2+2到=十2+4=12=12。 3+4k29 因此线段AB的中点坐标为8k6】 3+42’3+4k2 则线段AB的垂直平分线方程为y-3计职=-*3人令y=0.得=3 设M为x轴上一点，假设存在k,使得△MAB是以M为直角顶点的等腰直角三角形 二测参考答案高二数学第5页（共6页) 则-3e0小kaE=0 又团=+与小@=+小 所以国*3流)+=+3++0 即4 +2k.(-16k）」 333大{3+2=0，整理得卫 3+42 因为k>0,所以k=1. 综上，存在k,使得△MAB是以M为直角顶点的等腰直角三角形，此时k=1,M(-子，0) 右 二测参考答案高二数学第6页（共6页）