专题 1.8 一次方程及方程组（学情检测卷）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.8 一次方程及方程组（学情检测卷） （检测时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，则下列等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）若代数式的值为6，则x等于（   ） A．3 B． C．9 D． 3．（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 4．（2025·云南临沧·模拟预测）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．1 B．1 C． D． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 6．（2025·河北邢台·三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁·一模）如图，在中，于点E，于点F，若，，且的周长为30，则的面积为（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 8．（2025·广西来宾·一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 11．（2025·湖北·模拟预测）当 时，代数式的值是． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）规定一种新运算：，若，则x的值为 ． 13．（2025·江苏无锡·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 14．（2025·广东广州·模拟预测）点与点关于原点对称，则的值为 ． 15．（2025·江苏无锡·一模）定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 16．（24-25七年级上·河南南阳·月考）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是 ． 17．（2025·河南驻马店·三模）已知x，y满足我们可以不解这个方程组，用求出的值，则的值是 ． 18．（2025·江苏镇江·模拟预测）设、、…是从、0、2这三个数中取值的一列数，若，，则 ． 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（2025·山东·二模） （1）计算：； （2）解方程：． 20．（6分）（2025·湖北武汉·三模）解方程组： (1) (2) 21.（6分）（2025·新疆克拉玛依·模拟预测） （1）解方程组：； （2）如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：． （尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 22．（6分）（2025·辽宁葫芦岛·二模）某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 23．（8分）（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 24．（10分）（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 25．（10分）（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 26．（12分）（24-25九年级下·广东中山·期中）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.8 一次方程及方程组（学情检测卷） （检测时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，则下列等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若， A、两边同时乘得，则A不符合题意， B、两边同时加上2得，则B不符合题意， C、两边同时除以2得，则C不符合题意， D、当时，，则D符合题意， 故选：D． 2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）若代数式的值为6，则x等于（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键．根据题意得，然后解一元一次方程即可求出的值． 【详解】∵代数式的值为6 ∴ 解得． 故选：A． 3．（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算规则，解一元一次方程，解答本题的关键是理解新运算规则． 根据新运算规则，得到一元一次方程，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 解得． 故选C． 4．（2025·云南临沧·模拟预测）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（　　） A．1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．把二元一次方程的解代入方程，再利用整体代入求值即可．熟练掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：把代入方程， 得：， ， ． 故选：B． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解． 【详解】解：方程组的两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．（2025·河北邢台·三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的相关应用，根据题意列出方程组，整理和解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意，可列方程组为． 得， 化简得， 解得， 故选：D． 7．（2025·辽宁·一模）如图，在中，于点E，于点F，若，，且的周长为30，则的面积为（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 【答案】A 【分析】根据平行四边形的周长得到，联立方程组，解得，，代入即可解答． 本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的周长和面积． 【详解】解：∵的周长为30， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ①×2得：③， ③－②， ， ， 代入①，， ∴， ∴． 故选：A． 8．（2025·广西来宾·一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图所示是一位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到43个野果，则第2根绳子上的打结个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x，根据题意得：， 解得， 即在第2根绳子上的打结数是3， 故选：C． 9．（2025·湖北襄阳·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设开始高度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设开始高度为， 根据题意得，， 故选：． 10．（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 【答案】A 【分析】该题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，根据题意解答即可． 【详解】解：A．设鸡有x只，则兔有只， 则所列方程为，故该选项错误，符合题意； B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为，故该选项正确，不符合题意； C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔，故该选项正确，不符合题意； D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 11．（2025·湖北·模拟预测）当 时，代数式的值是． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式的值为零的条件，掌握代数式的值为零的条件是解题的关键． 根据代数式的值为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）规定一种新运算：，若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，再解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（2025·江苏无锡·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解与代数式求值的结合应用，以及因式分解的能力．将已知解代入方程得到关于a和b的关系式，再通过观察所求代数式的结构特征，利用完全平方公式进行因式分解求值． 【详解】解：将代入二元一次方程，得 ． ． 故答案为：25． 14．（2025·广东广州·模拟预测）点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数列式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 得，， 即． 故答案为：4． 15．（2025·江苏无锡·一模）定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及对“方程”的理解，解题的关键在于理解“方程”．先求出的解，再结合“方程”概念求解，即可解题． 【详解】解：， 解得， 互为“方程”的两个方程解之和为2， 方程的一个“方程”解为， 方程的一个“方程”为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（24-25七年级上·河南南阳·月考）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数的混合运算，根据题意构建方程，求解得，进而求代数式值． 【详解】解：设☆代表一个有理数为a， 根据题意，， 解得，即☆代表10， ∴； 故答案为：． 17．（2025·河南驻马店·三模）已知x，y满足我们可以不解这个方程组，用求出的值，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，得，根据题意可得，然后求出的值即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：得，， ∵用求出的值， ∴， 得，， 得，， 得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴， 故答案为：． 18．（2025·江苏镇江·模拟预测）设、、…是从、0、2这三个数中取值的一列数，若，，则 ． 【答案】69 【分析】本题考查了数字类的规律问题和整式的加减，解二元一次方程组，本题正确设未知数是关键．设这一列数中有个，个2，根据已知列方程组得，解方程组可得和的值，最后代入可得答案． 【详解】解：设这一列数中有个，个2， ，， ，， ， 解得：， ． 故答案为：69． 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（2025·山东·二模） （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，解一元一次方程，掌握相关运算法则和解法是解题关键． （1）先计算绝对值，二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，零指数幂，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、。系数化1，即可解方程． 【详解】解：； ； （2）． 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 20．（6分）（2025·湖北武汉·三模）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减法和代入法是解题的关键． （1）先将方程系数化成整数，再用加减法求解即可； （2）先将方程化简整理为，再用加减法求解即可． 【详解】（1）解：变形得：， 得： ∴ 把代入①解得： ． （2）解：化简整理，得 ，得， ∴ 把代入，得， ∴． 21.（6分）（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）（1）解方程组：； （2）如图，利用尺规，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：． （尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，尺规作图；平行四边形的判定及性质． （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． （2）根据题意作出图形，再利用平行四边形的性质进行平行的证明． 【详解】解：（1） 得，； 解得：， 将代入①得， 解得：； ∴； （2）如图，，为所做 因为 所以 因为 所以四边形为平行四边形 所以． 22．（6分）（2025·辽宁葫芦岛·二模）某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)商品日利润能达到2 750元，此时每件的售价为60元或90元 【分析】本题考查一次函数解应用题、一元二次方程解应用题，读懂题意，准确求出一次函数关系式，由等量关系列出一元二次方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，设与之间的函数关系式为，由函数图象，将，，代入函数关系式，由待定系数法解方程组即可得到答案； （2）由总利润单个商品利润销量得到，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，设与之间的函数关系式为． 根据图象，可得该函数图象经过点，，将其代入函数关系式， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：能． 由题意，可得， 整理，得， 解得． 答：商品日利润能达到元，此时每件的售价为元或元． 23．（8分）（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，． (1)若输入，则________，________； (2)若得到，求输入的x值及相应n的值； (3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，理解程序图是解题的关键． （1）根据程序图输入，即可求解； （2）根据程序图可得，从而得到，即可求解； （3）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：输入，得到，； 故答案为：2；1； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∴； （3）解：由计算程序，可知，． ∵m值比n值大， ∴， 解得：． 24．（10分）（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【答案】(1)5 (2)解题过程见详解；2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识． （1）将代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即 解得：， ∴“〇”代表的正整数为5； （2）解：根据题意得， 解得： 又∵x，m均为正整数， ∴ ∴“〇”的值为2． 25．（10分）（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 【答案】(1)1辆无人车的日均投递量为1300件 (2)至少需要增加11辆无人车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设需要增加无人车辆，根据题意列出不等式，求出的范围，结合题意得到的最小值即可解答． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件， 由题意得，， 解得， 答：1辆无人车的日均投递量为1300件； （2）解：设需要增加无人车辆， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴的最小值为11， 答：至少需要增加无人车11辆． 26．（12分）（24-25九年级下·广东中山·期中）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为 (2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是利用等量关系建立相应的方程进行求解； （1）设剪去的小正方形的边长x，根据底面的面积建立等式进行求解； （2）设小长方形的宽为，长，根据等量关系列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ，整理得：， 解得：（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为． （2）解：设小长方形的宽为，长为，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为． 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 2 / 30 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