专题 1.7 一次方程及方程组（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.7 一次方程及方程组（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一元一次方程 1 【知识点二】二元一次方程组 2 【知识点三】一次方程（组）的应用 2 二.题型分类精析 2 【考点一】一元一次方程 2 【题型一】一元一次方程定义与参数求解 3 【题型二】一元一次方程的解法 3 【题型三】一元一次方程的应用 3 【题型四】含参的一元一次方程 4 【题型五】一元一次方程解的存在性问题 5 【考点二】一元一次方程 6 【题型六】二元一次方程（组）定义与参数求解 6 【题型七】二元一次方程的解 6 【题型八】二元一次方程组的解法 6 【题型九】含参的二元一次方程组 7 【题型十】二元一次方程组的应用 7 三.中考真题专练 9 一、单选题（10题） 9 二、填空题（6题） 10 三、解答题（4题） 11 一.知识梳理 【知识点一】一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:. （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 【知识点二】二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 2.二元一次方程组的一般形式 3. 二元一次方程组的解法 (1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 【知识点三】一次方程（组）的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤： 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系； 2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)； 4.解:解所列的方程(组)； 5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； 6.答:注意单位和语言完整. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】一元一次方程 【题型一】一元一次方程定义与参数求解 【★例题1】（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【★变式1】（23-24七年级上·广西河池·期末）下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2023·江苏宿迁·模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（　　）． A． B． C． D． 【题型二】一元一次方程的解法 【★★例题2】（22-23七年级上·陕西安康·期中）解方程． (1)； (2)． 【★变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【★★变式2】（2025·陕西商洛·二模）已知点在一次函数（为常数，）的图象上，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【★★变式3】（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 【题型三】一元一次方程的应用 【★★例题3】（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【★变式1】（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【★★变式2】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【★★变式3】（22-23七年级上·江苏南通·期末）【课本再现】 （1）某商店出售两件衣服，每件元，其中一件赚，另一件赔，卖这两件衣服总的是赚还是赔？ 【拓展应用】 （2）某校六年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的衬衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【题型四】含参的一元一次方程 【★★例题4】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知m是常数，如果关于x的方程的解与关于x的方程的解相同． (1)求m的值； (2)若代数式与代数式互为相反数，求代数式的值． 【★变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的绝对值为（    ） A．－26 B．26 C．14 D．－14 【★★变式2】（23-24七年级下·北京·期末）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 【★★变式3】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． 【题型五】一元一次方程解的存在性问题 【★★例题5】．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解是，其中a，m，k为常数．是否存在m的值使得关于y的方程无解？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【★变式1】（24-25八年级下·云南楚雄·期末）定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值． (2)已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【★★变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点，都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个． (1)若点是正比例函数（为常数，）的图象上的“梦之点”，求这个正比例函数的解析式； (2)函数（是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点二】二元一次方程组 【题型六】二元一次方程（组）定义与参数求解 【★★例题6】（24-25七年级下·全国·随堂练习）写一个关于x，y的二元一次方程组 ． 【★变式1】（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【★★变式2】（2025·安徽芜湖·三模）某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 【题型七】二元一次方程的解 【★★例题8】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【★变式1】（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【★★变式2】（23-24七年级上·上海·期末）方程的正整数解为 ． 【★★变式3】（2025·贵州贵阳·一模）下列表格中给出的几组数都是关于的二元一次方程的解，表格中的值为 ． 0 1 2 5 3 1 －1 【★★变式3】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为 ． 【题型八】二元一次方程组的解法 【★★例题8】（2025·内蒙古·模拟预测）（1）计算：； （2）解方程组： 【★变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）（1）计算：； （2）从下列方程，，中选两个方程组成二元一次方程组，并解该二元一次方程组． 【★★变式2】（2025·广东惠州·二模） （1）计算： （2）解方程组： 【★★变式3】（2025·江苏常州·模拟预测）解方程组和不等式组： (1) (2) 【题型九】含参的二元一次方程组 【★★例题9】（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 【★变式1】（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【★★变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·月考）若关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，则满足条件的的最大值是多少？ (2)若方程组的解满足是非正数，是正数，化解． 【★★变式3】（2019·河北邢台·一模）李宁准备完成题目：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解二元一次方程组； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，是一对相反数”通计算说明原题中“”是几？ 【题型十】二元一次方程组的应用 【★★例题10】（2025·贵州·模拟预测）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 【★变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2025·湖北·模拟预测）一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米． 【★★变式3】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 三.中考真题专练 一、单选题（10题） 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 3．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 4．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 5．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（    ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 8．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 二、填空题（6题） 11．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 12．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 13．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 14．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 15．（2025·福建·中考真题）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 16．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 三、解答题（4题） 17．（2025·四川眉山·中考真题） （1）计算：     （2）解方程： 18．（2025·山西·中考真题） （1）计算：     （2）解方程组： 19．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 20．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.7 一次方程及方程组（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】一元一次方程 1 【知识点二】二元一次方程组 2 【知识点三】一次方程（组）的应用 2 二.题型分类精析 2 【考点一】一元一次方程 3 【题型一】一元一次方程定义与参数求解 3 【题型二】一元一次方程的解法 4 【题型三】一元一次方程的应用 6 【题型四】含参的一元一次方程 10 【题型五】一元一次方程解的存在性问题 12 【考点二】一元一次方程 15 【题型六】二元一次方程（组）定义与参数求解 15 【题型七】二元一次方程的解 17 【题型八】二元一次方程组的解法 17 【题型九】含参的二元一次方程组 24 【题型十】二元一次方程组的应用 24 三.中考真题专练 31 一、单选题（10题） 31 二、填空题（6题） 35 三、解答题（4题） 38 一.知识梳理 【知识点一】一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:. （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 【知识点二】二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 2.二元一次方程组的一般形式 3. 二元一次方程组的解法 (1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 【知识点三】一次方程（组）的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤： 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系； 2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)； 4.解:解所列的方程(组)； 5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； 6.答:注意单位和语言完整. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】一元一次方程 【题型一】一元一次方程定义与参数求解 【★例题1】（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴k的值不可能是， 故答案为：． 【★变式1】（23-24七年级上·广西河池·期末）下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的识别，根据一元一次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式． 【详解】、，有个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 、，等号左边不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 、是一元一次方程，符合题意； 、不是等式，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：． 【★★变式2】（2023·江苏宿迁·模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题其内容是：“分田地，三人分之二，留三亩，问田地几何？”设田地有x亩，则可列方程为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设田地有x亩，则参与分配田地为，根据等量关系“留三亩”即可列出方程． 【详解】解：设田地有x亩， 根据题意：可知方程为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、明确等量关系是解答本题的关键． 【题型二】一元一次方程的解法 【★★例题2】（22-23七年级上·陕西安康·期中）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，熟练掌握一元一次方程解法步骤是解决问题的关键． （1）由一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）由一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 【★变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：6． 【★★变式2】（2025·陕西商洛·二模）已知点在一次函数（为常数，）的图象上，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数解析式、解一元一次方程，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．代入到，求出的值，再代入的值到关于的方程，即可解出的值． 【详解】解：代入到，得， 解得：， 代入到方程，得， 解得：． 故选：C． 【★★变式3】（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 【答案】(1)有错误，见解析 (2) 【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答． （2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案． 本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得； （2）解：， ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 【题型三】一元一次方程的应用 【★★例题3】（2025·湖南长沙·三模）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 【★变式1】（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据井深不变列出方程求解即可． 【详解】解：设并深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺， ∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺， ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ； 选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ； 选项 D 正确， 故选：D． 【★★变式2】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作 (2)施工费用不够，见解析，需要追加万元 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． （1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：， 解得： 经检验，时，， 则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：， 解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 【★★变式3】（22-23七年级上·江苏南通·期末）【课本再现】 （1）某商店出售两件衣服，每件元，其中一件赚，另一件赔，卖这两件衣服总的是赚还是赔？ 【拓展应用】 （2）某校六年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的衬衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】（1）卖这两件衣服总的是赔；（2）降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 【分析】本题考查了一元一次方程： （1）设赚钱的那件衣服的进价为元，赔钱的那件衣服的进价为元，根据题意列方程求解； （2）设降价之前销售的衬衫数量为件，则降价之后销售的衬衫数量为件，根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：设赚钱的那件衣服的进价为元，赔钱的那件衣服的进价为元， 根据题意得，， 解得，， 所以（元）， 答：卖这两件衣服总的是赔． （2）解：设降价之前销售的衬衫数量为件，则降价之后销售的衬衫数量为件， 根据题意得， 解得． 答：降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 【题型四】含参的一元一次方程 【★★例题4】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）已知m是常数，如果关于x的方程的解与关于x的方程的解相同． (1)求m的值； (2)若代数式与代数式互为相反数，求代数式的值． 【答案】(1)m的值为 (2)的值为6 【分析】本题主要考查解一元一次方程，相反数的应用，利用解相同求解参数的值是解题的关键． （1）先根据方程求解出x的值，再利用关于x的方程的解与关于x的方程的解相同即可求解出m的值； （2）先根据代数式与代数式互为相反数，得到关于m与n的方程，进而将（1）中m的值代入求解n的值，最终即可计算的值． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵方程的解与关于x的方程的解相同， ∴把代入方程，解得：， ∴m的值为； （2）解：∵代数式与代数式互为相反数， ∴， 把代入，解得：， ∴， ∴的值为6． 【★变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的绝对值为（    ） A．－26 B．26 C．14 D．－14 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，相反数，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键．先解方程 得的值，根据解互为相反数，得第二个方程的解，代入求，再求的绝对值 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ∵ 两个方程的解互为相反数， ∴ 方程 的解为 将 代入： ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：B． 【★★变式2】（23-24七年级下·北京·期末）若关于x的方程，无论k为任何数时，总是它的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程．先将代入原方程得，根据无论为任何数时恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案． 【详解】解：将代入， ， ， 由题意可知：无论为任何数时恒成立， ， ，， ， 故答案为：． 【★★变式3】（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为． (1)请帮小林求a的值； (2)请帮小林求原方程的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，理解题意是解题的关键． （1）根据小林的错误解法求出a的值； （2）根据正确方程求出其解即可． 【详解】（1）解：， 去分母时，方程右边的漏乘了6，所以， 解得， 因为此时方程的解为， 所以， 解得； （2）当时，正确的方程为， ， ， ， ． 【题型五】一元一次方程解的存在性问题 【★★例题5】．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解是，其中a，m，k为常数．是否存在m的值使得关于y的方程无解？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在m的值使得关于y的方程无解，m的值为 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 整理关于y的方程，得，若无解，则；解关于x的方程，得，根据则和即可求出m的值． 【详解】解：将关于y的方程整理， 得， ∵关于y的方程无解， ∴， ∴， 解方程， 得x， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在m的值使得关于y的方程无解，m的值为． 【★变式1】（24-25八年级下·云南楚雄·期末）定义：若两个实数满足，则与互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值． (2)已知点是关于的一次函数和的图象的交点，是否存在实数，使点为“和谐点”？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，新定义运算． （1）根据“和谐点”的定义列式计算即可； （2）先求出，进而求出，根据“和谐点”的定义列式计算即可． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ， ； （2）解：存在． 是关于的一次函数和图象的交点， ， 解得． 将代入，得． 点为“和谐点”， ， 解得， 存在的值为，使点为“和谐点”． 【★★变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点，都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个． (1)若点是正比例函数（为常数，）的图象上的“梦之点”，求这个正比例函数的解析式； (2)函数（是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，“梦之点”的坐标为；当时，“梦之点”有无数个；当时，不存在“梦之点”． 【分析】本题考查正比例函数，一次函数，一元一次方程，点的坐标，掌握知识点是解题的关键． （1）先由“梦之点”的定义得出，再将点P坐标代入，运用待定系数法即可求出正比例函数的解析式； （2）假设函数（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”，则有，整理得，再分三种情况进行讨论即可； 【详解】（1）解：∵点是“梦之点”， ∴， ∵点在正比例函数（为常数，）的图象上， ∴ 解得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：假设函数（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”， 则有， 整理，得， 当，即时，解得； 当，即，时，x有无穷多解； 当，即，时，x无解； 综上所述，当时，“梦之点”的坐标为；当，时，“梦之点”有无数个；当，时，不存在“梦之点”． 【考点二】二元一次方程组 【题型六】二元一次方程（组）定义与参数求解 【★★例题6】（24-25七年级下·全国·随堂练习）写一个关于x，y的二元一次方程组 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程组的定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做一元一次方程，叫做二元一次方程组．据此写出一个方程组即可． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【★变式1】（2025·河北邯郸·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，不等式的性质，含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义得到，求出，，然后由，得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， 得：， 解得：，， ∵， ∴，或，， ∵， 当，时，，符合题意； 当，时，，不符合题意； ∴，， ∴． 故选：B． 【★★变式2】（2025·安徽芜湖·三模）某科创公司制造的产品采用内销和出口两种方式，今年第一季度的内销收入比去年第一季度增加，出口收入比去年第一季度增加． (1)设去年第一季度内销收入为万元，出口收入为万元，用含，的代数式表示今年第一季度的总收入为______万元； (2)若今年第一季度的总收入比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了列代数式、二元一次方程的应用等知识点，根据题意、找出找等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据今年第一季度的总收入为出口收入与内销收入的和，据此列代数式即可解答； （2）根据今年第一季度的总收入比去年增加，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：今年第一季度的内销收入为，第一季度的出口收入为，所以今年第一季度的总收入为万元． 故答案为：． （2）解：去年第一季度的总收入为， 由题意可得：， 整理得：， 所以． 【题型七】二元一次方程的解 【★★例题8】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据方程组的解，得，变形得，代入求值即可． 本题考查了方程组的解，整体思想求代数式的值，熟练掌握求值的方法是解题的关键． 【详解】解：由是方程的一组解， 得， 变形得， ． 故选：A． 【★变式1】（23-24七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 【★★变式2】（23-24七年级上·上海·期末）方程的正整数解为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的求解，明确取值范围是解题的关键．根据二元一次方程取正整数解，用y表示出x，求出正整数解即可． 【详解】解： ， 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 则方程的正整数解为：或， 故答案为：或． 【★★变式3】（2025·贵州贵阳·一模）下列表格中给出的几组数都是关于的二元一次方程的解，表格中的值为 ． 0 1 2 5 3 1 －1 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解法和待定系数法，解题的关键是利用已知的解代入方程，建立关于系数 a 和 b 的方程组，求出 a 和 b 的值，从而确定方程的具体形式．先求出二元一次方程中a和b的值，利用表格中已知的两组解（如和）代入方程，得到关于的二元一次方程组，解出a、b后确定方程，再将代入方程求出对应的y（即m）． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，，代入，得 解得， ∴. 当时，，解得，即. 故答案为：． 【★★变式3】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义．把代入得出m和n的值，代入即可 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程组的一组解， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【题型八】二元一次方程组的解法 【★★例题8】（2025·内蒙古·模拟预测）（1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解二元一次方程组： （1）先进行零指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，开方和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原方程组可化为， ，得，解得； 把代入②，得，解得； 因此，方程组的解为． 【★变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）（1）计算：； （2）从下列方程，，中选两个方程组成二元一次方程组，并解该二元一次方程组． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数，解二元一次方程组． （1）先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂分别计算，最后合并即可； （2）选出方程组后，利用加减消元法，进行求解． 【详解】解：（1） ； （2）组成的方程组可以是：（只需写出一个方程组即可） （A）或（B）或（C）， A、， 由，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴原方程组的解是； B、， 由得，， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解是； C、， 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解是． 【★★变式2】（2025·广东惠州·二模）（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二次根式的加减计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：， ①得，，解得， 把代入①得，，解得， 方程组的解为． 【★★变式3】（2025·江苏常州·模拟预测）解方程组和不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组； （1）解二元一次方程组的指导思想是消元即减少未知数的个数，根据不同的情况选择合适的消元方法，一般采用加减消元法； （2）解一元一次不等式组时，先求出每个不等式的解集，然后找到解集的公共部分，即为不等式组的解集. 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故方程组的解为：. （2）解：， 解不等式，去括号： 移项合并： 系数化为1：； 解不等式，去分母： 移项合并： 系数化为1：； 同小取小 故不等式组的解集为：． 【题型九】含参的二元一次方程组 【★★例题9】（2025·浙江杭州·二模）对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 【答案】同意他的结论，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，即可证明结论． 【详解】解：同意他的结论，理由如下： 由①得，③ 将代入②， ∵， ∴可解得 将代入③得， ∴ 【★变式1】（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值，的最小值 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求出，得到，求解即可； （2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案； （3）求出，根据一次函数的性质求得的最大值，的最小值． 【详解】（1）解：关于的二元一次方程组， 将①＋②，得， ， ， ； （2）解：解关于的二元一次方程组，得 均为非负数， ，且， 的取值范围为； （3）解：， ， ∵， 随着的增大而增大， ， 的最大值，的最小值． 【★★变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·月考）若关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，则满足条件的的最大值是多少？ (2)若方程组的解满足是非正数，是正数，化解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，一元一次不等式组，化简绝对值； （1）根据加减消元法得出，根据题意得出，解得，进而即可求解； （2）根据加减消元法求得方程组的解为，根据题意列出不等式组，进而求得的范围，并化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解： ①+②得 ∴ ∵， ∴ 解得： ∴满足条件的的最大值是； （2）解： 得， 解得： 把代入①得，， 解得： ∴ ∵是非正数，是正数， ∴ 解得： ∴ ∴ 【★★变式3】（2019·河北邢台·一模）李宁准备完成题目：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解二元一次方程组； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，是一对相反数”通计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】得出，求出，把代入求出即可； 把代入求出，再求出，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以方程组的解是：； （2）设“”为， 、是一对相反数， 把代入得：， 解得：， 即， 所以方程组的解是， 代入得：， 解得：， 即原题中“”是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于的方程是解的关键． 【题型十】二元一次方程组的应用 【★★例题10】（2025·贵州·模拟预测）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生 (2)至多种植甲作物亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过65人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， ∵种植1亩甲作物需要7名学生， ∴种植甲作物的亩数是整数， ∴a的最大值为． 答：至多种植甲作物亩． 【★变式1】（2025·江苏连云港·模拟预测）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据“人出七，盈二”表示总钱数比货物总价多2钱，可得；根据“人出六，不足三”表示总钱数比货物总价少3钱，可得． 【详解】解：∵每人出7钱，多2钱， ∴； ∵每人出6钱，差3钱， ∴； ∴可列方程组为． 故选：B． 【★★变式2】（2025·湖北·模拟预测）一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，二元一次方程组的应用，读懂函数图象并获取准确的等量关系，列出方程组是解题的关键．由图和题意可知：不妨设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，又过秒时，小刚追上小明，秒时小刚到达终点，秒时小明到达终点，由此列出方程组求得、，进一步求得答案即可． 【详解】解：设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，由题意得 ， 解方程组得． 所以全程米． 故答案为： 【★★变式3】（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 三.中考真题专练 一、单选题（10题） 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2．（2024·四川广元·中考真题）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 3．（2024·海南·中考真题）若代数式的值为5，则x等于（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可知，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值为5， ∴， 解得， 故选：A． 4．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数． 【详解】解：设购买足球x个，篮球y个， 根据题意得：，即， 则， ∵都是非负整数， 解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去）， ∴共有4种购买方案， 故选：C． 5．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 6．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 7．（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（    ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 据题题意：， 解得：． 答：快马20天可以追上慢马． 故选：D． 8．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得， 由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得， 因此可列方程组， 故选D． 10．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 二、填空题（6题） 11．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解． 【详解】解： 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 该方程组的解为， ∴，， ， 故答案为：1． 13．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 14．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 15．（2025·福建·中考真题）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 16．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 三、解答题（4题） 17．（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：     （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可； （2）去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：． 18．（2025·山西·中考真题）（1）计算：     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键； （1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可； （2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可． 【详解】解：（1）原式                ；                 （2）解：①+②，得，                 ．                   将代入②，得，                  ．                     所以原方程组的解是． 19．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 20．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $