专题 1.6 分式与二次根式（学情检测卷）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.6 分式与二次根式（学情检测卷） （检测时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：有意义， ， ． 因此，的取值范围是， 故选：B． 2．（2025·云南文山·模拟预测）下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式，把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，合并同类二次根式就是把同类二次根式的系数相加，其余部分不变． 【详解】解：A选项：，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，故A选项不符合题意； B选项：，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C选项：，被开方数为，与是同类二次根式，可以合并，故C选项符合题意； D选项：，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意． 综上，只有能与合并． 故选：C． 3．（2025·甘肃平凉·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，二次根式的混合运算，幂的乘方运算，根据合并同类项，二次根式的混合运算，幂的乘方运算法则逐一计算作出判断即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 依据题意，有一个长方形面积是，宽是，则它的长为：，进而得解． 【详解】解：由题意，一个长方形面积是，宽是， 它的长为：， 故选：A． 5．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 6．（2025·江苏扬州·一模）若 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和无理数的估算．先利用分母有理化化简二次根式，再进行无理数估算即可． 【详解】解：； ∵， ∴， 即； 故选：A． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解确定参数的取值范围，解一元一次不等式；首先将分式方程转化为整式方程，求解后结合分式方程有解的条件（分母不为零且系数不为零）确定参数m的取值范围． 【详解】解：原方程可改写为， 方程两边同乘（注意），得：， 整理得：， 解得：； 因为分母，即， 依题意，，即， 解得：， 综上，且； 故选：D． 8．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键；根据题意，慢马送信时间为天，速度为里/天；快马送信时间为天，速度为里/天.快马速度是慢马速度的倍，由此列出方程. 【详解】设规定时间为x天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， ∵ 慢马速度为，快马速度为， 且快马速度是慢马速度的倍， ∴ ， 故选A 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 9．（2025·山西大同·一模） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式乘法计算，，而，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（2025·宁夏中卫·三模）计算 . 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据负整数指数幂，化简绝对值，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（2025·甘肃武威·一模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，先将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程并将的值代入分母检验． 【详解】解：， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解． 12．（2025·河北保定·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式的乘法运算，先求出，再根据与的积为有理数求解即可． 【详解】解：点M在数轴上的位置在2与3之间， ， ， 与的积为有理数，且， ， 故答案为：8 13．（2025·广东广州·模拟预测）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的加减，正确计算是解题的关键． 根据分式加减的计算法则先通分再计算即可． 【详解】解：原式=． 故答案为 ：． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）计算 ． 【答案】4 【分析】本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算．直接将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 15．（2025·重庆·模拟预测）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各项：为，为，为4，再求和即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 16．（2025·湖南永州·一模）已知等式“”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．根据被减数、减数和差的关系，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即被覆盖的部分是． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，某公司有两种型号的机械手臂，甲型号机械手臂比乙型号机械手臂每小时多生产200个产品，甲型号机械手臂生产2400个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产1600个产品所用的时间相同，则甲型号机械手臂每小时生产 个产品． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设甲型号机械手臂每小时生产个产品，则乙型号机械手臂每小时生产个产品，根据工作时间工作总量工作效率，结合“甲型号机械手臂生产2400个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产1600个产品所用的时间相同”列出分式方程，解之即可求解． 【详解】解：设甲型号机械手臂每小时生产个产品，则乙型号机械手臂每小时生产个产品， 依题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则甲型号机械手臂每小时生产个产品． 故答案为：． 18．（2025·辽宁·模拟预测）存在下列说法： ①相等的角是对顶角； ②方程是关于的一元二次方程； ③概率为的事件为不可能事件； ④动直线（为常数）过定点；定直线不过定点； ⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，则这个方程为一元一次方程． 上述说法中正确的有 条． 【答案】 【分析】根据对顶角相等、分式方程的定义、不可能事件的定义、一次函数解析式、一元二次方程的解进行判断即可得解． 【详解】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，①说法错误； ②方程不是关于的一元二次方程，是分式方程，②说法错误； ③不可能事件的概率为，但概率为的事件不一定为不可能事件，③说法错误； ④动直线（为常数）过定点；定直线也过定点，如，④说法错误； ⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，这个方程也可能为一元二次方程，如，⑤说法错误； 综上，上述说法中正确的有条． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是对顶角相等、分式方程的定义、不可能事件的定义、一次函数解析式、一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握相关知识点． 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（2025·广西·模拟预测） （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、解分式方程，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关计算方法成为解题的关键． （1）先进行算术平方根化简，然后再计算有理数的混合运算即可； （2）将分式方程化为整式方程，然后再检验即可． 【详解】解：（1） （2） 方程左右同乘可得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解 20．（6分）（2025·甘肃武威·二模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的除法运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． （1）分别计算乘方，零指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再进行实数的混合运算； （2）先因式分解，再除法转化为乘法，再进行约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21.（6分）（24-25八年级下·山东日照·期中）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂，化简绝对值等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）按照二次根式乘除运算法则运算合并即可； （2）先化简二次根式、去绝对值、计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（6分）（2024九年级下·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程；  ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：依题意， 方程两边同时乘以得 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为， 方程两边同时乘以得 ∵是原分式方程的增根， ∴把代入上面的等式得 ∴，原分式方程中“？”代表的数是． 23．（8分）（2025·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据平行线的判定可得，则可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据矩形的性质和勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 24．（10分）（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 25．（10分）（24-25八年级下·吉林长春·月考）阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． （1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （3）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （3）解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴． 26．（12分）（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.6 分式与二次根式（学情检测卷） （检测时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如果有意义，那么的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．（2025·云南文山·模拟预测）下列二次根式，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃平凉·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏扬州·一模）若 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，答案写在答题卡上） 9．（2025·山西大同·一模） ． 10．（2025·宁夏中卫·三模）计算 . 11．（2025·甘肃武威·一模）方程的解为 ． 12．（2025·河北保定·一模）如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 13．（2025·广东广州·模拟预测）计算 ． 14．（2025·山东青岛·模拟预测）计算 ． 15．（2025·重庆·模拟预测）计算 ． 16．（2025·湖南永州·一模）已知等式“”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是 ． 17．（24-25八年级上·山西朔州·期末）如图，某公司有两种型号的机械手臂，甲型号机械手臂比乙型号机械手臂每小时多生产200个产品，甲型号机械手臂生产2400个产品所用的时间与乙型号机械手臂生产1600个产品所用的时间相同，则甲型号机械手臂每小时生产 个产品． 18．（2025·辽宁·模拟预测）存在下列说法： ①相等的角是对顶角； ②方程是关于的一元二次方程； ③概率为的事件为不可能事件； ④动直线（为常数）过定点；定直线不过定点； ⑤如果存在一个一元方程且其仅有一个解，则这个方程为一元一次方程． 上述说法中正确的有 条． 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（2025·广西·模拟预测） （1）计算：； （2）解分式方程：． 20．（6分）（2025·甘肃武威·二模）计算： (1)； (2)． 21.（6分）（24-25八年级下·山东日照·期中）计算题： (1) (2) 22．（6分）（2024九年级下·全国·专题练习）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 23．（8分）（2025·湖南长沙·一模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 24．（10分）（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 25．（10分）（24-25八年级下·吉林长春·月考）阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 26．（12分）（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $