专题 1.5 分式与二次根式（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.5 分式与二次根式（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】分式的有关概念及性质 1 【知识点二】分式的运算 2 【知识点三】分式方程及其应用 2 【知识点四】二次根式的主要性质 3 【知识点五】二次根式的运算 3 二.题型分类精析 4 【题型一】分式的基本性质 4 【题型二】零指数、负整数指数的运算 5 【题型三】分式的混合运算 7 【题型四】分式的化简求值 9 【题型五】解分式方程（可化为一元一次方程的分式方程） 11 【题型六】解分式方程（可化为一元二次方程的分式方程） 13 【题型七】已知分式方程解的情况求参数 15 【题型八】分式方程的应用 18 【题型九】二次根式的意义 21 【题型十】二次根式的混合运算 23 【题型十一】二次根式的化简求值 26 三.中考真题专练 28 一、单选题（10题） 28 二、填空题（6题） 34 三、解答题（4题） 37 一.知识梳理 【知识点一】分式的有关概念及性质 分式定义：设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 分式的基本性质：（M为不等于零的整式）. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 【知识点二】分式的运算 1．基本运算法则 　　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: 　（1）加减运算： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 即： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. 　 即 （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 即 （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 即 　（4）乘方运算 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 即 2．零指数、负整数指数 （1）零指数 . （2）负整数指数 　 3.分式的混合运算顺序 　 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 【知识点三】分式方程及其应用 1． 分式方程的概念 　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 　　解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 　　验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 4．分式方程的应用 　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 【知识点四】二次根式的主要性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 【知识点五】二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【题型一】分式的基本性质 【★例题1】（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，分式的值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先得出，再将代入，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：． 【★变式1】（2025·广东·二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是关键； 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：， 分式的值扩大到原来的2倍； 故选B． 【★★变式2】（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可． 【详解】证明：， 等式的两边都乘，得， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即． 【题型二】零指数、负整数指数的运算 【★★例题2】（2025·山东·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【★变式1】（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、平方差公式以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解：原式 ， 又 ， 将代入式子得：上式． 【点睛】本题考查分式化简求值、零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键． 【★★变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）按照先分别计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式乘法，再进行加减运算的思路求解． （2）通过提取公因式来进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式运算以及因式分解，熟练掌握相关运算法则和因式分解方法是解题的关键． 【题型三】分式的混合运算 【★★例题3】（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见详解 【分析】本题考查分式的化简运算，涉及分式的基本性质和乘法分配律的应用． （1）小明的解法是通过通分进行，依据分式的基本性质；小红的解法是直接分配乘法，依据乘法分配律． （2）根据两种方法，分别运用分式的基本性质和乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解:小明解法的依据是分式的基本性质，小红解法的依据是乘法分配律， 故答案为②；③． （2）解：选择小明： 原式 选择小红： 原式 【★变式1】（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，分式的混合运算； （1）根据特殊角的三角函数值，立方根，化简绝对值，零指数幂，进行计算即可求解； （2）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，最后化简计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【★★变式2】（2025·辽宁·模拟预测）计算； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据乘方，负整数指数幂，零次幂的性质化简，再计算即可； （2）先计算分式乘法，括号内的异分母分式的减法运算，再根据分式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【题型四】分式的化简求值 【★★例题4】（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 【答案】； 【分析】此题考查了分式的化简和求值，二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号内通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式 ． 【★变式1】（2025·江西抚州·模拟预测）先化简，再求代数式的值：，其中，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值确定出a的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ∵，且a为整数， ∴，又， ∴， 则当时，原式． 【★★变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、平方差公式以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子计算求解，即可解题． 【详解】解：原式 ， 又 ， 将代入式子得：上式． 【点睛】本题考查分式化简求值、零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键． 【题型五】解分式方程（可化为一元一次方程的分式方程） 【★★例题5】（2025·河北石家庄·二模）已知：分式， (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的减法运算和解分式方程． （1）代入分式A、B，先通分计算同分母的减法，再约分即可； （2）结合（1）的结论，根据得，解分式方程并检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【★变式1】（2025·甘肃定西·三模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法，涉及的知识点是分式方程的去分母、整式方程的求解及验根．解题方法是通过找到最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得根是否使原分式方程的分母为零；解题关键是准确确定最简公分母，避免漏乘常数项，同时必须验根．易错点是忘记验根，或去分母时漏乘不含分母的项．解题思路为：先确定方程的最简公分母，两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后，代入原方程分母验证是否为增根，从而得到原方程的解． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的根． 【★★变式2】（2025·全国·一模）已知，： (1)化简A； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）直接根据分式的基本性质化简即可； （2）根据列分式方程求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ， ， 经检验，是分式方程的解． 【题型六】解分式方程（可化为一元二次方程的分式方程） 【★★例题6】（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，运用公式法解方程，先整理得，再化为整式方程，得，结合公式法解方程，得，最后验根，即可作答． 【详解】解：， 整理得， ∴， 去分母得， ∴， 则， ， 则， ∴． 经检验：都是原分式方程的解． ∴该分式方程的解为． 【★变式1】（2025·黑龙江佳木斯·二模）解方程：． 【答案】无实数根． 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程根的判别式，先将分式方程两边同时乘以化为一元二次方程，再根据根的判别式即可求解，熟练掌握分式方程的解法及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴一元二次方程无实数根， ∴原分式方程无实数根． 【★★变式2】（2025·上海杨浦·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】解： ， ， 或， 经检验：是原方程的增根，是原方程的解， 所以原方程的解是． 【题型七】已知分式方程解的情况求参数 【★★例题7】（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式有意义的条件等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解分式方程，再令解为负数求参数范围即可解答． 【详解】解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得：， 移项得：． 当时，． 解为负数，即， ∴． ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． 故选B． 【★变式1】（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的增根以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．根据题意得到，求出，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：的半径是关于的方程的增根 ∴ ∴ ∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相切． 故选：A． 【★★变式2】（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 【详解】解：， 方程两边乘，得， 整理，得． 当，即时，分式方程无解． 当时，，分式方程无解． 把代入整式方程，得，解得． 综上，m的值为1或． 故答案为：1或． 【★★变式3】（23-24八年级上·江西宜春·月考）（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4 【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）①当时，分式方程为：， 去分母得到， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； ②， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． 【题型八】分式方程的应用 【★★例题8】（2025·江西·模拟预测）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 【答案】(1)精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元 (2)最少要购进普通果67 箱 【分析】本题考查了分式方程的实际应用与一元一次不等式的实际应用，理解题意，正确列出方程与不等式是关键； （1）设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元，根据等量关系：用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，列出分式方程并求解，最后检验即可． （2）设购进普通果m箱，则购进精品果箱，根据不等关系：购进精品果与普通果共花费不超过5000元，列出不等式，解不等式，求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元． 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元； （2）解：设购进普通果m箱，则购进精品果箱． 根据题意得，， 解得 ∴符合题意的m的最小值为67， 答：最少要购进普通果67 箱． 【★变式1】（2024·山西太原·三模）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故答案为：． 【★变式2】（2025·广东中山·模拟预测）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 根据现在与原计划工作效率间的关系，可得出原计划平均每天生产台机器，利用工作时间、工作总量、工作效率的关系，结合现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天列出关于x的分式方程即可解答． 【详解】解：∵该工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，且现在平均每天生产x台机器， ∴原计划平均每天生产台机器． 根据题意得：． 故选：B． 【★★变式3】（24-25八年级上·重庆江津·期末）2024年12月8日，东方爱情马拉松在重庆市江津区盛大举行，吸引了来自世界各地的万名马拉松运动员和爱好者积极参与，小李和小杨也在其中．比赛伊始，小李的速度比小杨每分钟慢75米，当小李跑至1000米处时，小杨已抵达1600米处．（全程两人各阶段均保持匀速运动） (1)求小李和小杨最初的速度分别是多少？ (2)两人同向行进，小李跑完1000米后，开始发力，速度提升了．同时，小杨因战术调整，放慢了速度，变速30分钟后两人相遇．求小杨的速度每分钟下降了多少米？ 【答案】(1)小李最初的速度是125米/分钟，小杨最初的速度是200米/分钟 (2)小杨的速度每分钟下降了45米 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设小李最初的速度是x米/分钟，则小杨最初的速度是米/分钟，利用时间=路程÷速度，结合“当小李跑至1000米处时，小杨已抵达1600米处”，列出关于x的分式方程求解即可； （2）设小杨的速度每分钟下降了y米，利用路程=速度×时间，结合变速30分钟后小李比小杨多跑米，列出关于y的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设小李最初的速度是x米/分钟，则小杨最初的速度是米/分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米/分钟）． 答：小李最初的速度是125米/分钟，小杨最初的速度是200米/分钟； （2）解：设小杨的速度每分钟下降了y米， 根据题意得：， 解得：． 答：小杨的速度每分钟下降了45米． 【题型九】二次根式的意义 【★★例题9】（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得： 在数轴上表示为： 故选：D． 【★变式1】（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且， 【答案】C 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，零指数幂有意义的条件是底数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴且， 故选：C． 【★★变式2】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：且． 故答案为：且． 【★★变式3】（24-25八年级下·重庆·期中）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程和二次根式有意义的条件，先根据二次根式有意的条件求出，再解方程求出且，根据方程有负整数解求出整数a的值求和即可． 【详解】解：∵关于a的二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 即整数的值为，，，，， 解分式方程得：且， 又∵分式方程有负整数解， ∴整数的值为：，， 即所有整数a的和为， 故答案为：． 【题型十】二次根式的混合运算 【★★例题10】（25-26九年级上·四川遂宁·期中）计算或化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式乘法法则计算第一项，再用平方差公式计算第二项，完全平方公式展开第三项，最后合并同类项； （2）先代入特殊三角函数值，再按四则运算顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、乘法公式（平方差、完全平方）、特殊三角函数值的计算，熟练掌握运算法则、乘法公式及特殊三角函数值是解题的关键． 【★变式1】（2025·江苏泰州·三模）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）分别计算三角函数值、负指数幂、绝对值和二次根式，再进行加减运算． （2）先对括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，最后代入求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 【★★变式2】（24-25八年级下·山东日照·期中）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂，化简绝对值等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）按照二次根式乘除运算法则运算合并即可； （2）先化简二次根式、去绝对值、计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【★★变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解，有理数的乘方，负整数指数幂、绝对值以及特殊角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别根据乘方的意义，负整数指数幂运算法则、绝对值的代数意义，特殊角三角函数值化简各项后再进行加减运算即可得到答案； （2）先提公因式x，再用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【题型十一】二次根式的化简求值 【★★例题11】（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点是直线上的一点，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算进行化简即可； （2）根据解析式，确定，代入求A的值即可． 本题考查了分式的化简求值，整体思想求代数式的值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 【详解】（1）解：A• • ； （2）解：∵， ∴， ∴A． 【★变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，特殊角三角函数值的混合运算．先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，将分子、分母因式分解，再约分化简，再代入特殊角的三角函数值求出a，将a的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， ， 原式． 【★★变式2】（23-24八年级下·四川广元·月考）（1）已知，化简求值 （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先判断，再把所给代数式化简，然后把代入计算； （2）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴， ∴ ， 当时， 原式； （2） 当， 时， 原式． 【★★变式3】（2025·陕西榆林·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算． 【详解】解： ； 当时，原式． 三.中考真题专练 （一）、单选题（10题） 1．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 3．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 4．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 5．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 6．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 7．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 8．（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 10．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． （二）、填空题（6题） 11．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 12．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案． 【详解】解：， 去分母：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ， 原方程无解， 是原方程的增根， 由，， ， ， 故答案为：． 13．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 14．（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 16．（2025·福建·中考真题）若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是 ． 【答案】12或 【分析】本题主要考查分式的运算和直角三角形的边长，勾股定理，根据已知的质数和正整数将x和y分为三种情况讨论，分别求得满足题意的解或者找到矛盾排除，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵、都是质数，代数式及的值都是正整数， （1）若， ∴， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴直角三角形的第三边长为或； 当时，则，此时为偶数，为奇数，故等式不成立； （2）若，则不是正整数，与已知矛盾； （3）若， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵是质数， ∴， ∴不可能是正整数，舍去． 综上可得：直角三角形的第三边长为12或． 故答案为：12或． （三）、解答题（4题） 17．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 18．（2025·四川德阳·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （）先根据负整数指数幂，二次根式性质，化简绝对值法则进行运算，然后合并即可； （）先计算括号内的分式减法运算，然后计算分数乘法即可． 【详解】（）解：原式 ； （）解：原式 ， 当时， 原式 ． 19．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 20．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.5 分式与二次根式（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】分式的有关概念及性质 1 【知识点二】分式的运算 2 【知识点三】分式方程及其应用 2 【知识点四】二次根式的主要性质 3 【知识点五】二次根式的运算 3 二.题型分类精析 4 【题型一】分式的基本性质 4 【题型二】零指数、负整数指数的运算 4 【题型三】分式的混合运算 4 【题型四】分式的化简求值 5 【题型五】解分式方程（可化为一元一次方程的分式方程） 5 【题型六】解分式方程（可化为一元二次方程的分式方程） 6 【题型七】已知分式方程解的情况求参数 6 【题型八】分式方程的应用 6 【题型九】二次根式的意义 7 【题型十】二次根式的混合运算 8 【题型十一】二次根式的化简求值 8 三.中考真题专练 9 一、单选题（10题） 9 二、填空题（6题） 10 三、解答题（4题） 10 一.知识梳理 【知识点一】分式的有关概念及性质 分式定义：设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 分式的基本性质：（M为不等于零的整式）. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 【知识点二】分式的运算 1．基本运算法则 　　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: 　（1）加减运算： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 即： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. 　 即 （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 即 （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 即 　（4）乘方运算 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 即 2．零指数、负整数指数 （1）零指数 . （2）负整数指数 　 3.分式的混合运算顺序 　 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 【知识点三】分式方程及其应用 1． 分式方程的概念 　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 　　解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题 　　验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 4．分式方程的应用 　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 【知识点四】二次根式的主要性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 【知识点五】二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【题型一】分式的基本性质 【★例题1】（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为 ． 【★变式1】（2025·广东·二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【★★变式2】（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 【题型二】零指数、负整数指数的运算 【★★例题2】（2025·山东·一模）计算：． 【★变式1】（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值：  其中 【★★变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测） （1） 计算：； （2）因式分解：． 【题型三】分式的混合运算 【★★例题3】（2025·江西吉安·二模）在化简的过程中，小明、小红同学分别给出了如下的部分运算过程： 小明：原式 … 小红：原式 … (1)小明解法的依据是______________，小红解法的依据是______________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律 (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【★变式1】（2025·新疆克拉玛依·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【★★变式2】（2025·辽宁·模拟预测）计算； (1)； (2)． 【题型四】分式的化简求值 【★★例题4】（2025·四川广元·模拟预测） 先化简，再求值： ，其中 【★变式1】（2025·江西抚州·模拟预测） 先化简，再求代数式的值：，其中，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值． 【★★变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测） 先化简，再求值：  其中 【题型五】解分式方程（可化为一元一次方程的分式方程） 【★★例题5】（2025·河北石家庄·二模）已知：分式， (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 【★变式1】（2025·甘肃定西·三模）解方程：． 【★★变式2】（2025·全国·一模）已知，： (1)化简A； (2)若，求x的值． 【题型六】解分式方程（可化为一元二次方程的分式方程） 【★★例题6】（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 【★变式1】（2025·黑龙江佳木斯·二模）解方程：． 【★★变式2】（2025·上海杨浦·模拟预测）解方程：． 【题型七】已知分式方程解的情况求参数 【★★例题7】（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【★变式1】（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【★★变式2】（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【★★变式3】（23-24八年级上·江西宜春·月考）（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【题型八】分式方程的应用 【★★例题8】（2025·江西·模拟预测）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 【★变式1】（2024·山西太原·三模）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ．    【★变式2】（2025·广东中山·模拟预测）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【★★变式3】（24-25八年级上·重庆江津·期末）2024年12月8日，东方爱情马拉松在重庆市江津区盛大举行，吸引了来自世界各地的万名马拉松运动员和爱好者积极参与，小李和小杨也在其中．比赛伊始，小李的速度比小杨每分钟慢75米，当小李跑至1000米处时，小杨已抵达1600米处．（全程两人各阶段均保持匀速运动） (1)求小李和小杨最初的速度分别是多少？ (2)两人同向行进，小李跑完1000米后，开始发力，速度提升了．同时，小杨因战术调整，放慢了速度，变速30分钟后两人相遇．求小杨的速度每分钟下降了多少米？ 【题型九】二次根式的意义 【★★例题9】（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D．且， 【★★变式2】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【★★变式3】（24-25八年级下·重庆·期中）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于a的二次根式在实数范围内有意义，那么符合条件的所有整数a的和 ． 【题型十】二次根式的混合运算 【★★例题10】（25-26九年级上·四川遂宁·期中）计算或化简： (1) (2) 【★变式1】（2025·江苏泰州·三模） （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【★★变式2】（24-25八年级下·山东日照·期中）计算题： (1) (2) 【★★变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模） （1）计算：； （2）分解因式：． 【题型十一】二次根式的化简求值 【★★例题11】（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点是直线上的一点，求A的值． 【★变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）先化简，再求代数式的值，其中． 【★★变式2】（23-24八年级下·四川广元·月考） （1）已知，化简求值 （2）先化简，再求值：，其中， 【★★变式3】（2025·陕西榆林·三模）先化简，再求值：，其中． 三.中考真题专练 （一）、单选题（10题） 1．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 7．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 8．（2025·福建·中考真题）设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 10．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 （二）、填空题（6题） 11．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 12．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 13．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 14．（2025·山东东营·中考真题）化简 ． 15．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 16．（2025·福建·中考真题）若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是 ． （三）、解答题（4题） 17．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 18．（2025·四川德阳·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 19．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 20．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $