专题 1.4 整式与因式分解（学情检测卷）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.4 整式与因式分解（学情检测卷） （检测时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 2．（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 3．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 5．（2025·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，答案写在答题卡上） 11．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 12．（2024·上海·中考真题）计算 ． 13．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 14．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 15．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 16．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 17．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．    18．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（2024·内蒙古赤峰·中考真题） （）计算：； （）已知，求代数式的值． 20．（6分）（2025·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 21.（6分）（2025·河北石家庄·三模）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 22．（6分）（2025·河北唐山·三模）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” (1)嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ (2)小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 23．（8分）（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； (2)若，，求出此时种植区的总面积． 24．（10分）（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 25．（10分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，甲、乙、丙三张卡片分别写有关于x的整式． 甲 乙 丙 (1)若甲、乙两张卡片上的整式的和可以用完全平方公式进行因式分解，求符合条件的k的一个值； (2)嘉淇设计了一个数学闯关游戏，规则是：当选取的两张卡片上的整式相减等于第三张卡片上的整式时，闯关成功． ①求出卡片甲上的整式减去卡片丙上的整式的计算结果，并判断能否闯关成功； ②若卡片乙上的整式减去卡片甲上的整式能闯关成功，直接写出k的值． 26．（12分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.4 整式与因式分解（学情检测卷） （检测时间：100分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（每题 3 分，共 10 题，满分 30 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 2．（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义．根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 3．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，． 【详解】解：；故A不正确，不符合题意． ；故B正确，符合题意． ；故C，D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键． 4．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 【答案】D 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数， 根据题意，得 ， 当时，，都能成立； 当时，则，则， 故， 故， 故一定能被8整除， 故选：D． 5．（2025·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算，以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算法则，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意； B、，原写法错误，故本选项不符合题意； C、，写法正确，故本选项符合题意； D、，原写法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式乘法运算、算术平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据整式乘法运算、算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 9．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 10．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 第Ⅱ卷 二、填空题（每题 3 分，共 8 题，满分 24 分，答案写在答题卡上） 11．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 12．（2024·上海·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 13．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 14．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 16．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 17．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．    【答案】 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十二烷的化学式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键． 18．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 【答案】58 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 三、解答题（共 8 题，满分 66 分） 19.（每题 4 分，共 8 分）（2024·内蒙古赤峰·中考真题）（）计算：； （）已知，求代数式的值． 【答案】（）；（）． 【分析】（）利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解； （）由得，化简代数式可得，代入计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ， ； （）∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 20．（6分）（2025·福建福州·模拟预测）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）因为，所以，将这个式子代入到中，可得原式，据此证明以为非负数； （2）因为m，n为两个连续的正整数，且，所以，，所以，因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，据此得证． 本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以 = = ， 因为， 所以， 所以为非负数． （2）因为， 且m，n为两个连续的正整数，且， 所以，， 所以 = = = ， 因为m，n为两个连续的正整数， 所以是奇数， 所以c一定是奇数． 21.（6分）（2025·河北石家庄·三模）把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：________； (2)猜想：________； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； 【答案】(1)20 (2)20 (3)见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，数式规律问题，理解题意并总结出规律是解题的关键． （1）先算乘法，再算减法即可； （2）根据表格中的数据及（1）中求得的结果总结规律即可； （3）由图表可得，，，然后列得算式并计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：20； （2）猜想：， 故答案为：20； （3）解：由图表可得，，， 则 ， ∴，正确． 22．（6分）（2025·河北唐山·三模）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” (1)嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ (2)小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 【答案】(1) (2)小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式的求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）设淇淇把式中的一次项系数看成了，由题意可得，整理可得，再代入计算即可得解； （2）先求出的值，再代入计算即可得解． 【详解】（1）解：设淇淇把式中的一次项系数看成了， 根据题意，淇淇的计算结果为， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， 淇淇把式中的一次项系数看成了． （2）解：，， 当时，原式， 与互为相反数， 小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数． 23．（8分）（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ； (2)． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ． 24．（10分）（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， (1)写出第个式子： ． (2)按照以上规律，第个等式为 ，写出证明过程． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（）通过题干中的等式找出规律解答即可； （）根据（）找出规律写出等式，并通过计算进行证明即可； 本题考查了数字的变化规律，完全平方公式，根据题干的式子找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 故答案为：； （2）解：由（）的规律可得，第个等式为． 证明：∵， ， ∴， 故答案为：． 25．（10分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，甲、乙、丙三张卡片分别写有关于x的整式． 甲 乙 丙 (1)若甲、乙两张卡片上的整式的和可以用完全平方公式进行因式分解，求符合条件的k的一个值； (2)嘉淇设计了一个数学闯关游戏，规则是：当选取的两张卡片上的整式相减等于第三张卡片上的整式时，闯关成功． ①求出卡片甲上的整式减去卡片丙上的整式的计算结果，并判断能否闯关成功； ②若卡片乙上的整式减去卡片甲上的整式能闯关成功，直接写出k的值． 【答案】(1)或 (2)①，不成功；② 【分析】本题考查的是整式的加减运算，利用完全平方公式分解因式； （1）计算，结合可以用完全平方公式进行因式分解，再进一步求解即可； （2）①计算可得结果，从而可得答案；②计算，结合结果为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：； 结合题意可得：可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴或； （2）解：① ， ∵， ∴闯关不成功； ② ， 结合题意可得： ， ∴， 解得：. 26．（12分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $