精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州呼图壁县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

呼图壁县2025-2026学年第一学期期末核心素养诊断 九年级数学试卷 （试卷分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，共36分） 1. 下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A B. C. D. 3. 关于函数，下列叙述错误的是（ ） A. 函数图象经过原点 B. 函数图象的顶点坐标为 C. 函数图象开口向下 D. 函数图象的对称轴为y轴 4. 关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B对应点B落在DA的延长线上，若AB＝2，BC＝4，则点C与其对应点C的距离为( ) A 6 B. 8 C. 2 D. 2 7. 如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x（x+1）＝1560 B. x（x﹣1）＝1560×2 C x（x﹣1）＝1560 D. 2x（x+1）＝1560 9. 《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 方程的解是______． 11. 点关于原点对称的点的坐标为_____． 12. 把抛物线向右平移2个单位后所得新抛物线的解析式为______． 13. 将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的直径为________． 14. 如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BOC＝124°，则∠A＝_____． 15. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_____． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（共计90分） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，点的坐标分别是，．将绕点逆时针旋转后得到． （1）画出，并直接写出点和的坐标． （2）画出旋转过程中点经过路径，并求出该路径的长．（结果保留根号和） 18. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外没有其它差别．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一些统计数据： 摸球的次数 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）口袋中白球有______个； （2）经确认，实验结果中白球的个数与实际一致．若小明从4个球中先摸出一球后不放回，再从余下的球中摸出一球，请用列表或树状图的方法，求小明两次摸到的球颜色相同的概率． 19. 在“我运动，我健康，我快乐！”的活动主题中，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）若该市参加健身运动人数的年增长率不变，预计明年2026年有多少人参加此项活动． 20. 某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件时，每天可卖出件，设每天的利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）若商场规定该商品的售价不低于25元，且不超过35元，求每天的利润的取值范围． 21. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 如图，已知点是外一点，交于点，，弦，对应的圆心角度数为，连接． （1）求的长； （2）求证：是的切线； （3）求阴影部分的面积． 23. 矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼图壁县2025-2026学年第一学期期末核心素养诊断 九年级数学试卷 （试卷分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每题4分，共36分） 1. 下列新能源汽车的标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形定义：轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合；据此即可作答． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，故该选项是错误的； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意，故该选项是正确的； 故选：D 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过配方法将方程左边配成完全平方形式，即可求解． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴配方得，即， 故选：D． 3. 关于函数，下列叙述错误的是（ ） A. 函数图象经过原点 B. 函数图象的顶点坐标为 C. 函数图象开口向下 D. 函数图象的对称轴为y轴 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，图象经过原点，故选项AB正确，不符合题意， ，二次函数开口向上，C选项错误，符合题意； 对称轴为y轴，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为， 设另一根为，则， ， ， 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 5. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，由垂径定理得出，然后根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B的对应点B落在DA的延长线上，若AB＝2，BC＝4，则点C与其对应点C的距离为( ) A. 6 B. 8 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC、AC′，如图，由勾股定理得，AC＝2，再利用旋转的性质得到∠CAC′＝∠BAB′＝90°，AC＝AC′，则可判断△ACC′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求CC′的长． 【详解】连接AC、AC′，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AC＝， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B的对应点B落在DA的延长线上， ∴∠CAC′＝∠BAB′＝90°，AC＝AC′， ∴△ACC′为等腰直角三角形， ∴CC′＝． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的性质． 7. 如图，为的直径，弦，垂足为E，，半径为3，则弦的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，连接，由，得，在中，利用勾股定理得，再由垂径定理可得． 【详解】解：连接， ∵，半径为3， ∴，， ∵，是的直径， ∴ , ∴， 故选：B． 8. 端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. x（x+1）＝1560 B. x（x﹣1）＝1560×2 C. x（x﹣1）＝1560 D. 2x（x+1）＝1560 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x﹣1)份小礼品，那么总共送的份数应该是x(x﹣1)份，即可列出方程． 【详解】解：设全班有x名同学，根据题意得： x(x﹣1)＝1560， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 9. 《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选B． 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 方程的解是______． 【答案】，． 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故答案是：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 11. 点关于原点对称的点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数. 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为 故答案为：． 12. 把抛物线向右平移2个单位后所得新抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移．根据“左加右减、上加下减”原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位后所得新抛物线的解析式为 故答案为：． 13. 将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的直径为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，从而建立方程求解底面半径，再求直径． 【详解】解∶扇形的弧长为（cm）， 设圆锥底面半径为，则，解得， 故底面直径为． 故答案为8． 14. 如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BOC＝124°，则∠A＝_____． 【答案】68° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB，根据内心的性质得到∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵∠BOC＝124°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣124°＝56°， ∵点O是△ABC的内切圆的圆心， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝112°， ∴∠A＝180°﹣112°＝68°， 故答案为68°． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键． 15. 如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_____． 【答案】（1+，2）或（1﹣，2）． 【解析】 【详解】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形， ∴点P在线段CD的垂直平分线上， 如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴C（0，3），且D（0，1）， ∴E点坐标为（0，2）， ∴P点纵坐标为2，在中，令y=2，可得，解得x=，∴P点坐标为（，2）或（，2），故答案为（，2）或（，2）． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，以及抛物线上点的坐标，解决此题的关键是和合理的推理正确的计算． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（共计90分） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法： （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）移项后，再利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， 17. 在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，点的坐标分别是，．将绕点逆时针旋转后得到． （1）画出，并直接写出点和的坐标． （2）画出旋转过程中点经过的路径，并求出该路径的长．（结果保留根号和） 【答案】（1）图见解析，的坐标为，的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形，弧长等知识． （1）根据旋转角的性质画出，根据坐标系即可得出和坐标； （2）旋转过程中点 B 经过的路径长为，，其中，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图 由图可知的坐标为，的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，点经过的路径为， 由题意知： ∵ ∴ ∴旋转过程中点 B 经过的路径长为． 18. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外没有其它差别．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一些统计数据： 摸球的次数 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）口袋中白球有______个； （2）经确认，实验结果中白球的个数与实际一致．若小明从4个球中先摸出一球后不放回，再从余下的球中摸出一球，请用列表或树状图的方法，求小明两次摸到的球颜色相同的概率． 【答案】（1），2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定值左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据统计数据，当 n 很大时，摸到白球的频率接近0.5;根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.5，然后利用概率公式计算白球的个数； （2）先利用树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：由题可知：当很大时，摸到白球的频率将会接近， 口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个，摸到白球的频率为， 口袋中白球有：（个）， 故答案为：； 小问2详解】 树状图如下： 由树状图可知：共有种等可能结果，其中颜色相同的共有4种； 小明两次摸到的球颜色相同的概率为：． 19. 在“我运动，我健康，我快乐！”的活动主题中，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）若该市参加健身运动人数的年增长率不变，预计明年2026年有多少人参加此项活动． 【答案】（1） （2）万人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用． （1）设年均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． （2）根据（1）的结论，列出算式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：设年均增长率为，则， 解得(舍去负根)． 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． 【小问2详解】 (万人) 答：预计明年2026年有万人参加此项活动． 20. 某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件时，每天可卖出件，设每天的利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）当售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）若商场规定该商品的售价不低于25元，且不超过35元，求每天的利润的取值范围． 【答案】（1） （2）当售价定为60元时，每天的利润最大，最大利润是1600元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用及二次函数的最值，关键是熟练应用二次函数的性质． （1）由利润（售价进价）销售量可列函数关系式； （2）利用二次函数的性质求最值． （3）根据二次函数的函数值随自变量变化情况即可得出结论. 【小问1详解】 解：， ， 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，有最大值为元， 当售价为元时，每天利润最大，最大利润为元． 【小问3详解】 解：，对称轴为直线，， 当时，随的增大而增大 ∵， ∴当时，； 当时， ∴每天的利润的取值范围是 21. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，已知点是外一点，交于点，，弦，对应的圆心角度数为，连接． （1）求的长； （2）求证：是的切线； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，求扇形面积； （1）首先连接，由弦，劣弧的度数为，证得是等边三角形，则可求得的长； （2）由，是等边三角形，可求得，即可得，又由等边三角形的性质可得，，则可证得，继而证得是的切线； （3）根据阴影部分面积，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 弦，的度数为， 与的度数等于， ． ， 等边三角形， ． 【小问2详解】 证明：，， ， ． 是等边三角形， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线． 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ∴ ∴， ∴阴影部分面积． 23. 矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【答案】（）详见解析；（）． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）证明：连接， 由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，， ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $