精品解析：北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题

石景山区2025-2026学年第一学期高三期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集运算的定义求解. 【详解】，， . 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先求共轭复数，再求得，利用公式求解模长即可. 【详解】，， ，故. 故选：D 3. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加减的坐标运算求出，再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，，两式联立可得，， . 故选：B. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数和指数函数单调性得到，比较出大小. 【详解】， 故. 故选：D 6. 将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】先求得图象变换后函数的解析式，然后根据三角函数单调区间的求法，求得正确答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位得， ， 所以的单调递增区间为， 同理可求得的单调减区间为， 令，得的单调递增区间为，所以A选项正确，B选项错误. 令，得的单调减区间为，所以C选项错误， 令得的单调递增区间为，所以D选项错误. 故选：A 7. 某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（ ）（参考数据：） A. 6.403 B. 6.463 C. 6.503 D. 6.523 【答案】B 【解析】 【分析】由，列式运算求得的值. 【详解】根据题意得，则， 得. 故选：B. 8. 设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则以为直径的圆（ ） A. 必过原点 B. 必与轴相切 C. 必与轴相切 D. 必与抛物线的准线相切 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位线性质与抛物线的定义化简计算可得以为直径的圆与轴相切. 【详解】如图，取中点，以为圆心，为直径作圆，与轴相切于点， 证明如下：不妨取抛物线开口向右，则 若分别为，中点，抛物线的准线于，交轴于， 连接，所以，且， 所以， 由抛物线定义可知， 所以为圆的半径，即以为直径的圆与轴相切. 故选：C 9. 若数列满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，得，即得数列的偶数项是2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的前项和公式求解. 【详解】由题，令，得，又，则， 所以数列的偶数项构成一个以为首项，公比为2的等比数列， . 故选：C. 10. 已知是平面直角坐标系中的点集．设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，点集表示的是曲线，直线以及围成的区域（包括边界），作出图象，数形结合得解. 【详解】，，所以， 所以，又，可得， 所以，故， 所以点集表示的是曲线，直线以及围成的区域（包括边界）. 令，则，且在上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 作出图象如图所示，易得，，，，， 由图易得，表示的图形的面积小于矩形的面积，故. 故选：A. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 双曲线的焦距是__________，渐近线方程是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出、、的值，即可得出结果. 【详解】在双曲线中，，，， 所以，该双曲线的焦距为，渐近线方程为，即. 故答案为：；. 12 已知，则___________；___________． 【答案】 ①. 1 ②. 81 【解析】 【分析】令代入运算求得；给条件式两边同乘16，再令运算得解. 【详解】由，令，得，即； 由，两边同乘16，可得， 令，则， 所以，即 . 故答案为：1；81. 13. 已知，且，．写出满足条件的一组的值___________，___________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据已知有，，且，即可写出一组. 【详解】由题设，则，，且， 所以，满足条件的一组. 故答案为：（答案不唯一） 14. 如图所示几何体，其中正方形边长为4，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为___________． 【答案】22 【解析】 【分析】在上分别取点，使得，几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，分别求出它们的体积得解. 【详解】如图，在上分别取点，使得，连接， 易知，所以几何体为三棱柱， 所以几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的体积的一半， 所以，， 所以. 故答案为：22. 15. 关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用已知条件以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为为偶函数，所以， 由，可得，则， ，所以函数的图象关于直线对称，故①正确； 对于②，因为，所以， 又，可得， 所以函数的图象关于点对称，故②正确； 对于③，由，且，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故③错误； 对于④，因为，且，所以， 由，所以，又， 所以，所以， 所以，因此，函数是周期为4的周期函数，故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的周长． 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择①，存在且唯一，周长为；选择②，存在且唯一，周长为；选择③，存在两个，不合题意. 【解析】 【分析】（1）由条件式利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求得答案； （2）选择条件①，利用三角形面积公式结合余弦定理求解；选择条件②，由三角变换求得，再利用正弦定理分别求得，得解；选择条件③，由余弦定理求得，进而求解判断. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又， ，整理得， 又，得，又，所以. 【小问2详解】 选择条件①，因为，，所以，解得， 又，得， 所以存在且唯一确定，的周长为. 选择条件②，由，，得， 又，所以， ，， 所以存在且唯一确定，的周长为. 选择条件③，由，，，由余弦定理可得， ，即，解得或， 故此时满足条件的有两个，不符合题意. 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在点，是靠近的三等分点. 【解析】 【分析】（1）证明平面平面，即可得到答案. （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案； （3）假设存在，设，求出平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【小问1详解】 因为正方形，所以，平面，平面，所以平面， 同理，平面，平面，所以平面， 又，平面，故平面平面， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由，则，， 在正方形中，，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，，故，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，所以， 又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 假设存在，设，又，则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 由题得平面，则，又，，平面， 所以平面，故为平面的法向量，且， ，解得或（舍去）， 所以在棱上存在一点，满足题意，此时是靠近的三等分点. 18. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况： （1）从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率； （2）从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望； （3）由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见详解， （3）从9月4日开始. 【解析】 【分析】（1）根据古典概率公式计算概率； （2）由题的可能取值为，求出相应的概率，求出分布列和期望； （3）根据方差的意义分析判断. 【小问1详解】 根据题意，9月1日至9月7日这7天中，9月2日、5日、7日这3天中，甲乙步数都不低于10000， 所以这一天职工甲和乙的步数都不低于10000的概率为. 【小问2详解】 由题，9月1日和9月5日这两天甲的步数小于乙的步数，所以的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【小问3详解】 由表中数据可得9月4日开始的三天职工乙的步数的数据为，数值波动最大，因此方差最大， 所以从9月4日开始职工乙连续三天的步数方差最大. 19. 已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）点为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线交于．若与的面积相等，求直线的方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出即可得解； （2）设，由与的面积相等，可得求得点的坐标，得解. 【小问1详解】 由题可得，解得， 所以椭圆的方程为，离心率. 【小问2详解】 如图，设，则， 由与的面积相等，则， 又，则， 所以，即，解得或， 又，所以，所以， 所以直线斜率，所以直线的方程为. 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程： （2）若有两个极值点，求的取值范围： （3）当时，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线方程； （2）对求导，整理得，令，有两个极值点等价于有两个变号零点，分和讨论判断单调性和极值结合零点存在性定理求解； （3）令，利用导数证明，令，利用导数证明，得证. 【小问1详解】 当时，，则， 可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，得，整理得， 令，则， 所以有两个极值点等价于有两个变号零点， 当时，，在上单调递增， 所以至多有一个零点，从而没有两个极值点. 当时，令，得，即在上单调递增， 令，得，即上单调递减， 所以，由，得， 又，，在上单调递增， 所以在上有一个零点； 取，，因为在上单调递减， 所以在上有一个零点， 综上，当时，有两个零点，即有两个极值点. 【小问3详解】 令，当时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则当时，， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，所以，即. 21. 设为正整数，集合，集合，其中，表示不超过的最大整数．对的任意非空真子集，定义向量，其中. （1）当时，求； （2）当时，求证：的充要条件是； （3）当时，求所有使的集合． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3），，，. 【解析】 【分析】（1）根据新定义，分讨论求解； （2）先证明集合中共有个元素，结合新定义分别证明必要性和充分性； （3）根据题意可得且，且，由此分析得解. 【小问1详解】 当时，，， 当时，， 由于且，故， 当时，， 由于且，故， 当时，， 由于，故， 综上所述，. 【小问2详解】 先证明集合中共有个元素. 因为，设，则每个的值对应个连续的值， 因为中共有个元素，所以共有个不同的取值， 所以，其中奇数有个， 所以集合中共有个元素. 再证明时，的充要条件是， 先证必要性：因，所以，故； 再证充分性：若，则， 因为，所以中的元素个数为， 因此中存在元素，满足且，所以， 所以，证明完毕. 【小问3详解】 当时，，所以，， 因为，所以且，且， 即且，且， 所以所有可能的为，，，，验证均满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石景山区2025-2026学年第一学期高三期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 7. 某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（ ）（参考数据：） A. 6.403 B. 6.463 C. 6.503 D. 6.523 8. 设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则以为直径的圆（ ） A. 必过原点 B. 必与轴相切 C. 必与轴相切 D. 必与抛物线的准线相切 9. 若数列满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是平面直角坐标系中点集．设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 双曲线的焦距是__________，渐近线方程是_________． 12. 已知，则___________；___________． 13. 已知，且，．写出满足条件的一组的值___________，___________． 14. 如图所示几何体，其中正方形边长为4，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为___________． 15. 关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 中，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求周长． 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 18. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况： （1）从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率； （2）从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望； （3）由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）点为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线交于．若与的面积相等，求直线的方程． 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程： （2）若有两个极值点，求的取值范围： （3）当时，求证：． 21. 设为正整数，集合，集合，其中，表示不超过的最大整数．对的任意非空真子集，定义向量，其中. （1）当时，求； （2）当时，求证：的充要条件是； （3）当时，求所有使的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $