北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题

石景山区2025-2026学年第一学期高三期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 6. 某种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则实数约为（ ）（参考数据：） A. 6.403 B. 6.463 C. 6.503 D. 6.523 7. 设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则以为直径的圆（ ） A. 必过原点 B. 必与轴相切 C. 必与轴相切 D. 必与抛物线的准线相切 8. 若数列满足，且，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知是平面直角坐标系中的点集．设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 10. 双曲线的焦距是__________，渐近线方程是_________． 11. 已知，则___________；___________． 12. 已知，且，．写出满足条件的一组的值___________，___________． 13. 如图所示几何体，其中正方形边长为4，，且到平面的距离为3，则几何体的体积为___________． 14. 关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 在中，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的周长． 条件①：的面积为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 17. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传9月1日至9月7日每天的步数信息，下表是职工甲和职工乙步数情况： （1）从9月1日至9月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙步数都不低于10000的概率； （2）从9月1日至9月7日中任选两天，记职工甲步数小于职工乙步数的天数为，求的分布列及数学期望； （3）由表中数据判断从哪天开始职工乙连续三天的步数方差最大？（结论不要求证明） 18. 已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）点为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线交于．若与的面积相等，求直线的方程． 19. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程： （2）若有两个极值点，求的取值范围： （3）当时，求证：． 20. 设为正整数，集合，集合，其中，表示不超过的最大整数．对的任意非空真子集，定义向量，其中. （1）当时，求； （2）当时，求证：的充要条件是； （3）当时，求所有使的集合． 石景山区2025-2026学年第一学期高三期末试卷 数学 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【10题答案】 【答案】 ①. ②. 【11题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 81 【12题答案】 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【13题答案】 【答案】22 【14题答案】 【答案】①②④ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【15题答案】 【答案】（1） （2）选择①，存在且唯一，周长为；选择②，存在且唯一，周长为；选择③，存在两个，不合题意. 【16题答案】 【答案】（1） 因为正方形，所以，平面，平面，所以平面， 同理，平面，平面，所以平面， 又，平面，故平面平面， 又平面，所以平面. （2） （3）存在点，是靠近的三等分点. 【17题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 ， （3）从9月4日开始. 【18题答案】 【答案】（1）， （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 令，当时，， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则当时，， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，所以，即. 【20题答案】 【答案】（1）； （2） 先证明集合中共有个元素. 因为，设，则每个的值对应个连续的值， 因为中共有个元素，所以共有个不同的取值， 所以，其中奇数有个， 所以集合中共有个元素. 再证明时，的充要条件是， 先证必要性：因为，所以，故； 再证充分性：若，则， 因为，所以中的元素个数为， 因此中存在元素，满足且，所以， 所以，证明完毕. （3），，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $