精品解析：四川省广安市岳池县第一中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋期岳池一中九年级数学学科期末试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程为（　　） A. B. C. （a和b为常数） D. 2. 如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 概率很小的事情都不可能发生 B. 投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次 C. 从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大 D. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 5. 如图，在正十边形中，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 7. 有下列4个命题：①相等的角是对顶角；②两直线平行，同位角相等；③若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等．其中是假命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 10. 已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 11. 在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为_______个． 12. 二次函数的最大值是______． 13. 已知，则的值是______． 14. 定义：已知一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是已知矩形的“倍”矩形．已知一个长为5，宽为4的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为______． 15. 如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为 ________________ ． 16. 如图，正方形的边长为4，分别以B，C为圆心，BC为半径作圆弧AC，BD并交于点E，则阴影图形的面积为______． 三、解答题（共72分） 17. 用适当方法解方程： 18. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 19. 如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：． ． 21. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 22. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 23. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 24. 某高尔夫球手在如图的场地上向正东方向击出一个高尔夫球，球的高度和经过的水平距离可用公式来估计． （1）当球的水平距离达到时，球上升的高度是多少？ （2）若在击球点正东方向101米处有一球洞，判断此高尔夫球手这一杆能否把球从点直接打入球洞点，并说明理由． 25. 如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）过点E作于点H，求证：平分； （3）求证：． 26. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期岳池一中九年级数学学科期末试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程为（　　） A. B. C. （a和b为常数） D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可，即只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程． 【详解】解：A.该选项是一元一次方程，不符合题意； B. 是分式，该选项不是一元二次方程，不符合题意； C.当时，该选项为一元一次方程，不符合题意； D.该选项是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 如下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念．根据轴对称图形与中心对称图形的概念，作答即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知：A、B选项为轴对称图形， 根据中心对称图形的定义可知：B选项为中心对称图形． 故选：B． 3. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．先向右平移3个单位，x 替换为；再向下平移1个单位，整体减去1 【详解】解：∵原函数为 ，向右平移3个单位：，再向下平移1个单位：； ∴ 所得函数表达式为 ， 故选：D 4. 下列说法正确的是（ ） A. 概率很小的事情都不可能发生 B. 投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次 C. 从1，2，3，4，5中任取一个数是偶数的可能性比较大 D. 13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的相关概念可进行排除选项． 【详解】解：A、概率很小的事情说明这件事情发生的概率很小，并不代表不可能发生，故不符合题意； B、投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数可能是5000次，原说法错误，故不符合题意； C、从1、2、3、4、5中任取一个数是偶数的可能性比较小，原说法错误，故不符合题意； D、13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，原说法正确，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查概率及随机事件，熟练掌握概率及随机事件的相关概念是解题的关键． 5. 如图，在正十边形中，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，连接，求出正十边形的中心角，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接， 则， 由圆周角定理得，， 故选：B． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，先根据多项式乘多项式进行计算，再把方程的左边分解因式，再得出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 所以， 故选：B． 7. 有下列4个命题：①相等的角是对顶角；②两直线平行，同位角相等；③若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形；④全等三角形的对应角相等．其中是假命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题的真假，根据对顶角的定义可判断①，根据平行线的性质可判断②，根据三角形内角和定理可判断③，根据全等三角形的性质可判断④． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ②两直线平行，同位角相等，原命题是真命题； ③若一个三角形的两个内角分别为和（则另一个内角为），则这个三角形是直角三角形，原命题是真命题； ④全等三角形的对应角相等，原命题是真命题； ∴假命题是①， 故选：B． 8. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 9. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 如图所示，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接， ∵正六边形内接于， ， ∵， ∴是等边三角形， ∵的周长是， ， ， 故选：C． 10. 已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项． 【详解】解： ∵图象与x轴有交点， ∴， 解得； ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴实数a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（共18分） 11. 在一个不透明的纸箱中装12个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则纸箱中白球最可能为_______个． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 根据摸到黑球的频率得出球的总数，然后减去黑球个数即可． 【详解】解：根据题意得：， 则纸箱中白球个数很可能是8个． 故答案为：8． 12. 二次函数的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知对于二次函数，当时，函数有最大值h，当时，函数有最小值h是解题的关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，二次函数的开口向下，顶点为， ∴函数有最大值， 故答案为：． 13. 已知，则的值是______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查的是平方的非负性与算术平方根的非负性，求解代数式的值，熟练地利用两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0求解参数的值是解本题的关键． 先由平方的非负性与算术平方根的非负性求解m，n的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：21． 14. 定义：已知一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的倍（），则称这个矩形是已知矩形的“倍”矩形．已知一个长为5，宽为4的矩形，若它的“倍”矩形存在，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 根据新定义，“倍”矩形的周长和面积分别是原矩形周长和面积的倍，原矩形长5宽4，周长为18，面积为20，设新矩形长为，则宽为，根据面积关系列出一元二次方程，其判别式非负时方程有实数根，即新矩形存在，由此解出的取值范围，并求最小值． 【详解】解：∵现有一个长为5，宽为4的矩形， ∴它的周长为，面积为， ∴它的“倍”矩形的面积为，周长为， 设它的“倍”矩形的长为，则宽为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积倍， ∴即：， ∵， ∴不等式化为，解得， ∴的最小值为， 当时，，方程有重根，宽，满足条件， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为 ________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，用勾股定理解直角三角形，三角形的全等判定和全等性质，牢记相关定理内容并作出符合题意的辅助线是解题的关键．延长，过点E作垂直于的延长线于点F，证明，可得，然后在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：延长，过点E作垂直于的延长线于点F，如下图： ∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：，即：， ∵， ∴； 故答案为： 16. 如图，正方形的边长为4，分别以B，C为圆心，BC为半径作圆弧AC，BD并交于点E，则阴影图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE、CE，过点E作EF⊥BC于点F，先证明为等边三角形，根据勾股定理求出，求出△BCE的面积和扇形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接BE、CE，过点E作EF⊥BC于点F，如图所示： 根据题意可知，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，扇形面积的计算，作出辅助线，熟练掌握扇形面积公式，是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 用适当方法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ，，， ∴， ∴， 18. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）作图见解析，点的坐标为， （2）作图见解析，点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平移作图，画旋转图形，三角形的面积； （1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可． （3）连接，根据长方形的面积减去一个小正方形和三个三角形的面积即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标为， 【小问2详解】 如图所示，即为所求，点的坐标为 【小问3详解】 如图，连接， ∴的面积为 19. 如图，直线与相切于点，是的弦且平行直线，连接半径交于点，弦与交于点，连接， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先证明直线l，，可推导出，则，根据，得到，即可解答； （2）根据勾股定理，先求出，证明，得到，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接 直线是切线， 直线， 平行直线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， ， ， 20. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点C的对应点E恰好落在边的延长线上，求证：． ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，由旋转的性质得，；由B，C，E三点在同一直线上可得，从而可证明为等边三角形，得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得结论． 【详解】证明：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，． ∵B，C，E三点在同一直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴． 21. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． （1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）设花圃的宽为，面积为，则的长为米，然后根据长方形的面积公式，即可求解； （2）根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设花圃的宽为，面积为，则的长为， ∴， ∵， ∴． ∴S与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 解得：． ∵， ∴． 答：要围成面积的花圃，的长是8米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列函数关系式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】（1）20，50，见解析 （2）360 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由题意分别列式计算即可； （2）由该校学生人数乘以喜爱打篮球的学生所占的百分数即可； （3）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 这次共抽取了学生人数为（名）， 喜欢打乒乓球的人数为， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：该校喜爱打篮球的人数：（名）； 【小问3详解】 解; 列表如下： 男 男 男 女 男 —— （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） —— （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） —— （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） —— 共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种， ∴抽到一男一女学生的概率． 23. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度米，桥拱到水面的最大高度DF为20米． 求： （1）桥拱的半径； （2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度． 【答案】（1）桥拱的半径为50米； （2）水面上涨的高度为10米． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用． （1）根据垂径定理和勾股定理求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【小问1详解】 解：如图1， 设圆的半径是r， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； 【小问2详解】 解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 24. 某高尔夫球手在如图的场地上向正东方向击出一个高尔夫球，球的高度和经过的水平距离可用公式来估计． （1）当球的水平距离达到时，球上升的高度是多少？ （2）若在击球点正东方向101米处有一球洞，判断此高尔夫球手这一杆能否把球从点直接打入球洞点，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接代入计算即可求解； （2）代入可得关于d的方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）当时， ． 答：当球的水平距离达到时，球上升的高度是． （2）不能，理由如下： 当时，， 解得（舍去）， ∵， ∴此高尔夫球手这一杆不能把高尔夫球从点直接打入球洞点． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，准确运用相关知识是解题的关键． 25. 如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）过点E作于点H，求证：平分； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线性质与判定，平行线判定及性质，三角形内角和定理，全等三角形性质与判定，正确作出辅助线是解决本题的关键． （1）根据题意得，即可得到，利用角平分线性质可得，再利用平行线判定及性质得和本题结论； （2）根据题意得，再利用三角形内角和定理得，继而得到本题答案； （3）根据题意利用角平分线性质得，再利用三角形内角和定理得，后利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴是圆O的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 解：证明：如图，连接． ∵是的平分线，于C，于H， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）存在，最大值为； （3）解：不存在．理由如下： ∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为， ∴， 解得或， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 点的坐标为，点的坐标为， 此时，，， ，则不是以为腰的等腰直角三角形， ∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，且，求得，，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：对于直线， 令，则， ∴， 设，且， ∴，， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴时，的值随的增大而增大， ∴当，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $