2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·无锡）

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·无锡） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1．下列方程中，属于一元二次方程是 (    ) A．2x2﹣y﹣1＝0 B．x2＝1 C．x2﹣x（x+7）＝0 D． 2．已知，和是它们的对应边上的高，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 3．在半径为50的中，弦的长为50，则点O到的距离为（    ） A．50 B． C． D．25 4．关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 5．如图，的直径垂直于弦，垂足为，若，，则的直径长为（   ） A． B．4 C． D．8 6．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，已知与相交于两点，则的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（　　） A．2 B． C．﹣1 D． +1 9．如图，等腰中，，于D，的平分线分别交，于E，F两点，M为的中点，延长交于点N，连接．则下列结论：①，②，③，④；其中正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 10．如图，矩形中，E为延长线上一点，连接、，若平分，，，则的面积为（    ）    A．12 B．17 C．20 D．21 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11．已知，且，则的值为 ． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 13．小明沿着坡度为的斜坡坡面上走了，则小明沿垂直方向升高了 ． 14．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近，可以增加视觉美感．如果雕像的高为，那么它的下部应设计为 m．（结果保留两位小数） 15．如图，在中，，是角平分线，的垂直平分线交于点F，交于点E．若，则的度数为 ．    16．对于二次函数y=5x2+bx+c，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的 ． 17．已知点P是直线上一点，与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果，那么点P的坐标是 ． 18．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3； … 如此进行下去，直至得C2015． 若P（m，2），在第2015段抛物线C2015上，则m= ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19．计算：． 20．解方程： (1) (2) (3) (4) 21．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，，垂足为，是延长线上一点，且． (1)求，的长； (2)试判断点是否为线段的黄金分割点，并证明你的结论． 22．为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下． a．甲校学生成绩的扇形统计图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：72，73，73，75，75，77，78，78． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表： 学校 平均数 中位数 甲 n 乙 (1)填空： _______， _______； (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，则p_______q（填“”或“”）； (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并给出一条合理化的建议． 23．如图1．线段和相交于点C，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到卡片③后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是__________． (2)若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 24．如图，已知，，且． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线,交于点，交于点；(要求:不写作法,保留痕迹) (2)在（1）的条件下，连结AE,若，，求的长． 25．如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 26．2024年春季进入甲流高发期，合江县某学校购进A，B两种消毒液，用于预防甲流病毒．购买4桶A消毒液和3桶B消毒液，则一共需要250元；若购买2桶A消毒液和5桶B消毒液，则一共需要230元． (1)每桶A消毒液和每桶B消毒液的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买A，B两种消毒液共50桶，其中A消毒液的数量至少比B消毒液的数量多4桶，同时又不大于B消毒液的数量的2倍少4桶，怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用． 27．如图，已知等边中，、分别是边、上的点，且，以为边向左作等边，联结、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的值． 28．矩形中，把点D沿对折，使点D落在上的F点，已知，． (1)求点的坐标； (2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； (3)直线与（2）中的抛物线交于两点，点的坐标为．求证： 为定值（参考公式：在平面直角坐标系中，，，则M，N两点之间的距离为）． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·无锡） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1．下列方程中，属于一元二次方程是 (    ) A．2x2﹣y﹣1＝0 B．x2＝1 C．x2﹣x（x+7）＝0 D． 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、含有2个未知数，故选项错误； B、含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故选项正确； C、化简后未知数的最高次数是1，故选项错误； D、是分式方程，故选项错误． 故选B． 2．已知，和是它们的对应边上的高，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出相似比是，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】解：∵，和是它们的对应边上的高，且， ∴与的相似比是， ∴与的面积比是 故选：B． 3．在半径为50的中，弦的长为50，则点O到的距离为（    ） A．50 B． C． D．25 【答案】B 【分析】由题意为等边三角形，求出等边三角形的高即可． 【详解】解：如图，作于C， 根据题意：， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点O到的距离为， 故选：B． 4．关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式，是解决本题的关键．若方程的两根互为相反数，则两根的和为；可用含的代数式表示出两根的和，即可列出关于的方程，解方程求出的值，再把所求的的值代入判别式进行检验，使的值应舍去． 【详解】解：∵ ∴设原方程的两根为，则 由题意，得 ∴ 又∵ ∴当时，，原方程无实根； 当时，，原方程有实根． ∴． 故选：D． 5．如图，的直径垂直于弦，垂足为，若，，则的直径长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，进而求出，则．运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的直径垂直于弦， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， 则的直径长为． 故选B． 6．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AB至D，使AD=4个小正方形的边长，连接CD，先证出△ADC是直角三角形和CD的长，即可求出的值． 【详解】解：延长AB至D，使AD=4个小正方形的边长，连接CD，如下图所示，    由图可知：△ADC是直角三角形，CD=3个小正方形的边长 根据勾股定理可得：AC=个小正方形的边长 ∴ 故选A． 7．如图，已知与相交于两点，则的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】只需要根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知当或时，， 故选D． 8．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（　　） A．2 B． C．﹣1 D． +1 【答案】C 【分析】设AE=BF=CG=DH=x，根据矩形的性质得出AD=BC=2，∠ABC=∠BAD=90°，求出∠EAD=∠EBF=90°，解直角三角形求出x，求出AH，解直角三角形求出即可． 【详解】解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠EAD＝∠EBF＝90°， ∵AB＝1，∠BEF＝30°， ∴BE＝BF， ∴x+1＝x， 解得：x＝， ∴AE＝BF＝CG＝DH＝， ∴AH＝AD+DH＝2+＝， ∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1， 故选C． 9．如图，等腰中，，于D，的平分线分别交，于E，F两点，M为的中点，延长交于点N，连接．则下列结论：①，②，③，④；其中正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】对于①，证明，即可得到； 对于②，先利用角边角定理，证明，得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质，即可得到； 对于③，先利用角边角定理，证明，即可得到； 对于④，连接，先证明，得到，，因此，又，所以可得． 【详解】对于①，平分， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 所以①正确； 对于②，，M为的中点， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 所以②正确； 对于③，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 所以③正确； 对于④，连接， 由②知， ， ，， ， ，， ， ， 又由①知， ， 所以④不正确； 故选：B． 10．如图，矩形中，E为延长线上一点，连接、，若平分，，，则的面积为（    ）    A．12 B．17 C．20 D．21 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得出，，，结合已知条件可得出，由等角对等边可得出， 解直角三角形可得出，设，，利用勾股定理解出x， 再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴的面积：， 故选∶B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11．已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质，设，则，，根据，建立关于的等式并求解，即可解题． 【详解】解：， 设，则，， ， ，解得， ． 故答案为：． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， 故答案为：． 13．小明沿着坡度为的斜坡坡面上走了，则小明沿垂直方向升高了 ． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，涉及坡度定义，根据题意，作出图形，利用坡度定义，设，，由勾股定理得到，列方程求解从而得到答案，熟记坡度定义，构造直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 坡度的斜坡向上行走了， ，， 在中，设，， 则由勾股定理可得，即， 解得， 他距离地面的垂直高度升高了， 故答案为：． 14．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．在设计人体雕像时，使雕像的下部（腰以下）与全部（全身）的高度比值接近，可以增加视觉美感．如果雕像的高为，那么它的下部应设计为 m．（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．把雕像的高乘以，然后进行近似计算． 【详解】解：∵雕像的下部(腰以下)与全部(全身)的高度比值接近0.618， ∴雕像的下部(腰以下)的长． 故答案为：． 15．如图，在中，，是角平分线，的垂直平分线交于点F，交于点E．若，则的度数为 ．    【答案】/62度 【分析】本题考查三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等腰三角形等边对等角；由题意可得，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 设，则， ∵，， ∴ 解得： ∴的度数为， 故答案为：． 16．对于二次函数y=5x2+bx+c，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的 ． 【答案】丙 【分析】设甲乙正确，利用顶点时写出抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，然后计算自变量为-1和2对应的函数值，从而判断丙错误． 【详解】若甲乙对，则抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3， 当x=-1时，y=23，此时丙错误； 当x=2时，y=8，此时丁正确． 而其中有且仅有一个说法是错误的， 所以只有丙错误． 故答案为丙． 17．已知点P是直线上一点，与y轴相切，且与x轴负半轴交于A、B两点，如果，那么点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点P作x轴的垂线，垂足为M，然后由垂径定理及勾股定理可得圆的半径，由此可得答案． 【详解】解：根据题意，画出图形如下： ∴，， 过点P作x轴的垂线，垂足为M， ∴，， 在中，， ∵与y轴相切， ∴轴，， ∵与x轴负半轴交于A、B两点， ∴点P的坐标是． 故答案为：． 18．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3； … 如此进行下去，直至得C2015． 若P（m，2），在第2015段抛物线C2015上，则m= ． 【答案】6043或6044． 【详解】试题分析：根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值． 解：∵y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）， ∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0）， ∴OA1=3， ∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2； ∴OA2=2×3=6， 同理可得OA3=3×3=9， … ∴OA2015=2014×3=6042， ∴第2015段抛物线C2015可看作第1段抛物线y=﹣x2+3x（0≤x≤3）向右平移6042个单位， 当y=2时，﹣x2+3x=2，解得x1=1，x2=2， ∴点（1，2）和点（2，2）向右平移6042个单位所得对应点的坐标为（6043，2），（6044，2）， ∴m的值为6043或6044． 故答案为6043或6044． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19．计算：． 【答案】5 【分析】原式分别化简算术平方根、负整数指数幂、零指数幂以及代入特殊角三角函数值，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： =5． 20．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用直接开平方法解答，即可求解； （2）利用配方法解答，即可求解； （3）利用因式分解法解答，即可求解； （4）利用公式法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， 直接开平方得：， 解得：； （2） ∴， ∴， 即， ∴， 解得：； （3） ∴， ∴， 解得：； （4） ∵， ∴ ∴ ∴． 21．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，，垂足为，是延长线上一点，且． (1)求，的长； (2)试判断点是否为线段的黄金分割点，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)点为线段的黄金分割点，理由见解析 【分析】（1）先证明，可得；再由直角三角形的性质可得，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解； （2）先分别求出，再根据黄金分割的定义，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：点为线段的黄金分割点，理由如下： 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点为线段的黄金分割点． 22．为提高我市中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新数学竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数．在八年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析．其部分信息如下． a．甲校学生成绩的扇形统计图（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：）． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：72，73，73，75，75，77，78，78． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表： 学校 平均数 中位数 甲 n 乙 (1)填空： _______， _______； (2)在抽取的同学中，参加竞赛的甲校同学，成绩高于平均分的人数有p人，参加竞赛的乙校同学，成绩高于平均分的人数有q人，则p_______q（填“”或“”）； (3)通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并给出一条合理化的建议． 【答案】(1)；74 (2) (3)乙学校学生的“思维创新能力”更强；理由见解析（写出一条，合理即可） 【分析】本题考查中位数、平均数以及扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数的定义和百分比之和为1求解即可； （2）根据题意求出，即可求解； （3）根据中位数、平均数即可解答． 【详解】（1）解：甲班组人数所占的百分比为， ， ， 甲校学生成绩排在第20，21位的是73，75， 所以甲校学生成绩的中位数； （2）解：，理由如下： 抽取的甲校的学生中，成绩的平均分为， ． 乙校的学生中，成绩的平均分为，中位数为，且， ． ； （3）解：乙校学生的“思维创新能力”更强， 理由如下：在抽取的竞赛学生的成绩中，乙校学生成绩的平均数和中位数均比甲校大． 建议：加强学生思维训练，鼓励学生进行创造性的活动；多引导学生自主学习，激发学生的学习兴趣和挑战欲望（写出一条，合理即可）． 23．如图1．线段和相交于点C，连接．四张卡片除正面分别写着如图2所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)若小明第一次抽到卡片③后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是__________． (2)若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明的概率，用树状图法进行计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，树状图法求概率： （1）先判断能得到的结果，再利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，无法得到； ∴从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明的概率是； （2）由题意，画出树状图如图： 共12种等可能的结果，由（1）可知，要证明只能是一边，一角，且边只能是③，满足要求的结果有4种， ∴． 24．如图，已知，，且． (1)用直尺和圆规作的垂直平分线,交于点，交于点；(要求:不写作法,保留痕迹) (2)在（1）的条件下，连结AE,若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）AE=5． 【分析】（1）利用垂直平分线基本作图做出AB的垂直平分线； （2）利用垂直平分线的性质及勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：（1）如图, 直线DE为所求； （2）∵DE是AB的垂直平分线 ∴AE=BE 设AE=x，则CE=8-x 在中，由勾股定理，得 AC2+EC2=AE2 ∴42+(8-x)2=x2 解得：x =5 ∴AE=5． 25．如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，． （1）求证：≌； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）55°． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得到∠CEF=∠BDE，可证△BDE≌△CEF； （2）由（1）可得DE=FE，即△DEF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可求出∠B=70°，即∠DEF=∠B=70°，从而求出∠EDF的度数． 【详解】（1）∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF，∠DEF=∠B，∴∠CEF=∠BDE． ∵AB=AC，∴∠C=∠B． 又∵CE=BD，∴△BDE≌△CEF． （2）∵△BDE≌△CEF，∴DE=FE． ∴△DEF是等腰三角形，∴∠EDF=∠EFD． ∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=70°． ∵∠DEF=∠B，∴∠DEF=70°，∴∠EDF=∠EFD=×（180°﹣70°）=55°． 26．2024年春季进入甲流高发期，合江县某学校购进A，B两种消毒液，用于预防甲流病毒．购买4桶A消毒液和3桶B消毒液，则一共需要250元；若购买2桶A消毒液和5桶B消毒液，则一共需要230元． (1)每桶A消毒液和每桶B消毒液的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买A，B两种消毒液共50桶，其中A消毒液的数量至少比B消毒液的数量多4桶，同时又不大于B消毒液的数量的2倍少4桶，怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每桶消毒液40元，每桶消毒液30元； (2)设购买消毒液27桶，则购买消毒液23桶，总费用最少1770元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设每桶消毒液的价格是x元、每桶消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买消毒液a桶，则购买消毒液桶，总费用为w，根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需总费用种消毒液的价格购进数量种消毒液的价格购进数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每桶消毒液的价格是x元、每桶消毒液的价格是y元，根据题意得： ，解得：， 答：每桶消毒液40元，每桶消毒液30元； （2）解：设购买消毒液a桶，则购买消毒液桶，总费用为w元， 根据题意得：， 解得：； 需总费用为：， ， w的值随a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 则（桶） 答：设购买消毒液27桶，则购买消毒液23桶，总费用最少1770元． 27．如图，已知等边中，、分别是边、上的点，且，以为边向左作等边，联结、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)首先可证得△ACD≌△CBF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ADC=∠CFB，AD=CF，由等边三角形的性质得出CF=DE，再由等边三角形的性质可得，进而证得，，据此即可证得； (2)过点F作FG⊥BC于点G，解直角三角形求出BD，CD，则可得出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形 ， 又 ，AD=CF 是等边三角形 四边形CDEF是平行四边形 （2）解：如图：过点F作于点G 四边形CDEF是平行四边形， 设BG=x，则 28．矩形中，把点D沿对折，使点D落在上的F点，已知，． (1)求点的坐标； (2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； (3)直线与（2）中的抛物线交于两点，点的坐标为．求证： 为定值（参考公式：在平面直角坐标系中，，，则M，N两点之间的距离为）． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．解题时， 要学生掌握数形结合的数学思想方法． （1）根据折叠的性质得到所以在直角中，利用勾股定理来求的长度， 然后由点在轴上易求点的坐标； （2）已知抛物线与轴的两个交点坐标，所以可以设抛物线的交点式方程即，根据抛物线的切线的定义知，直线 与该抛物线有一个交点，则联立两个函数解析式，得到关于的一元二次方程则该方程的根的判别式； （3）设 假设 根据抛物线与直线的交点坐标的求法得到： 根据根与系数的关系求得 利用两点间的距离公式推知， 易求 为定值． 【详解】（1）解：由折叠的性质得到：则 又 ∴． （2）解：依题意可设过点的抛物线解析式为 即， 依题意知，抛物线与直线相切， 有两个相等的实数根， 解得 ∴抛物线的解析式为． （3）证明： 设 假设 依题意得 得 ， 即 为定值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $