专题08 立体图形的直观图（思维导图+3大知识点+3大题型）讲义-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版201

专题08 立体图形的直观图 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：水平放置的平面图形的直观图的画法 4 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 4 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：水平放置平面图形的直观图画法技巧 5 题型二：空间几何体的直观图绘制方法 6 题型三：直观图还原原图形的相关计算问题 7 05 强化训练 10 知识点一：水平放置的平面图形的直观图的画法 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． 知识点诠释： 用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 题型一：水平放置平面图形的直观图画法技巧 【典例1-1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【典例1-2】如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【变式1-1】（2025·高一·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【变式1-2】画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【变式1-3】已知正五边形，如图，试画出其直观图． 题型二：空间几何体的直观图绘制方法 【典例2-1】画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【典例2-2】画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图． 【变式2-1】在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．    【变式2-2】画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图． 【变式2-3】画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 题型三：直观图还原原图形的相关计算问题 【典例3-1】如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【典例3-2】（2025·高一·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【变式3-1】（2025·高二·山东济南·月考）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【变式3-2】（2025·高一·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【变式3-3】（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 1．（2025·高一·湖南常德·期末）如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 2．（2025·高一·天津武清·月考）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·高一·上海·期中）如图，为正方体的中心，在该正方体各个表面上的射影可能是（    ） A．（1）、（3） B．（1）、（4） C．（2）、（4） D．（1）、（2）、（3）、（4） 4．（2025·高一·广东梅州·期末）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·高一·河北邯郸·开学考试）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．（2025·高二·贵州黔南·开学考试）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 8．（2025·高一·安徽合肥·期末）用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·高一·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 10．（2025·高一·浙江杭州·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ）    A．12 B．24 C． D． 11．（多选题）（2025·高一·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 12．（多选题）（2025·高一·河北邢台·月考）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 13．（多选题）（2025·高一·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 14．（2025·高一·四川绵阳·月考）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 15．（2025·高一·上海·期中）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ． 16．（2025·高二·安徽马鞍山·开学考试）一平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是 ．    17．（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为 ． 18．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 19．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 立体图形的直观图 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：水平放置的平面图形的直观图的画法 4 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 4 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：水平放置平面图形的直观图画法技巧 5 题型二：空间几何体的直观图绘制方法 8 题型三：直观图还原原图形的相关计算问题 10 05 强化训练 15 知识点一：水平放置的平面图形的直观图的画法 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． 知识点诠释： 用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 题型一：水平放置平面图形的直观图画法技巧 【典例1-1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【解析】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 【典例1-2】如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【解析】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 【变式1-1】（2025·高一·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【解析】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变； 即可知、的对应点为、， 而、对应点位置不变，即、， 则四边形的直观图如下图示： （2）原图的面积， 直观图的面积. 【变式1-2】画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．    【解析】（1）在已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴， 垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图①所示． （2）画相应的轴和轴，使，在轴上截取， 在轴上截取，过点作轴的平行线， 在上沿轴正方向取点使得.连接，如图②. （3）所得四边形就是直角梯形的直观图．如图③. 【变式1-3】已知正五边形，如图，试画出其直观图． 【解析】画法： ①在图（1）中作轴于点，作轴于点； ②在图（2）中画相应的轴与轴，两轴相交于点，使； ③在图（2）中的轴上取，，，， 轴上取，分别过和作轴的平行线， 并在相应的平行线上取，． ④连接、、、，并擦去辅助线、，轴与轴， 便得到水平放置的正五边形的直观图（如图（3））．        （1）　　            　　（2）　　　　　           （3） 题型二：空间几何体的直观图绘制方法 【典例2-1】画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【解析】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形； 第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm； 第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形； 第四步，连接，得四棱台即为所求，如图： 【典例2-2】画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图． 【解析】①取的中点，画， 用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，； ②画平面，在上截取； 画出，；，，且与交于点，如图所示；       ③连接、、，即得正三棱柱， ④最后将，，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下： 【变式2-1】在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．    【解析】画法  （1）画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使，． （2）画圆柱的直观图．如图（1），以点O为中点，在x轴上截取，借助椭圆模板画出下底面的直观图，在z轴上截取，过点分别作，．以点为中点，在轴上截取，借助椭圆模板画出上底面的直观图．连接与． （3）画球的直观图．如图（2），在轴上截取，以点为中心，分别沿三个方向（两两之间的夹角为120°）画半径为3cm的圆的直观图（三个椭圆）．以点为圆心画一个半径为3cm的圆． （4）成图．经过整理，就得到了所求几何体的直观图，如图（3）． 【变式2-2】画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图． 【解析】根据斜二测画法的规则可知, 底面矩形的直观 图为平行四边形, 其中 , , 作 底面, 在 轴上截取 , 过 作 , 使 , 过、 分别作 平行于 且等于 , 连接 可得长、宽、高 分别为，，的长方体的直观图. 【变式2-3】画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 【解析】如图所示： 题型三：直观图还原原图形的相关计算问题 【典例3-1】如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【解析】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 【典例3-2】（2025·高一·辽宁·期末）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【解析】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 【变式3-1】（2025·高二·山东济南·月考）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【解析】根据斜二测画法可知正方形的对角线长为， 画出原图形如下图所示： 原图为两直角边分别为的直角三角形组成的平行四边形， 所以原来图形的面积为. 【变式3-2】（2025·高一·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【解析】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 【变式3-3】（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【解析】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ； （2）由斜二测画法规则知， 故原为直角三角形； （3）由已知可得在中，，， 故； （4）原三角形面积为，画直观图后，，， ． 1．（2025·高一·湖南常德·期末）如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，由的面积为16，， 得，则，，而， 轴于点， 所以. 故选：C 2．（2025·高一·天津武清·月考）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由斜二测画法可知。，又因为， 所以直角的面积为， 根据面积关系，可知原图形的面积为， 故选：A. 3．（2025·高一·上海·期中）如图，为正方体的中心，在该正方体各个表面上的射影可能是（    ） A．（1）、（3） B．（1）、（4） C．（2）、（4） D．（1）、（2）、（3）、（4） 【答案】B 【解析】为正方体的中心， 则从上向下投影时，点的射影落在对角线上，故在下底面上的射影是线段， 同理在上底面射影相同，是图形（1）； 当从前向后投影时，点的射影应落在侧面的中心上，A点的射影落在D上， 故在面上的射影是三角形，同理在面上射影相同，是图形（4）； 当从左向右投影时，点的射影应落在侧面的中心上，A点的射影在B上， 故在面上的射影是三角形，同理，在面上的射影相同，是图形（4）. 故选：B 4．（2025·高一·广东梅州·期末）如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】画出的原图为直角三角形，且， 因为，所以，所以. 故选：B 5．（2025·高一·河北邯郸·开学考试）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解析】由俯视图得最底层有个小正方体，第二层最多有个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为个． 故选：B 6．（2025·高二·贵州黔南·开学考试）如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为其中轴，轴， 所以，由余弦定理得， ， 即，解得， 由斜二测画法知原为直角三角形，，， ， 所以周长为． 故选：A． 7．（2025·高一·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【解析】作出，如下图所示： 由题意可知，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：B 8．（2025·高一·安徽合肥·期末）用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：A 9．（2025·高一·河北秦皇岛·期中）如图，正方形的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（    ） A．8cm B．6cm C．cm D．cm 【答案】A 【解析】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是. 故选：A 10．（2025·高一·浙江杭州·期中）如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（    ）    A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【解析】由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形， 且，， 故原图的面积为：， 故选：A. 11．（多选题）（2025·高一·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【解析】对于AB：还原平面图如下图， 则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 12．（多选题）（2025·高一·河北邢台·月考）如图所示为四边形的平面图，其中，，，，用斜二测画法画出它的直观图四边形其中，则下列说法正确的是 （    ）    A． B． C．四边形为等腰梯形 D．四边形的周长为 【答案】BC 【解析】由题意可画出其直观图如下， 其中，故A错误，B正确； 过点分别作，垂足分别为点， 故， ，故， 则四边形为等腰梯形，故C正确； 故四边形的周长为，即D错误. 故选：BC 13．（多选题）（2025·高一·河南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的面积为 D． 【答案】BCD 【解析】由余弦定理，可得， 即，解得，（舍去），故A错误； 在直角梯形中，，， 由斜二测画法知，，故B正确； 因为直角梯形的面积为， 所以四边形的面积为，故C正确； 由斜二测画法可知，原图为直角梯形，其中， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 14．（2025·高一·四川绵阳·月考）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【解析】由已知得，， 所以原图形中，，且，如图， 因此原图形的面积为. 故答案为：. 15．（2025·高一·上海·期中）如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ． 【答案】 【解析】因为轴，所以的中，， 又三角形的面积为16，所以.∴， 所以. 如图作于， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 16．（2025·高二·安徽马鞍山·开学考试）一平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是 ．    【答案】8 【解析】根据斜二测画法还原图形，根据直观图可得正方形的对角线的长为， 所以原图形中对应线段的长度为. 如图所示： 所以原图形中平行四边形的一条边的边长为：. 所以周长为：. 故答案为：. 17．（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为 ． 【答案】4 【解析】根据题意，直观图中，轴，轴，且， 由斜二测画法，将直观图还原为原图， 如图所示， 则是直角三角形，其中，， 故的面积为． 故答案为：4． 18．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形； （2）在（1）中若轴且,求原平面图形的面积． 【解析】（1）画法：①画直角坐标系，在x轴上取，即； ②在题图中，过作轴，交轴于，在x轴上取，过D作 轴，并使； ③连接，则即为原来的图形，如图． （2）∵，∴. 又且， ∴,, ∴. 19．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 【解析】在直观图中，过点作，垂足为，如下图： 则在中，，，所以， 又四边形为矩形，， 所以，则， 由此可得， 又， 所以， 故这块菜地所产生的总经济效益是 (元). 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $