1.5角平分线（第二课时）教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.5角平分线（第二课时）

一、内容与内容解析

（一）教学内容

本节课选自北师大版《数学》八年级下册第一章《三角形的证明》第5节“角平分线”第二课时，核心内容是三角形三条角平分线的性质（相交于一点、该点到三边距离相等）、内心的定义，三角形内心与外心的差异辨析，以及角平分线性质、内心性质的综合应用，同步落实北师大版教材对三角形特殊“心”的探究要求。

（二）教学内容解析

本节课是第一课时角平分线性质与判定定理的延伸，是对三角形特殊线段（角平分线）共点性的系统探究，也是继外心之后三角形第二个重要“心”的学习。三角形的内心（三条角平分线交点）具备“到三边距离相等”的核心性质，是后续学习三角形内切圆、圆的切线性质、角平分线在作图与计算中综合应用的重要基础，同时为解决“到三角形三边距离相等的点”“三角形内接圆构造”等问题提供核心依据。

本节课延续“动手作图—猜想验证—演绎证明—应用拓展”的几何研究主线，核心内容包括：1. 三角形三条角平分线相交于一点的猜想与严谨证明；2. 内心的定义及性质（到三边距离相等）；3. 内心位置的特殊性（始终在三角形内部）；4. 内心与外心的概念、性质、位置差异辨析；5. 依托内心性质解决几何证明、距离计算、作图等综合问题。本节课强化学生的逻辑推理、分类对比能力，深化“转化与化归”“数形结合”“分类讨论”的数学思想。基于北师大版教材特点及教学需求，确定本节课的教学重点为：

教学重点：三角形三条角平分线相交于一点的证明；内心的定义与性质及应用；内心与外心的差异辨析；角平分线性质与内心性质的综合运用。

二、目标与目标解析

（一）教学目标

（1）能准确说出三角形三条角平分线的性质、内心的定义，明确内心的位置特征（三角形内部），掌握内心性质的文字语言、图形语言和符号语言表达，能清晰区分内心与外心的差异。

（2）能独立证明三角形三条角平分线相交于一点，理解内心性质的推导逻辑，熟练运用内心性质解决距离计算、线段相等证明等问题，推理过程规范且注明依据，贴合北师大版教材证明要求。

（3）能结合角平分线的性质、判定及内心性质，解决三角形内切圆作图、综合几何证明、距离

最值等问题，步骤完整、结果准确，提升知识综合运用能力。

（4）经历“动手作图—猜想共点—演绎证明—对比辨析—应用提升”的过程，培养动手作图能力、逻辑推理能力、几何建模能力与分类对比能力。

（5）通过小组合作探究、变式训练、差异辨析等活动，体会几何知识的关联性与应用性，落实北师大版教材“重视证明、强化综合”的教学理念，完善三角形特殊“心”的知识体系。

（二）教学目标解析

（1）学生能自主梳理三角形三条角平分线的共点性及内心性质，准确区分内心与外心的概念、性质、位置，辨析正确率达90%以上；能规范运用内心性质书写证明与计算过程，依据标注准确率达95%以上，符合北师大版教材几何表达要求。

（2）学生能通过动手作不同类型三角形的三条角平分线，猜想共点性，再借助角平分线的判定定理完成严谨证明；能理解内心性质与角平分线性质的内在关联，自主完成变式训练，实现知识迁移。

（3）学生能积极参与内心与外心的对比辨析、综合例题的探究讨论，主动分享解题思路与对比思考；在复杂几何问题中，能灵活运用内心性质与角平分线知识，养成规范表达、严谨推理的习惯，提升几何解题能力。

三、学生学情分析

（一）已有知识基础

八年级学生已熟练掌握角平分线的性质定理（点在线上→到两边距离相等）与判定定理（到两边距离相等→点在线上），能规范书写几何证明过程；已掌握基本作图技能（作角的平分线、作三角形），能独立作出三角形的三条角平分线；已学习三角形三边垂直平分线的共点性及外心性质，对“三角形特殊线段共点性”的探究模式、证明思路（先证两条线相交，再证交点在第三条线上）有初步认知；具备全等三角形、等腰三角形、直角三角形的相关知识，能借助这些知识解决基础几何问题，为本节课的学习奠定了坚实的知识与能力基础。

（二）认知发展特点

八年级学生已具备一定的抽象逻辑思维能力，能通过动手操作猜想几何结论，但对“三角形三条角平分线共点”的严谨证明仍需引导，容易忽略“交点到三边距离相等”向“交点在第三条角平分线上”的转化；能理解内心的基础性质，但对内心与外心的概念、性质、位置差异易混淆，缺乏系统对比的思维意识；能独立完成单一定理的简单应用，但对内心性质与角平分线、全等三角形知识的综合运用缺乏灵活性；几何语言表达虽较规范，但在多步证明、对比辨析中仍可能出现逻辑断层、依据

遗漏等问题。

（三）潜在学习困难

1.  证明思路局限：难以迁移外心共点性的证明思路，无法顺畅完成“三角形三条角平分线共点”的推导，对“先找两条角平分线交点，再证交点在第三条角平分线上”的逻辑链条理解不透彻。

2.  概念混淆：混淆内心与外心的核心性质（内心到三边距离相等，外心到三个顶点距离相等），忽略二者位置差异（内心恒在内部，外心位置随三角形形状变化），应用时易张冠李戴。

3.  综合应用薄弱：能理解内心的基础性质，但在复杂图形中，难以梳理内心与角平分线、垂线段、全等三角形的关联，无法灵活运用内心性质解决距离计算、线段相等证明等综合问题。

4.  作图规范不足：作三角形三条角平分线时，作图痕迹不清晰、步骤不规范，影响对共点性的直观感知；无法借助内心性质作出三角形的内切圆，缺乏作图与性质的关联意识。基于以上分析，确定本节课的教学难点如下：

教学难点：三角形三条角平分线相交于一点的逻辑证明；内心与外心的系统辨析与精准应用；内心性质与其他几何知识的综合运用。

四、教学策略分析

（一）教学方法

采用“作图探究法+对比辨析法”为主，结合“讲练结合法”“小组合作法”“例题引领法”开展教学，贴合北师大版教材教学逻辑。通过让学生动手作锐角、直角、钝角三角形的三条角平分线，直观感知共点性与内心位置特征，再引导学生迁移外心证明思路完成推导；以内心与外心的对比为核心，通过表格梳理、错题辨析强化差异认知；以北师大版教材核心例题为依托，拆解解题步骤、梳理思路，再设计变式训练强化迁移；组织小组合作探究共点性证明思路、内心与外心的差异、综合解题方法，提升学生协作能力；结合分层练习，落实基础应用与综合提升，契合北师大版教材“重视知识关联与综合应用”的理念。

（二）学习方法指导

引导学生采用“动手作图法”“合作探究法”“对比梳理法”“规范表达法”学习。鼓励学生通过动手作图获取直观结论，为证明铺垫感性认知；通过迁移外心共点性的证明思路，梳理角平分线共点性的推导逻辑，实现知识迁移；通过列表对比、错题辨析，明确内心与外心的差异，构建系统知识框架；在小组合作中交流证明思路、辨析易错点、探讨综合解题方法，相互启发完善推理；在解题中养成“先分析图形特征→再关联内心性质→最后规范书写过程”的习惯，强化逻辑严谨性。

（三）教学手段