精品解析：湖北省部分地区2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

2025-2026学年度第一学期期末学生学业质量评估 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，共30分． 1. “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列成语所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 不期而遇 C. 海枯石烂 D. 水中捞月 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、旭日东升，是必然事件，不符合题意； B、不期而遇，是随机事件，符合题意； C、海枯石烂，是不可能事件，不符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 若方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解的概念、正确计算是解题关键．把代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得，， 故选：A． 4. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项 B错误，不符合题意； 当时，，即该函数图象与轴交于点，故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 5. 若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟知若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 6. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 3秒 B. 6秒 C. 9秒 D. 10秒 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题意易得当汽车停止时，汽车所行驶的距离最远，进而把函数解析式配成顶点式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值为9，此时汽车已停止行驶， ∴汽车从刹车到停止所用的时间为3秒； 故选A． 7. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的求解，设点，表示出即可求解． 【详解】解：设点， 则， ∵的面积等于4， ∴ ∴ 故 故选：B 8. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及扇形面积公式，熟练掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键；由题意易得，然后根据扇形面积公式及割补法可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 9. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，过点E作交于点F，连接，则的长为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，可得，由此求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式(组)、二次函数图象与系数的关系，理解题意，灵活运用所学知识是解决此题的关键，由抛物线的开口方向以及抛物线与轴的交点可得,由题意知，抛物线的对称轴为直线,可得,进而可得，，即可判断①③，根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点为,将代入，得，即可判断②，根据抛物线的对称性可得此抛物线经过点,即抛物线与直线的交点的横坐标分别为和，结合图象可得不等式的解集，即可判断④． 【详解】解：抛物线的开口向下， , 抛物线的顶点为, 抛物线的对称轴为直线,即, ， 抛物线与轴的交点在轴的上方， , ,故①正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线,且抛物线经过点, 抛物线与轴的另一个交点为， 将代入,得,故②正确，满足题意； , ,故③正确，满足题意； 此抛物线经过点, 此抛物线经过点, 抛物线与直线的交点的横坐标分别为和， 如图，结合图象可知， 不等式的解集是,即不等式的解集是,故④正确，满足题意. 故正确结论的序号是①②③④， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，共15分． 11. 请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数时，y随x的增大而增大，选取适当的k值即可． 【详解】解：∵反比例函数在每一个象限内函数值y随x的增大而增大， ∴， 选取，则， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，垂足为，路面宽为，若圆的半径为，则隧道的最大高度______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．连接，先根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂足为，且， 是中的弦的中点， ∴， ∵的半径长为，则， 在中，， 则． 故答案为：9． 15. 点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，若，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质．等边三角形的判定与性质，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得，，，，则可判断为等腰直角三角形，所以，，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，；则，所以，可以判断点、、共线，得到为直角三角形，然后利用的面积进行计算，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ， ，，，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 点、、共线， 为直角三角形， 的面积 ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共75分． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 解：如图所示：，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：，即为所求；． 18. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 19. 某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条AB长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的，点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离． 解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明，得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：由题意知，四边形是矩形，， ． ． ． ， ． ． ． ． 这个凉亭的高度为 20. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：______（填“＜”“＝”或“＞”）； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）一次函数关系式为，反比例函数关系式为： （2）＝ （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后代入，求得n，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求得C、D的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数得，，解得， ∴反比例函数的解析式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由一次函数的解析式为可知，， ∴，， ∴， 故答案为：＝； 【小问3详解】 解：由图象可知：时的取值范围是或． 【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用． 21. 如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，先证出，得出，进而即可得证； （2）证出得出，再由勾股定理即可得出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ，，， ， ， ， 又点在上， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ，， ， ，， ， ， ． ， ， 在中，由勾股定理可得：． 【点晴】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 22. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为． （1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 【答案】（1）， （2）3米 （3）m 【解析】 【分析】（1）根据列得函数关系式，利用求出x值的取值范围； （2）利用（1）得到，求解即可； （3）将函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴； ∵， 即， 解得：， ∴x值的取值范围为：； 【小问2详解】 当时， 即， 解得：， ∵， ∴， 即的长是3米； 【小问3详解】 ， ∵，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，S取的最大值， ∴当的长是m时，围成的花圃面积最大． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求二次函数的解析式，最值问题，一元二次方程的应用，正确掌握各知识点是解题的关键． 23. 如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）①； ②证明： ∵， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②略 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为，（2）或．（3）当时，面积的最大值是，此时P点坐标为． 【解析】 【分析】（1）将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解； （2）先求出C点坐标和E点坐标，则，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则，②若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点M的坐标； （3）如图，作轴交直线于点G，设，则，可由，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过、两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵直线经过、两点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵， ∴抛物线的顶点C的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ①如图，若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ②如图，若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综合可得M点的坐标为或． （3）如图，作轴交直线于点G， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值是，此时P点坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学生学业质量评估 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，共30分． 1. “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件是随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 不期而遇 C. 海枯石烂 D. 水中捞月 3. 若方程有一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 关于二次函数图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 5. 若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6. 汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（ ） A. 3秒 B. 6秒 C. 9秒 D. 10秒 7. 如图，点P是反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，若的面积等于4，则k的值等于（ ） A. 8 B. C. 4 D. 8. 如图，内接于，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，过点E作交于点F，连接，则的长为 （ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：本大题共5小题，共15分． 11. 请写出在每一个象限内y随x增大而增大的反比例函数表达式：______． 12. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m． 14. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，垂足为，路面宽为，若圆的半径为，则隧道的最大高度______． 15. 点是以为斜边等腰直角三角形内一点，若，则的面积是_____． 三、解答题：本大题共9小题，共75分． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 18. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 19. 某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条AB长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的，点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离． 解决问题 利用得到数据求出凉亭的高度． 20. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一，第三象限分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）比较大小：______（填“＜”“＝”或“＞”）； （3）当时，请直接写出取值范围． 21. 如图，切于点，是直径，是上一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为． （1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围； （2）要围成面积为的花圃，的长是多少米？ （3）当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 23. 如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $