精品解析：辽宁省大连市辽宁师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

辽宁师范大学附属中学2025-2026学年上学期期末考试 高二数学试题 时间：120分钟总分：150分 第I卷选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，直线.若，则实数（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解. 【详解】因为，所以，得. 故选：D 2. 圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，由圆与直线相切得到圆的半径，然后写出直线方程. 【详解】点到直线的距离， 因为圆与直线相切，所以圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：B 3. 最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【详解】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D 4. 已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 5. 已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个平面的夹角公式，再利用两个平面的夹角，即可求得结果. 【详解】由向量与， 得， 又，则，所以平面，的夹角的大小为． 故选：C． 6. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】将甲乙和一个空位捆绑放置，再考虑余下辆车的停放方法后可得不同停放方法的总数. 【详解】先停放甲乙，共有停放方法，余下辆车，共有， 则共有种停法. 故选：B. 7. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理易得，，进而结合空间向量夹角公式求解即可. 【详解】以为基底，则，， 则， ， ， 所以， 则直线所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示可得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算可得，可求得离心率. 【详解】如下图： 由可得，即， 又，可得为的中点，故， 又，故为等边三角形， 设的边长为， 由双曲线定义可知，，， 所以，， 又，故，故， 在中，由余弦定理可得， 即，可得 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用向量数量积得出垂直关系，再由等边三角形性质以及双曲线定义，结合余弦定理计算可得离心率. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得，再依次判断选项即可． 【详解】由为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得， 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确． 故选：BCD 10. 在以下命题中，不正确的命题有（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点不共面 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，分，同向反向两种情况讨论即可判断； 对于B，举反例即可； 对于C，反证法即可求解； 对于D，利用四点共面的充要条件即可求解. 【详解】选项A：若，则，即， 化简得，即，所以，反向共线，当，共线时，不一定有，如，同向时就不成立，所以是，共线的充分不必要条件，A错误； 选项B：当，时，，但不存在实数，使，故B错误； 选项C：假设存在x，y，z，使得， 整理得. 因为为空间的一个基底，所以，，不共面，则， 解得，所以，，不共面，能构成空间的另一个基底，故C正确； 选项D：若P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使得，且， 已知，，所以P，A，B，C四点不共面. 故选：AB 11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时，平面 B. 对于任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及线面垂直的判定定理，判断选项A的正误；根据三棱锥的体积公式，判断选项B的正误；根据向量法求线面角，判断选项C的正误；根据正方体的性质，建立空间直角坐标系，根据空间向量数量积的坐标表示，判断选项D的正误；判断结果即可. 【详解】对A选项，当时，与重合，平面即平面， 根据三垂线定理可知， 因为，所以平面，所以A选项正确； 对B选项，由正方体性质可知，点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，但的面积是变化的， 所以对于任意，三棱锥的体积不是定值，所以B选项错误； 对C选项，以为坐标原点，以分别为轴建系，如图所示： 则，设， 所以，， 设面的法向量为， 则，即， 令，则，即面的法向量为， 设与平面所成的角为，则， 当时，可得， 化简得，解得或（舍）， 所以存在，使得与平面所成的角为，所以C选项正确； 对D选项，可知， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种. 【答案】64 【解析】 【分析】根据分步计数原理的应用即可求解. 【详解】由题意每个人都有4种选法，故不同的选法有种. 故答案为：64. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离的向量公式即可求解. 【详解】已知，，， 则，，， 所以点到直线的距离为： . 故答案为： 14. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则_______，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则_______ 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解． 【详解】由题，，所以． 如图， 连接，设内切圆半径为， 则，即， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解； （2）设，联立方程组，结合韦达定理及即可求解． 【小问1详解】 点为抛物线上一点，则① 且，根据抛物线的定义可得②， 由①②解得， 抛物线的标准方程为 【小问2详解】 不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q， 设，联立得，得， ，解得． 由韦达定理，得，， 又，③， 又两点P，Q在直线l：上， 故式子③，化简得：， 即， 把韦达定理代入，得， 即， 解得或， 直线l不过原点，， 故m的值为． 16. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， （1）求； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【小问1详解】 因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. 【小问2详解】 由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. 【小问3详解】 由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 17. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 （1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． （2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 【答案】（1）X的分布列为： X 0 1 2 P ，，； （2）的分布列为： 0 1 2 P ，，.【解析】 【分析】（1）由题设X可能取值为0，1，2，应用超几何分布的概率求法求出分布列，进而求期望和方差； （2）由题意，应用二项分布的概率求法求分布列，进而求期望和方差. 【小问1详解】 按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人， 所以X可能取值为0，1，2，，，， X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的期望为，； 【小问2详解】 由题意，则，，， 的分布列为： 0 1 2 P ，. 18. 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接， 由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点． 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面平面， 所以平面； （2） （3）不存在，理由如下： 假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取, 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的正切值为， 则只需，即， 解得，因为，故不满足题意， 所以不存在点使得平面与平面所成的二面角的正切值为 【解析】 【分析】（1）找平面外直线与平面内一条直线平行来证明线面平行，利用中点得到中位线从而构造平行四边形． （2）根据二面角的平面角确定点的空间坐标，建立空间直角坐标系，用向量法求平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角的余弦绝对值即得线面角的正弦值． （3）假设存在点并设参数表示坐标，分别求出两个平面的法向量，用法向量夹角余弦的平方等于二面角平面角余弦的平方建立方程，解出参数不在范围内判断不存在． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在图1中，且，在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 又因为平面，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则，则有，取 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于、两点，且. （i）是否存在定圆：，使得直线与圆相切.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由， （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）存在，；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义可得椭圆方程； （2）（i）当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时，可得点与的坐标，即可得，根据直线与圆相切，利用等面积法可得半径；当直线与斜率均存在时，可设，即可得，即可得，结合垂直可得，可得，再根据等面积法可得半径；（ii）根据，可知当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时，；当直线与斜率均存在时，可得，设，，则，结合二次函数性质可得取值范围. 【小问1详解】 由已知，，点， 则，， 则， 又点在椭圆上，所以，，则， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时， 由椭圆的对称性不妨设，， 则，，， 又直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 则由可知，即， 解得； 当直线与斜率均存在时， 不妨设，则，得，则， 则，同理可得， 则， 则， 则， 即； 综上所述，存在，使圆与直线相切； （ii）由（i）得，当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时， 则，， 此时； 当直线与斜率均存在时， ，， 则， 设，， 则， 又， 所以， 即， 综上所述. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁师范大学附属中学2025-2026学年上学期期末考试 高二数学试题 时间：120分钟总分：150分 第I卷选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，直线.若，则实数（ ） A. B. C. D. 3 2. 圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法?（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 10 7. 在平行六面体中，，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ） A. B. C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为两个相互独立的随机事件，且，下列命题中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在以下命题中，不正确的命题有（ ） A. 是，共线的充要条件 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 D. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点不共面 11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（ ） A. 当时，平面 B. 对于任意，三棱锥的体积是定值 C. 存在，使得与平面所成的角为 D. 的取值范围为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线的距离为______. 14. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若椭圆是“黄金椭圆”，则_______，若“黄金椭圆”两个焦点分别为，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值． 16. 已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， （1）求； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数最大的项． 17. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 （1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． （2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 18. 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于、两点，且. （i）是否存在定圆：，使得直线与圆相切.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由， （ii）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $