第24章 圆 期末复习知识点 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 1.圆的定义 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 集合定义：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【备注】不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。（区分：优弧 劣弧） 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 A B O C AB，AC是弦 为优弧 劣弧． AB是直径． 3.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 添加辅助线【与弦有关作垂径】【弧中点连圆心】 知二推三 ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB； ③CD平分AB； ④=； ⑤= 4 4.圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 A B O 5.圆角角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等． （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径． 6.圆内接四边形 圆的内接四边形定理： 圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 【拓展补充】托勒密定理：AB·CD+ AD·BC= AC·BD 7.点和圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种． 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r； ③点P在圆内⇔d＜r． O P r d O P r d O P r d 8.直线和圆的位置关系 9.切线的性质与判定 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 添加辅助线【遇切线连切点】 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 作垂直 连接 10.切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 符号语言: 补充：圆幂定理 11.三角形内切圆与外接圆 外心【垂直平分线交点】 OA=OB=OC 求r：正弦定理 内心【角平分线交点】 IE=IF=IG r =2S\L (等面积法) 直角三角形中 12.圆和圆的位置关系 13.正多边形与圆的有关概念 【画正多边形——尺规作图】把圆分成n（n≥3）等份． （1）依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形． 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且这两个圆是同心圆． O O O O 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 教材P109 第8题 8.把圆分成 n (n≥3) 等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正 n 边形. 如图，⊙O 的半径是 R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长. R 2R R 正多边形的有关概念 （1）中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． （2）半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． （3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． （4）边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距． 正多边形的有关计算 14.弧长和扇形面积 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 弧长公式 扇形面积公式 弓形的面积公式 O O S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 15.圆锥相关公式 圆锥的高 母线 r S A O B h r2+h2=l2 S圆锥侧＝πrl. S 圆锥全＝ S圆锥侧+ S圆锥底 ＝ πrl+πr2 ①其侧面展开图扇形的半径=母线的长l ②侧面展开图扇形的弧长=底面周长 $