专题04 圆的性质定理 6大高频考点（期末真题汇编，云南专用）九年级数学上学期

专题04 圆的性质定理 6大高频考点概览 一、考点01 利用垂径定理求值 二、考点02 圆周角定理 三、考点03 半圆（直径）所对圆周角是直角 四、考点04 圆内接四边形求角度 五、考点05 判断点与圆的位置关系 六、考点06 应用切线长定理求值 地 城 考点01 利用垂径定理求值 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知的半径为是内一点，是线段上的一个动点，则经过点的弦中，最短弦的长度为（　　） A．5 B．8 C．10 D．16 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·云南玉溪·期末） 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，则最大深度的长为（       ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，的半径为5，弦，于点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 7．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 8．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·云南昆明·期末）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 地 城 考点02 圆周角定理 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点A、B、C都在上，若，则∠B的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，为圆心，点在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是的直径，是上的一点．若，则（  ） A． B． C． D． 14．（19-20九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，，是上直径两侧的两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 17．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级下·新疆阿克苏·期末）如图，点A，B，C在上，，则的度数为 ． 地 城 考点03 半圆（直径）所对圆周角是直角 19．（2025·山东青岛·一模）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．（2023·海南海口·三模）如图，是的直径，若，则 ．    地 城 考点04 圆内接四边形求角度 21．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，点、、是上三点，，则等于（   ） A． B． C． D． 26．（2024·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 判断点与圆的位置关系 27．（24-25九年级上·云南普洱·期末）的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 28．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知与点在同一平面内，如果的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在上 B．在内 C．在外 D．无法确定 29．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知的直径为10，点P在内，则的长可能是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 31．（17-18九年级上·山东日照·单元测试）已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 地 城 考点06 应用切线长定理求值 32．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，，切于点，，直线切于点，交于点，交于点，若的周长是，则的长为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，点是外任意一点，分别是的切线，是切点．设与交于点．则点是的（　　） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 34．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，的内切圆分别与相切于点D，E，F，且，，，则的周长为 ． 35．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧在的内部交于点；作射线．给出下列结论： ①； ②射线一定过点； ③三条边的中线一定过点； ④三条边的垂直平分线一定过点． 其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 36．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 试卷第2页，共10页 试卷第2页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的性质定理 6大高频考点概览 一、考点01 利用垂径定理求值 二、考点02 圆周角定理 三、考点03 半圆（直径）所对圆周角是直角 四、考点04 圆内接四边形求角度 五、考点05 判断点与圆的位置关系 六、考点06 应用切线长定理求值 地 城 考点01 利用垂径定理求值 1．（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知的半径为是内一点，是线段上的一个动点，则经过点的弦中，最短弦的长度为（　　） A．5 B．8 C．10 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，过点N作，可知，由勾股定理得，可知越大，越小，即弦越短，当点N与点M重合时，最小，即，可得答案． 【详解】解：如图所示，点N作， ∴， 根据勾股定理得， ∴越大，越小，即弦越短． 当点N与点M重合时，最小， 即， ∴最短的弦为． 故选：D． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键． 先根据垂径定理求出，即可解答． 【详解】解：∵是的直径，． ， ， 故选：D． 3．（24-25九年级上·云南玉溪·期末） 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，则最大深度的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由题意可得：，根据垂径定理得，再由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意可得：， ， ， ， ， 故选：C． 4．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，的半径为5，弦，于点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长 【详解】解：点C是的中点， ⊙O的半径为5，弦， 在中 故选C 5．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接交于点D， 由题意得，，则， 设圆的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 则该铁球的直径为， 故选：D． 6．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得出根据勾股定理求出，进一步可求出的长． 【详解】解：∵ ∴点为的中点， ∵ ∴， 由勾股定理得， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答本题的关键 7．（24-25九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理，得到，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 8．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，在中，半径长为，圆心到弦的距离，则弦的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理与勾股定理．由勾股定理即可求得的长，然后由垂径定理求得的长． 【详解】解：依题意，，，，由勾股定理得： ， ， ， 故选：C． 9．（24-25九年级上·云南昆明·期末）有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 【答案】8.9m 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 连接，设拱桥所在圆的半径，则，由垂径定理可得，在，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 由题意知：，，设拱桥所在圆的半径，则． 是半径，且 在中， ， 解得：， 答：此桥拱所在圆的半径为8.9m． 地 城 考点02 圆周角定理 10．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点A、B、C都在上，若，则∠B的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 根据圆周角定理计算即可得解． 【详解】解：∵与所对的弧是同弧， ∴， 故选：C． 11．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，为圆心，点在上，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理， 根据圆周角定理解答，即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 12．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 故选：B． 13．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，是的直径，是上的一点．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 14．（19-20九年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理和垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理的应用． 连接，由垂径定理及圆心角定理可得，再利用圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 15．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，，是上直径两侧的两点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，由是直径求出是解题的关键；由是的直径可得，由可知，再根据圆周角定理可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 16．（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 17．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理解答即可. 【详解】解：∵， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键. 18．（23-24九年级下·新疆阿克苏·期末）如图，点A，B，C在上，，则的度数为 ． 【答案】110 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键． 根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ， 故答案为：110． 地 城 考点03 半圆（直径）所对圆周角是直角 19．（2025·山东青岛·一模）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 20．（2023·海南海口·三模）如图，是的直径，若，则 ．    【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，连接，由圆周角定理可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，   ， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点04 圆内接四边形求角度 21．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出的度数和． 根据内接四边形的性质得出的度数，再由点是的中点，得出，最后利用等腰三角形的性质得出结果． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A 22．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：四边形内接于，， ∴， 故选：B． 23．（24-25九年级上·云南楚雄·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形对角互补得到，根据圆周角定理即可得到的度数． 本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 24．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 25．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，点、、是上三点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；在上取一点E，连接，根据圆周角定理可求，再根据圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，在上取一点E，连接， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 故选：B． 26．（2024·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 地 城 考点05 判断点与圆的位置关系 27．（24-25九年级上·云南普洱·期末）的半径为，点到圆心的距离，则点与的位置关系为（   ） A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系．通过比较点到圆心的距离和圆的半径大小，来判断点与圆的位置关系． 【详解】解：设圆的半径为，点到圆心的距离为． 已知， 因为． 根据点与圆的位置关系：当时，点在圆内， 所以点在内． 故选：C． 28．（24-25九年级上·云南昆明·期末）已知与点在同一平面内，如果的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在上 B．在内 C．在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外，则；点P在圆上，则；点P在圆内，则．直接根据点与圆的位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径是5，线段的长为4，即点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：B． 29．（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知点是外一点，且的半径为，则的长可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可对各选项进行判断． 【详解】解：点是外一点， ， 的长可能为， 故选：D． 30．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知的直径为10，点P在内，则的长可能是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系， 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此可得答案． 【详解】解：∵的直径为10， ∴的半径为5， ∵点P在内， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选A． 31．（17-18九年级上·山东日照·单元测试）已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系． 【详解】解：的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4， ， 点P与的位置关系是：点在圆外． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 地 城 考点06 应用切线长定理求值 32．（24-25九年级上·云南大理·期末）如图，，切于点，，直线切于点，交于点，交于点，若的周长是，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，由题意得，，，再结合的周长是，即可求出的长． 【详解】解：，切于点，， ， 又直线切于点，交于点，交于点， ，， 的周长是， ， ， ． 故选：A． 33．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，点是外任意一点，分别是的切线，是切点．设与交于点．则点是的（　　） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】本题考查了了切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，圆周角定理，连接，由切线长定理得，，然后证明垂直平分，则有，，由全等三角形的性质可得，，再通过角度和差得，再由圆周角定理可得，最后得出，根据内心的定义即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的切线， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的内心， 故选：． 34．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，的内切圆分别与相切于点D，E，F，且，，，则的周长为 ． 【答案】36 【分析】 本题主要考查三角形了内切圆及切线长定理等知识点，由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案，灵活运用切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长， 故答案为：36 ． 35．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧在的内部交于点；作射线．给出下列结论： ①； ②射线一定过点； ③三条边的中线一定过点； ④三条边的垂直平分线一定过点． 其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，内心和外心的性质， 根据尺规作图的过程可知平分，再根据是的内切圆可得圆心O是三条角平分线的交点，可判断①②③；然后根据是的外接可得圆心O是三条边垂直平分线的交点，可判断④． 【详解】解：根据尺规作图的过程可知平分， ∴平分， ∴． 则①正确； ∵是的内切圆， ∴圆心O是三条角平分线的交点， ∴射线一定过点O． 则②正确，③不正确； ∵是的外接圆， ∴圆心O是三条边垂直平分线的交点， 所以④正确． 正确的有①②④． 故选：C． 36．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接、、，，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，， 【详解】解：连结接、、，，，，设半径为，   ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径． 试卷第4页，共24页 试卷第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $