精品解析：黑龙江省鸡西市鸡冠区2026届高三上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度上学期高三期末考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合，常用逻辑用语与不等式，函数的概念与基本初等函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何与空间向量. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 4. 在中，点D为边上一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 10. 已知向量是平面的一个法向量，是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，两点的坐标分别为，，且点在平面内，则（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则的图象关于直线对称 B. 若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C. 若是偶函数，则的图象关于直线对称 D. 若是奇函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，，若，则______. 13. 若，，则___________. 14. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求AD的长． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，在梯形中，E是中点，，，，连接，将沿折起使A点至P点处，得四棱锥，且，点M为棱上的一点． （1）若O是的中点，求证：平面； （2）若直线与直线所成的角为，求的值； （3）若M是的中点，求二面角的正弦值． 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期高三期末考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合，常用逻辑用语与不等式，函数的概念与基本初等函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何与空间向量. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，所以． 故选：B． 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算可化简得到，由虚部定义可得结果. 【详解】，的虚部为. 故选：A. 3. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由函数是幂函数解得或，再检验即可. 【详解】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，. 故选：C. 4. 在中，点D为边上一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算进行计算可得结果. 【详解】因为，所以， 则 ． 故选：B． 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 观星台是我国现存最古老的天文台，包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高米，台下正四边形边长米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积公式与下底边长的范围求得正四棱台体积的范围即可判断. 【详解】设正四棱台的下底面边长为，高为，则上底面边长近似为，，； 所以正四棱台的体积，解得. 故选：D. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，并通过导数分析函数的单调性，再将转化为，进而得到求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， ，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，故在上单调递增， 又， 所以时，，即，所以在上单调递增； 所以不等式， 所以，或. 解得. 即实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则得且，由，利用基本不等式推得，解不等式即得. 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（ ） A. B. 为单调递增数列 C. 使的n的最小值为18 D. 当且仅当时，最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 10. 已知向量是平面的一个法向量，是空间直角坐标系Oxyz的坐标原点，两点的坐标分别为，，且点在平面内，则（ ） A. B. 直线与平面平行 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间中两点的距离公式计算即可判断选项A；利用直线的方向向量和平面法向量的关系可以判断选项B；利用直线的方向向量与平面的法向量的关系求解夹角正弦值进而判断选项C；利用空间中点到平面的距离公式求解即可判断选项D. 【详解】对于A：因为两点的坐标分别为，， 所以，故A正确； 对于B：由题意知，平面的一个法向量为， 则，故和不垂直， 所以直线与平面不平行，故B错误； 对于C：设直线与平面所成角为， 因为，平面的一个法向量为， 所以，故C正确； 对于D：由题意知两点的坐标分别为，，则， 平面的一个法向量为，由空间中点到面的距离公式可得到平面的距离,故D正确， 故选： 11. 设均是定义在上的函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则的图象关于直线对称 B. 若是最小正周期为1的函数，则是最小正周期为3的函数 C. 若是偶函数，则的图象关于直线对称 D. 若是奇函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由是偶函数可得，由此可判断A；对于B，由题干可知是最小正周期为1的函数，由此可判断B；对于C，类似于A，由是偶函数可得，由此可判断C；对于D，由是奇函数可得，因此的图象关于点对称，由此可判断D. 【详解】对于A，因为是偶函数，所以， 所以，即的图象关于直线对称，故A错误； 对于B，因为是最小正周期为1的函数，所以是最小正周期为1的函数， 设的最小正周期为，由，得，故B正确； 对于C，由，得， 又是偶函数，所以， 所以，则的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，由C项可知，， 因为是奇函数，所以，即， 则，所以， 因此的图象关于点对称，且， 所以 ，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量垂直得出，再由坐标运算及模长公式计算求解. 【详解】由，得，解得. 则，. 故答案为：. 13. 若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合二倍角公式可得，解方程可求，再结合的范围排除增解可得结论. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以或， 因为，所以，故， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_____． 【答案】## 【解析】 【分析】构造利用导数可得当时，，由基本不等式可得，当时，等号成立，故由可知，即得. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当两个不等式等号同时成立时， 即等号成立，得 故答案为： 【点睛】关键点点睛，本题由的最小值为，，故，进而确定，进而可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递增区间：，单调递减区间为：. 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据可求得； （2）由（1）可知的解析式，化成的形式，根据复合函数单调区间的求法，可求得的单调区间. 【小问1详解】 因为函数，且，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，所以， 所以. 令，显然是增函数. 因为当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 所以当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. 所以函数的单调递增区间为：， 单调递减减区间为：. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若，求AD的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边角互化及和角的正弦化简即得. （2）由（1）的结论，利用向量的线性运算及数量积的运算律列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，因此， 所以. 【小问2详解】 由，得，则， 即，两边平方得， 由（1）知，又，则，又， 因此，解得， 所以AD的长为. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系，推出的递推关系，从而判定是等比数列，进而求得通项公式； （2）求出的通项公式，利用裂项相消法求前n项和. 【小问1详解】 在中，令，得，解得. 由，得， 两式相减，得，即. 所以数列是首项为2，公比为4的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由，得 ， 所以. 18. 如图，在梯形中，E是中点，，，，连接，将沿折起使A点至P点处，得四棱锥，且，点M为棱上的一点． （1）若O是的中点，求证：平面； （2）若直线与直线所成的角为，求的值； （3）若M是的中点，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，可通过证明面面垂直得到，即证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，根据已知条件将各个点的坐标表示出来，设，然后利用异面直线的夹角求出，即是结果. （3）求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值，进而求出正弦值. 【小问1详解】 证明：因为在梯形中，E是中点， ，，， 所以四边形是正方形，，， 将沿折起使A点至P点处，有，， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，O是中点，所以， 又平面，平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 以O为坐标原点，，所在直线分别为y轴，z轴，以过O与平行的直线为x轴， 建立如图所示的空间坐标系． 由（1）可得， 则，，，，，． ，，， 设， 有， 因为直线与直线所成的角为， 所以，所以，所以， 又，所以，所以． 【小问3详解】 由（2）知，， 的中点，， 设平面的法向量为， 则，取，则． 同理可求得平面的一个法向量， ，又二面角的范围是， 故二面角的正弦值． 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 【答案】（1）； （2） 当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. （3）证明：， 要使由两个极值点，则至少有两个零点. 当时，只有1个零点，不符合题意； 当时，， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则极大值 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 由图像可得，当且仅当时，与有两个交点，设其横坐标从左到右分别为，则有两个零点， 且当时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为，符合题意. 由题意，令， 则，则，， ， 设，则， 则单调递增，则，即，所以， 所以， 即成立. 【解析】 【分析】（1）代入，求导，求出，由导数的几何意义得到切线方程； （2）先讨论与，再讨论时，设，转化为与图像交点个数，对求导研究其单调性、图像，数形结合讨论零点个数； （3）函数的极值点个数，转化为与交点个数，方法同（2），注意验证；利用差值代换，由表示出再构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 令，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当当时，，单调递减， 则极大值，极小值， 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 则当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $