精品解析：福建省福州第十九中学2025-2026学年上学期1月份校本练习八年级数学试题

福州第十九中学2025-2026学年第一学期1月份校本练习 八年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分；在给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 下列代数式中，是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，而是整式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； B．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； C．的分母含字母，是分式，故符合题意； D．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； 故选C． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除法运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法相加减，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的乘除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：． 故选：C． 4. 如图，，若，，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得，再由计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在平行四边形中，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 6. 下列式子从左到右，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：A、分式分子分母同时加1，该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意； B、分式分子分母同时乘以，可能，原变形错误，故本选项不符合题意； C、分子分母都除以（），分式的值不变，原变形正确，故此选项符合题意． D、分式分子分母分别乘以不同的数，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求三角形周长，涉及中垂线性质和三角形周长等知识，根据中垂线性质得到，再由的周长为，即可得到答案，掌握中垂线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线，， ， 的周长为， ， 的周长， 故选：A． 8. 下列各项中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：A、两项都是相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、中两项有相反项，有相同项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、中两项都是相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、中两项都是相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 9. 已知，则（ ） A. 2025 B. C. D. 5050 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质，正确掌握二次根式的意义和性质是解题的关键．根据二次根式的被开方数非负性，确定x的值，进而求出y的值，代入所求表达式即可求解． 【详解】解：由和的被开方数非负性，得， 解得：， 将代入原方程，得， ， 将和代入，得， 故选：B． 10. 已知，，若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算．逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答． 【详解】解：∵， 依题意得：，． ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其厚度仅，将数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系xOy中，点A(2，﹣3)关于x轴对称的点B的坐标是______. 【答案】（2，3） 【解析】 【分析】一个点关于x轴的对称点横坐标不变，纵坐标变为相反数． 【详解】在平面直角坐标系xOy中，点A（2，－3）关于x轴对称的点B的坐标是（2，3）， 故答案为：（2，3）． 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 13. 如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在、处，若，则_____________°． 【答案】105 【解析】 【分析】先根据∠1+∠2＝150°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵∠1+∠2＝150°， ∴∠AMN+∠DNM＝（360°-150°）÷2＝105°． ∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°， ∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°， ∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝105°． 故答案为：105． 【点睛】本题考查轴对称的性质和多边形的内角和定理等知识点，掌握轴对称的对应角相等的性质是基础；利用四边形的内角和等于360°的性质是解题的关键． 14. 关于的分式方程无解，则的取值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：， 由分式方程无解，得x+1=0，即x=-1， 把x=-1代入得：， 解得：m=0， 故答案为：m=0． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，理解分式方程的增根产生的原因是解题的关键． 15. 已知则的值为 _____． 【答案】4或8 【解析】 【分析】先求出x2或x3，由x2得x＝1，即可得；由x3得：，即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴（x2）（x3）＝0， ∴x2或x3， ①由x2得， ∴， ∴x＝1， 把x＝1代入得：； ②由x3得：， ∴， 综上所述，的值是4或8． 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查分式变形求值，解题的关键是观察已知与所求式子特点，求出x2或x3． 16. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是_________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可． 【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，． ∴． ∴． 故①正确； ∵， ∴． ∴． ∴． 故②正确； ∵，， ∴． 即． ∴． ∴． 故③正确； ∵点A是线段的中点， ∴． 即． ∴． ∴． ∴． 故④不正确； 故答案是①②③． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简绝对值，计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得． 【详解】原式＝ =， 当时， 原式. 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20. 已知：如图，，，是的角平分线．求证：． 【答案】 证明：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、含角的直角三角形，熟记角平分线的性质、在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，在中，，可得，从而结论即可得证． 【详解】略 21. 请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图：不写画法，保留作图痕迹． （1）如图1，将四边形纸片折叠一次，边恰好落在直线上，请作出折痕； （2）如图2，已知，点在边上，请在边上找一点，使得. 【答案】 （1）如图，即为所作折痕l： （2）点Q即为所作图形： 【解析】 【分析】（1）若要边恰好落在直线上，只要作出直线AB和直线CD的对称轴即可； （2）作点P关于AC的对称点P1，连接BP1与AC交于点Q即可. 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了尺规作图—复杂作图，涉及到作角平分线，作垂线，解题的关键是了解轴对称的性质. 22. 周口港是沙颍河上的重要港口，是河南第一大港，被誉为“长江以北内河第一大港”．年月开通了至连云港的国内集装箱航线，已知该航线上，两港之间的距离为千米，河水流速为千米/时． （1）有一货船从港顺流航行到港所用的时间是从港逆流航行到港所用时间的，求该货船在静水中的航行速度； （2）记某船在静水中的航行速度是千米/时，从港顺流航行到港，再从港逆流航行返回到港所用的时间________，若该船从港航行到港再返回到港均为静水航行，所用时间为_________．判断与的大小关系为，______（填“”，“”，“”）． 【答案】（1）千米/时 （2）；； 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，列代数式：分式的加减运算， （1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，根据“货船从港顺流航行到港所用的时间是从港逆流航行到港所用时间的”列出分式方程求解即可； （2）设轮船在静水中的速度为千米/时，由题意知，，比较与的大小即可； 解题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． 【小问1详解】 解：设该货船在静水中的航行速度为千米/时， 由题意可得：， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意． 答：该货船在静水中的航行速度千米/时； 【小问2详解】 设轮船在静水中的速度为千米/时， 则，， ∵ ， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：；；． 23. 阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： （1）与___________互为有理化因式； （2）比大小：___________（直接填或中的一种）； （3）已知是正整数，，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查有理化因式的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据有理化因式的定义，进行求解即可； （2）逆用有理化因式，进行判断即可； （3）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【小问1详解】 解： 与互为有理化因式； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 24. 填空及解答： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为的小正方形，请借助图1来验证勾股定理． 证明：由等面积法知： ___________ ___________，得证． （2）应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图2，在数轴上找出表示2的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是___________． 应用场景2——解决实际问题． 如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1）， （2）应用场景1：；应用场景2： 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）结合图形可知得到； （2）应用场景1：根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； 应用场景2：设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：由等面积法知：， ∴， ∴，得证． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：应用场景1：在中， ∵， ∴， ∴点E表示的数是， 故答案为：； 应用场景2：∵，， ∴， 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得：． 答：绳索的长为． 25. 在中，，以线段为腰在线段一侧作等腰三角形（点与点不在线段的同一侧），连接，过点作交于点． （1）如图1，若，，且，连接，求线段的长度； （2）如图2，若，在上取点，若，求证：； （3）如图3，若，，，点在射线上，点在射线上，且，连接，当最小时，直接写出最小值的平方． 【答案】（1） （2） 证明：如图1， 作于G，作，交的延长线于点H， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵三角形是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）可推出，，，再根据勾股定理得出结果； （2）作于G，作，交的延长线于点H，可证得，从而，进而证得，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）作，截取，连接，交于，作于T，作于R，可证得，从而，从而，当点P在处时，最小，最小值为的长，再由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等腰三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2， 作，截取，连接，交于，作于T，作于R， ∴，是等边三角形，，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在处时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 即最小值的平方为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2025-2026学年第一学期1月份校本练习 八年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分；在给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 下列代数式中，是分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在平行四边形中，若，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 下列式子从左到右，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（　　） A. B. C. D. 8. 下列各项中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则（ ） A. 2025 B. C. D. 5050 10. 已知，，若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 1 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其厚度仅，将数据用科学记数法表示为_______． 12. 在平面直角坐标系xOy中，点A(2，﹣3)关于x轴对称的点B的坐标是______. 13. 如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在、处，若，则_____________°． 14. 关于的分式方程无解，则的取值是_______． 15. 已知则的值为 _____． 16. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是_________ 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 已知：如图，，，是的角平分线．求证：． 21. 请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图：不写画法，保留作图痕迹． （1）如图1，将四边形纸片折叠一次，边恰好落在直线上，请作出折痕； （2）如图2，已知，点在边上，请在边上找一点，使得. 22. 周口港是沙颍河上的重要港口，是河南第一大港，被誉为“长江以北内河第一大港”．年月开通了至连云港的国内集装箱航线，已知该航线上，两港之间的距离为千米，河水流速为千米/时． （1）有一货船从港顺流航行到港所用的时间是从港逆流航行到港所用时间的，求该货船在静水中的航行速度； （2）记某船在静水中的航行速度是千米/时，从港顺流航行到港，再从港逆流航行返回到港所用的时间________，若该船从港航行到港再返回到港均为静水航行，所用时间为_________．判断与的大小关系为，______（填“”，“”，“”）． 23. 阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： （1）与___________互为有理化因式； （2）比大小：___________（直接填或中的一种）； （3）已知是正整数，，求． 24. 填空及解答： 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为的小正方形，请借助图1来验证勾股定理． 证明：由等面积法知： ___________ ___________，得证． （2）应用勾股定理 应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图2，在数轴上找出表示2的点，过点作直线垂直于数轴，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是___________． 应用场景2——解决实际问题． 如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 25. 在中，，以线段为腰在线段一侧作等腰三角形（点与点不在线段的同一侧），连接，过点作交于点． （1）如图1，若，，且，连接，求线段的长度； （2）如图2，若，在上取点，若，求证：； （3）如图3，若，，，点在射线上，点在射线上，且，连接，当最小时，直接写出最小值的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $