精品解析：内蒙古赤峰市红山区2025-2026学年高二上学期期末学情监测数学试题

红山区2025-2026学年度第一学期期末学情监测 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修一、必修二、选修一、选修二第四章数列 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】根据存在量词命题否定的结构形式可得正确的选项. 【分析】命题：“，”为存在量词命题， 故其否定为：，， 故选：B. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得的坐标，由即可得的值，结合充分必要条件判断即可. 【详解】因为向量，，则， 若，则，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知复数的共轭复数是，满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】首先化简复数，再求，根据复数的几何意义，即可判断选项. 【详解】由题意可知，， 所以，则在复平面内对应的点为，在第二象限. 故选：B 4. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，将化为，进而由基本不等式可得结果. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当即，时，有最小值. 故选：B. 5. 一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先求得点关于直线的对称点，再设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由题意知切线的斜率存在，设直线方程为：，即， 由，可得，半径， 则圆心到切线的距离等于半径，即， 整理得：，解得或. 故选：B. 6. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即.  根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可分割成上下两部分来求，于是只需求的纵坐标，设出直线方程，联立抛物线，结合题干条件进行求解. 【详解】显然直线的斜率非零，可设，联立抛物线可得， 设，且不妨设在轴上方，即， 由题知，，又，即， 故，根据韦达定理，，解得， 于是. 故选：C 8. 某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距8km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段AB的中点O为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，利用即可求出点C的轨迹方程，即可求出这个三角形信号覆盖区域的最大面积. 【详解】以点A，B，C分别表示甲、乙、丙三地，以线段AB的中点O为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（－4，0），B（4，0），设点C（x，y），则，即， 整理可得， ∴点C的轨迹是以点（8，0）为圆心，为半径的圆， ∴． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案. 【详解】样本空间为． 因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 因为，所以事件与事件为对立事件，故正确； 因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确； 因为，所以，故D错误． 故选：BC. 10. 已知定义在上的函数满足：对任意，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC；令判断奇偶性，根据，结合已知判断单调性，然后可判断BD. 【详解】对于A，令，得，令，得，故A正确； 对于C，令，则，故C错误； 对于BD，令，得，故为偶函数； ，则， 因为，所以，所以， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，故B正确，D错误． 故选：AB． 11. 已知首项为正数的等比数列的公比为，曲线，则下列叙述正确的有（ ） A. ，为圆 B. ，离心率为2 C. ，为椭圆 D. ，为共渐近线的双曲线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据曲线的方程，结合圆、椭圆、双曲线的标准方程逐项判断即可得出答案. 【详解】解：对于A，当时，，曲线， 又因为， 所以曲线表示圆，故正确； 对于B，当时，，曲线， 所以曲线表示焦点在轴或轴()上的等轴双曲线， 所以离心率为，故错误； 对于C，当时，由A可知曲线表示圆，故错误； 对于D，当时，， 当为奇数时，， 曲线表示焦点在轴上的双曲线， 其渐近线方程为， 当为偶数时，， 曲线表示焦点在轴上的双曲线， 其渐近线方程为，故正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则______________________（用来表示） 【答案】 【解析】 【分析】由及及，即可化简求解. 【详解】由， 故答案为：. 13. 已知中，已知，的面积，则边长的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得，然后利用余弦定理即得. 【详解】设中三角所对边为，则， ∵， ∴， 由余弦定理可得，， 解得，即. 故答案为：5. 14. 双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由点在渐近线上可求得，再根据双曲线的性质计算离心率即可. 【详解】由点在双曲线的一条渐近线上，可得， 记坐标原点为，则，即． 因为，所以，故双曲线的离心率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，每小题5分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆及直线.直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线的一般式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心到直线的距离，结合垂径定理可得解； （2）易知点在圆外，当切线斜率存在时，设切线方程为，根据直线与圆相切，可得，又当斜率不存在时，直线与圆相切成立. 【小问1详解】 由已知圆， 即圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为， 解得或（舍）； 【小问2详解】 由（1）得， 则圆，圆心，半径， 则点在圆外， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 此时，解得， 则直线方程为，即； 当切线斜率不存在时，直线方程为，此时满足直线与圆相切， 综上所述，切线方程为或. 16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值； （2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值； （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可 【详解】（1）由，解得. （2）这组数据的平均数为. 中位数设为，则，解得. （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为， 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件， 从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，， 所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形，则. 因为平面平面，所以， 又因为平面，且，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用两个向量的夹角公式求解即可； （3）不妨设则设出的坐标，利用向量求线面所成的角的正弦值得出的坐标，然后求解点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，而 所以，令，则. 设平面的一个法向量为，而， 所以，令，则， 记平面与平面的夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，不妨设则 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线CM与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0． 【答案】（1） （2）设，由得 所以，即． 因为两点异于点，所以，所以， 又， 所以 ， 将代入上式， 得． 所以直线的斜率之和为0． 【解析】 【分析】（1）分析焦点三角形，结合焦点三角形的面积，得出的关系即可求解； （2）联立直线和椭圆，设出，利用韦达定理，斜率公式表示出然后运算求解. 【小问1详解】 由题意，得，其中， 因为，的面积为， 所以，解得， 所以， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【答案】（1） 因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. （2）①； ②由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 【解析】 【分析】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断； （2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红山区2025-2026学年度第一学期期末学情监测 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修一、必修二、选修一、选修二第四章数列 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数的共轭复数是，满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 某公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距8km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件是对立事件 C. 事件与事件相互独立 D. 10. 已知定义在上的函数满足：对任意，当时，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知首项为正数的等比数列的公比为，曲线，则下列叙述正确的有（ ） A. ，为圆 B. ，离心率为2 C. ，为椭圆 D. ，为共渐近线的双曲线 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则______________________（用来表示） 13. 已知中，已知，的面积，则边长的值为_____． 14. 双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，每小题5分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆及直线.直线被圆截得的弦长为. （1）求的值； （2）求过点并与圆相切的切线的一般式方程. 16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 17. 如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0． 19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. （1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； （2）已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $