精品解析：天津市红桥区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

天津市红桥区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第6页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上．答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，关键是理解轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：“古”字沿中间竖直线对折后，左右两部分能够完全重合，因此是轴对称图形；“韵”“国”“风”沿任意直线对折后，两侧部分均无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：A． 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负是解题的关键．根据被开方数非负列不等式，求解即可． 【详解】解： 在实数范围内有意义， ， ， 故选：D． 3. 我国某品牌的手机使用了自主研发的芯片，采用了的工艺制程．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，关键是掌握科学记数法的形式为(其中，为原数左边起第一个非零数字前面的0的个数)． 【详解】解：对于，左边第一个非零数字为，其前面有个，因此． 故选：C． 4. 用三根木棒首尾相接围成一个，若，，则木棒的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，据此确定第三边的取值范围，再判断选项是否符合． 【详解】解：根据三角形三边关系，得， 代入，，得， 即． 选项中只有满足该范围， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．根据各运算法则逐一计算，验证每个选项的正确性即可． 【详解】解：A、和 不是同类项，不能合并，故错误； B、 ，计算正确； C、 ，故错误； D、 ，故错误． 故选：B． 6. 如图，在中，是边上中线，点在边上，且，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理，关键是利用等腰三角形“三线合一”的性质确定，再结合等腰三角形的内角计算求出角度． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，，且． ∵， ∴． 又∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 7. 如图，点在一条直线上，，，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是通过已知条件证明三角形全等，再利用三角形内角和求出对应角的度数． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，掌握分式的基本性质是解题关键．先将分式通分，公分母为，相加后约去即可． 【详解】解： ， ， 故选：A 9. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米， 根据题意，可列方程：2， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与边相交于点．若，为边上的动点，连接，，有下列结论： ①； ②； ③当取得最小值时，． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结论①通过尺规作图得，用证，得，由同位角相等证；结论②由，直接得，再根据，等边对等角得，等量代换即可得；结论③利用角平分线性质()和勾股定理求，再通过证得，最后用面积公式比较与的关系即可． 【详解】解：①∵以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点； ∴ ∵以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点； ∴ ∵以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点； ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴(同位角相等，两直线平行)，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故②正确； ③当时，取得最小值(因为垂线段最短)， ∵是角平分线，，， ∴(角平分线上的点到角两边的距离相等) ， 在中，根据勾股定理， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即，故③正确． 故正确结论：①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查尺规作图性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义以及三角形面积公式来逐一分析每个结论． 第Ⅱ卷 注意事项： 用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是掌握“分式有意义的条件是分母不为零”，据此列出不等式求解． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零，即，解得． 故答案为：． 12. 计算的结果等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的运算规则和完全平方公式．使用完全平方公式展开各项，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，并注意检验是解题的关键．方程两边同乘得，将分式方程转化为整式方程求解，并检验分母是否为零即可． 【详解】解： 方程两边同乘以得，， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 当时，， 原方程的解为． 故答案为：． 14. 把多项式x3﹣4x分解因式结果为_______． 【答案】x（x+2）（x-2） 【解析】 【分析】先提取公因式x，然后再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：x3-4x， =x（x2-4）， =x（x+2）（x-2） 故答案为：x（x+2）（x-2）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于要进行二次分解因式． 15. 在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两个部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立平面直角坐标系． （1）矩形的重心的坐标为______，矩形的重心的坐标为_____； （2）此“”形平面组合图形的重心坐标为_____． 【答案】 ①. ②. ③. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了图形与坐标，中点坐标公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，，可得，，，，，，然后通过中点公式即可求解； （）先求出，，然后代入，即可求解． 【详解】解：（）∵，，，， ∴，，，，，， ∵，分别是矩形，矩形重心， ∴，，即，， 故答案为：，， （），， 由（）得：，， ∴，，，， ∴，， ∴此“”形平面组合图形的重心坐标为， 故答案为：． 16. 如图，在中， （1）的面积等于_______； （2）是边的中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图-作轴对称点． ()根据三角形的面积公式即可求解； ()利用轴对称找最短路径， 周长，为定点，需使最小，即分别作关于的对称点，连线与的交点即为． 【详解】（）解：∵在中，， ∴； 故答案为：； （）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点； 以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点； 分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点； 连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 故答案为：以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．若与关于轴对称，点的对应点分别为．请在图中作出，并写出点的坐标． 【答案】见解析，． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，先根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等求出对应点，再描出，顺次连接即可，熟知关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， ∴． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，完全平方公式，平方差公式，熟练相关运算法则是解题的关键． （）利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可； （）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为14，，求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据于点D，，可得，从而得到，从而得到，再由线段垂直平分线的性质，可得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质，即可求解； （2）根据题意可得，再由三角形的周长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴在中， ∵垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， 且的周长为14， ∴， ∴ 即 ∴． 20. 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则． （）本题先利用平方差公式对分母进行因式分解，将异分母分式转化为同分母分式，再通过合并分子、提取公因式进行约分，得到最简分式，最后代入的数值计算出结果，核心运用了因式分解和分式的通分、约分法则； （）本题先对原式中的多项式进行因式分解，将括号内的分式通分后合并，再把除法运算转化为乘法运算，通过约去公因式化简得到最简分式，最后代入的数值求值． 【小问1详解】 解：原式 当时，原式. 小问2详解】 解：原式． 当时，原式. 21. 如图，点在线段上，，，，平分交于点． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）根据三角形外角的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义和三线合一的性质，得到，，再结合30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ． ； 【小问2详解】 解：，， ． ． 平分， ． 由（1）得． ， ． ． ， ． 22. 某校计划购买一批航空、航海模型．已知航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． （1）求航空模型和航海模型的单价； （2）学校购买时恰逢促销活动：航空模型八折优惠．若购买航空模型、航海模型共个，且航空模型数量不少于航海模型数量的一半，学校购买两种模型的花费不超过元，请问购买航空模型的个数最少是多少，最多是多少？ 【答案】（1）航空模型的单价为元，航海模型的单价为元 （2）购买航空模型最少是个，最多是个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． ()设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元．根据题意列出方程，解出的值即可解答； ()设学校购买航空模型个，则购买航海模型个，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验是原分式方程的解． 又， 航空模型的单价为元，航海模型的单价为元. 【小问2详解】 解;设学校购买航空模型个，则购买航海模型个． 根据题意，得， 解得． 购买航空模型最少是个，最多是个． 23. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上一点． （1）以点为直角顶点，为直角边作等腰，其中点在第一象限． 填空：如图，若，则点的坐标为_________； 如图，以点为直角顶点，为直角边作等腰，其中点在第二象限，连接交轴于点，求线段的长； （2）如图，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边作等腰，其中点在第一象限，连接，若，求证：． 【答案】（1）；； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，同角的余角相等，等腰直角三角形的性质与判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作轴，垂足为，证明，所以，，又，则，所以，从而求出； 过点作轴，垂足为，证明，所以，，又，则，因为为等腰直角三角形，所以，，得，，再证明，所以，从而可得； （）过点作轴，垂足，同（）可得，所以，，又，则，可证为等腰直角三角形，所以，得，从而可证． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴，垂足为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，过点作轴，垂足为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， 同（）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市红桥区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第6页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、准考证号、学校、班级填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上．答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 我国某品牌的手机使用了自主研发的芯片，采用了的工艺制程．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 用三根木棒首尾相接围成一个，若，，则木棒的长可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边上中线，点在边上，且，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在一条直线上，，，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 1 9 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与边相交于点．若，为边上的动点，连接，，有下列结论： ①； ②； ③当取得最小值时，． 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题纸”上（作图可用2B铅笔）． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是______． 12. 计算的结果等于_____． 13. 分式方程的解为_______． 14. 把多项式x3﹣4x分解因式的结果为_______． 15. 在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两个部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立平面直角坐标系． （1）矩形的重心的坐标为______，矩形的重心的坐标为_____； （2）此“”形平面组合图形的重心坐标为_____． 16. 如图，在中， （1）的面积等于_______； （2）是边中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．若与关于轴对称，点的对应点分别为．请在图中作出，并写出点的坐标． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长为14，，求的长． 20 先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 21. 如图，点在线段上，，，，平分交于点． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 22. 某校计划购买一批航空、航海模型．已知航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． （1）求航空模型和航海模型的单价； （2）学校购买时恰逢促销活动：航空模型八折优惠．若购买航空模型、航海模型共个，且航空模型数量不少于航海模型数量的一半，学校购买两种模型的花费不超过元，请问购买航空模型的个数最少是多少，最多是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴正半轴上一点． （1）以点为直角顶点，为直角边作等腰，其中点在第一象限． 填空：如图，若，则点的坐标为_________； 如图，以点为直角顶点，为直角边作等腰，其中点在第二象限，连接交轴于点，求线段长； （2）如图，点为延长线上一点，以为直角顶点，为直角边作等腰，其中点在第一象限，连接，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $