精品解析：四川省成都市某中学2025-2026学年高二上学期学业质量适应性考试数学试题

2025—2026学年高二上学期期末学业质量检测 数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方. 2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效. 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线在平面直角坐标系中的位置如图，已知轴，则直线的方程不可以用下面哪种形式写出（ ）． A. 点斜式 B. 斜截式 C. 截距式 D. 一般式 3. 已知双曲线C：，其中一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率 （    ） A. B. C. D. 2 4. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 5. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，用表示，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙命中的概率为，乙命中丙命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则三人中至少有一人命中的概率为（   ） A. B. C. D. 8. 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点A，B，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错的得0分. 9. 某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ） A. 众数是22 B. 前4个数据的方差比最后4个数据的方差大 C. 平均数是30 D. 80百分位数是28 10. 下列说法正确的为（   ） A. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B. 方程表示焦点在轴的椭圆，则 C. 向量，向量，则向量与向量共线 D. 圆与圆的公切线有2条 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，用一个与旋转轴所成角为的平面（不过圆锥顶点）去截该圆锥面，则截口曲线（圆锥曲线）的离心率为．比如，当时，，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系中放置一个圆锥，顶点，底面圆O的半径为2，直径AB，CD分别在x，y轴上，则下列说法中正确的是（ ） A. 已知点，则过点的平面截该圆锥得的截口曲线为圆 B. 平面MAB截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分 C. 若，则平面MEF截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分 D. 若平面截该圆锥得的截口曲线为离心率是的双曲线的一部分，则平面不经过原点O 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上 12. 双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________. 13. 已知抛物线的焦点为，点为曲线上一点，若，则点的坐标为________． 14. 在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家委托采取随机抽样方法，调查我市市民对某新开发品牌洗发水的满意度，同学们模仿电视问政的打分制，由被调查者在0分到100分的整数分中给出自己的认可分数，现将收集到的100位市民的认可分数分为6组：，，，，，，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求这100位市民认可分数的中位数（精确到0.1），平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）生产厂家根据同学们收集到的数据，若采用分层抽样的方法，在认可分数为80及以上的市民中一共选出6名市民当产品宣传员，从这6名市民中选2名，求这2名宣传员都来自认可分数为的概率． 16. 如图所示，已知四边形是直角梯形，且，直线平面，，， （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知圆，点. （1）若为过点的弦且所在直线与直线垂直.求的长； （2）若是圆外的一个动点，连接与圆交于点，且满足点为线段的中点，求动点的轨迹方程. 18. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知点，设过点的直线与交于两点． ①若的斜率分别为，证明：； ②若点在线段上，且．证明：轴． 19. 在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. （1）若时，求证：； （2）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （3）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高二上学期期末学业质量检测 数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方. 2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效. 4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线，则焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用抛物线的焦点坐标公式计算求解. 【详解】因为抛物线，所以，故， 则焦点坐标为. 故选：B. 2. 直线在平面直角坐标系中的位置如图，已知轴，则直线的方程不可以用下面哪种形式写出（ ）． A. 点斜式 B. 斜截式 C. 截距式 D. 一般式 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行于轴的直线的特征判断． 【详解】轴，则的横截距不存在，因此不能用截距式表示直线方程．点斜式、斜截式，一般式都可以． 故选：C． 【点睛】本题考查直线方程的几种形式，属于基础题． 3. 已知双曲线C：，其中一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率 （    ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，从而得，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 4. 已知，，，则事件与的关系是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与既互斥又相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的并集公式和独立事件的定义求解.根据且可以判断事件与互斥但不对立；根据且可以判断事件与对立；根据判断事件与独立. 【详解】，，， ， ，， ，故与互斥但不对立，选项A正确，选项B不正确； ，，故与不独立，选项C和D错误. 故选：A. 5. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，用表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点，    ． 故选：B． 6. 直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【详解】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 7. 甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙命中的概率为，乙命中丙命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则三人中至少有一人命中的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出三个事件然后根据题意及独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式列方程求对应三个事件的概率，再根据对立事件与独立事件的概率公式算出三人中至少有一人命中的概率． 【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意，解得 故三人中至少有一人命中的概率. 故选：D. 8. 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点A，B，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线. 设，则，. 故，解得.又，所以，. 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错的得0分. 9. 某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ） A. 众数是22 B. 前4个数据的方差比最后4个数据的方差大 C. 平均数是30 D. 80百分位数是28 【答案】AC 【解析】 【分析】将数据按升序排列，根据统计知识逐项分析判断. 【详解】将数据按升序排列可得：20，22，22，22，24，26，26，28，32，78， 对于A：22出现的次数最多，众数是22，故A正确； 对于C：平均数，故C正确； 对于D：因为，所以第80百分位数是，故D错误； 对于B：前4个数据是26，28，22，24， 其平均数是， 方差为， 后4个数据是32，26，20，22， 平均数是， 方差为， 因为，所以前4个数据的方差比最后4个数据的方差小，故B错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的为（   ） A. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B. 方程表示焦点在轴的椭圆，则 C. 向量，向量，则向量与向量共线 D. 圆与圆的公切线有2条 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量坐标的对称性即可判断A；根据椭圆标准方程的特点列不等式求解的范围即可判断B；根据空间向量坐标判断向量共线即可判断C；根据圆与圆的位置关系即可确定公切线的条数即可判断D. 【详解】对A：点关于平面的对称点为，故A错误； 对B：若方程表示焦点在轴的椭圆，则有，解得，即，故B正确； 对C：向量，向量，显然，则向量与向量不共线，即C错误； 对D：圆与圆的圆心分别为、，半径分别为、， 则有，，， 则，故圆与圆相交，故圆与圆的公切线有2条，故D正确. 故选：BD. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，用一个与旋转轴所成角为的平面（不过圆锥顶点）去截该圆锥面，则截口曲线（圆锥曲线）的离心率为．比如，当时，，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系中放置一个圆锥，顶点，底面圆O的半径为2，直径AB，CD分别在x，y轴上，则下列说法中正确的是（ ） A. 已知点，则过点的平面截该圆锥得的截口曲线为圆 B. 平面MAB截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分 C. 若，则平面MEF截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分 D. 若平面截该圆锥得的截口曲线为离心率是的双曲线的一部分，则平面不经过原点O 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据情境，由题可知，再对每个选项，求出过点的平面与旋转轴所成角的余弦，即的值，代入求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可． 【详解】对于A：只有过点M，N且与底面平行的平面截该圆锥得的截口曲线才是圆， 其他情况均不是圆，故A不正确； 对于B：由题得底面圆O的半径为2，则，，则M为SD中点， 易知平面，平面，所以， 又平面MAB，平面MAB， 所以平面MAB，又易知， 所以平面MAB与旋转轴OS所成角为，，即， 所以，所以平面MAB截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分，故B正确； 对于C：， 则， 设平面MEF的一个法向量为，则， 取，则，故， 所以， 故， 所以平面MEF截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分，故C正确； 对于D：若平面截该圆锥得的截口曲线为离心率是的双曲线的一部分， 则， 所以平面，故平面不经过原点O，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线（圆锥曲线）的离心率的定义，结合空间向量法即可得解. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上 12. 双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________. 【答案】17. 【解析】 【详解】试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17. 考点：双曲线的定义. 13. 已知抛物线的焦点为，点为曲线上一点，若，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的定义可求得，又因为点为曲线上一点，代入抛物线方程即可得出答案. 【详解】由抛物线可得：， 由抛物线的定义可得：，则， 又因为点为曲线上一点，所以， 所以，所以点的坐标为. 故答案为： 14. 在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，延长、、至点、、，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到、、、四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的，结合正三棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长、、至点、、，使得，，， 所以， 又由，所以、、、四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为，则点到平面的距离是点到平面的距离的， 又因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接、，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家委托采取随机抽样方法，调查我市市民对某新开发品牌洗发水的满意度，同学们模仿电视问政的打分制，由被调查者在0分到100分的整数分中给出自己的认可分数，现将收集到的100位市民的认可分数分为6组：，，，，，，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求这100位市民认可分数的中位数（精确到0.1），平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）生产厂家根据同学们收集到的数据，若采用分层抽样的方法，在认可分数为80及以上的市民中一共选出6名市民当产品宣传员，从这6名市民中选2名，求这2名宣传员都来自认可分数为的概率． 【答案】（1）66.7，67 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和平均数的概念求值. （2）根据古典概型的概率计算方法求值. 【小问1详解】 由于的频率分别为0.1，0.2，0.3． 故中位数位于中，其值为． 平均数为. 【小问2详解】 认可分数位于的人数为4，认可分数位于的人数为2， 从认可分数位于和的基本事件分别为： ，共15个基本事件， 其中分数位于的事件有6个， 故这2位宣传员都来自认可分数为的概率为． 16. 如图所示，已知四边形是直角梯形，且，直线平面，，， （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 根据题干建立空间直角坐标系，利用直线与直线的方向向量求解所成角的余弦值； （2）求出平面与平面的法向量，利用法向量的关系求解夹角余弦值. 【小问1详解】 如图：在平面中作于， 因则， 因平面平面，平面平面， 所以平面，因平面，所以， 又，故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 因为，，， 所以为矩形，， 在直角中，， 故，，，， ， 故异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）易知平面即平面的一个法向量为 ，， 设平面的一个法向量为， 则，得，令，则， 故，设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知圆，点. （1）若为过点的弦且所在直线与直线垂直.求的长； （2）若是圆外的一个动点，连接与圆交于点，且满足点为线段的中点，求动点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再由弦长公式求解即可； （2）设，由中点坐标公式可得，代入圆的方程求化简即可； 【小问1详解】 由题意设直线的方程为， 代入，则，解得， 即. 因为圆心到直线的距离为 ， 所以. 【小问2详解】 设， 则， 因为点在圆上，则， 则， 化简得， 所以动点的轨迹方程为. 18. 已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知点，设过点的直线与交于两点． ①若的斜率分别为，证明：； ②若点在线段上，且．证明：轴． 【答案】（1） （2）①证明： 由题意，直线的斜率不为0，设直线， 联立直线与椭圆E的方程消去x整理得， 则，即，可得：或，则， 所以，所以 ． 综上，． ②证明： 因为点在线段上，且，所以，且D为内比分点， 由题意在轴的上方或下方，根据对称性不妨取在轴的上方，如图， 所以存在实数，使得，设， 所以，化简得， 由①知，所以， 所以，即，所以轴. 【解析】 【分析】（1）设，则有即可求解； （2）①设直线方程，联立椭圆方程，由韦达定理有，代入两点斜率公式化简即可证明； ②由题意，设，不妨取在轴的上方，根据坐标运算得，根据求得，代入直线的方程得，即可证明. 【小问1详解】 设，动点满足直线和直线的斜率乘积为， 所以，即，即，. 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①略； ②略. 19. 在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且. （1）若时，求证：； （2）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （3）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围. 【答案】（1） 在底面菱形中，连接，记，取的中点为，连接， 在菱形中，，在直四棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 因为，所以，， 可得， 则， 所以，则， 由，则，即， 因为，所以，则. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量数量积为零，可得答案； （2）由（1）的坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量，利用线面位置关系可得参数的等量关系，可得答案； （3）由（1）的坐标系，根据几何性质，明确球心的位置，利用数量积为零可得参数的范围，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意作图如下： 由图可知平面的一个法向量， 由，则的中点的坐标为， 即，由，则（）， 由（1）可知，由，则 则， 由平面，则，解得， 所以，则， 当时，等号成立，所以的最小值为. 【小问3详解】 由题意可作图如下： 由（1）可得，由（），则， 设的中点为，则， 在菱形中，且为中点，则， 在三棱锥中，底面的外接圆圆心为的中点， 易知球心为线段的中垂线与直线的交点，则设 由，则， 易知，可得，解得， 由，，则，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $