云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末模拟试卷六数学试题

期末模拟（六) 一、单项选择题 1.已知集合A={xx2-5x+4=0,则集合A的真子集个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.己知等差数列(aJ的前n项和为Sn,等比数列(bn)的前n项积为Tn,a4=8,b4=-1,则S,+T,的值为 () A.58 B.57 C.56 D.55 3.某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过按比例分层随机抽样 的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟结合此数据，请 你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为() A.98分钟 B.90分钟 C.88分钟 D.85分钟 4.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为() A号 B CM 号 5.设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则() A.f(-》=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 6.设函数f(x)=cos(@x+爱在[-元，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为() A. B2 c智 D号 7.2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜.甲、乙、 丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一 个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有() A.120种 B.150种 C.180种 D.300种 8.若a>1,设函数f(x)=a*+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则号+的取值范围 () A.+o) B.[1,+∞) C.(4,+o) D.(,+co) 二、多项选择题 第1页，共8页 9.如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=4,∠BAD=,E为CD的中点，AE与DB交于F,则() A.BF在AB方向上的投影为可 B.A丽=丽+而 C.AF.AB=2 D.|AF1=2N7. 10.已知椭圆G:三+发=1(a>b>0的左，右焦点分别为R,R,长轴长为4，点 P(√2,1)在椭圆C外，点2在椭圆C上，则() A.椭圆C的离心率的取值范围是(0， B.当椭圆c的离心率为号时，1Q的取值范围是2-V3,2+V可到 C.存在点Q使得QF·QF=0 1 1的最小值为1 D.1FF 11.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13，…，即 从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐 波那契数列an}说法正确的是() A.a12=144 B.a2022是奇数 C.a2022=a1+a2+a3+…+a2020 D.a2020+a2024=3a2022 三、填空题 12已知双自线号-兰=1a>0,b>0)的左焦点为R过F且斜率为品的直线交双面线于点Ax,W:交 双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0<x2,若1FB1=3引FA,则双曲线的离心率是」 13.己知Rt△ABC的两条直角边分别为3,4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的 几何体体积是一 14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):①f(x1x2)=f(x1)f(x2):②当x∈(0，+∞)时， f'(x)>0:③f'(x)是奇函数. 四、解答题 15.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，向量m=(a,b+c),元=(V3sinC+cosC,1), m.元=2(b+c). (1)求A; (2)若c=2V3,BM=2MC,AM=2.求△ABC的面积 第2页，共8页 16.如图，在四面体ABCD中，DA=BC=2,AC=1,∠DAC=∠BCA=究，E,F分别为CD,AB的中 点。 B (1)证明：EF⊥AC: (2)若二面角D-AC-B为好，求直线EF与平面BCD所成角的正弦值. 17.记Sn为数列〔a,}的前n项和，已知sn=受+n2+1,nEN (1)求a1+a2,并证明{an+an+是等差数列； (2)求Sn 第3页，共8页 18.已知函数f)=e*-g+是-1. (1)若在(1，f(1)处的切线斜率为-1，求a; (2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 19.已知抛物线E:y2=2x(p>O)的焦点为F,P为E上的动点，P到点F的距离与P到E的准线的距离 之和的最小值为2， (1)求抛物线E的方程. (2)给出如下的定义：若直线1与抛物线C有且仅有一个公共点Q,且1与C的对称轴不平行，则称直线1 为抛物线C上点Q处的切线，公共点Q称为切点请你运用上述定义解决以下问题： (i)证明：抛物线E上Q(xo,yo)点处的切线方程为yoy=2x+2x (iⅱ)若过点M(2,t)可作抛物线E的2条切线，切点分别为A,B.证明：直线MA,MB的斜率之积为常数 第4页，共8页 期末模拟（六） 一、单选题 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 D C B B C B B 8.【答案】B【解答】解：函数f(x)=ax+x一4的零点是y=a*与y=4一x图象交点A的横坐标， 函数g(x)=logax+x-4的零点是y=logax与y=4一x图象交点B的横坐标， 由于y=ax与y=logax互为反函数，其图象关于直线y=x对称，直线y=4一x与直线y=x垂直， 故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即是4，B的中点，“m+n=4,“品+片=m+m)哈+月= m n 寻2+咒+分21，当且仅当m=n=2时等号成立，故品+片之1，故所求的取值范围是[1，+)， 故选B. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AB BCD AD 1l.【答案】AD【解答】解：易知，数列(anJ满足递推关系an+2=an+1+an 选项A:a12=a11+a10=2a10+ag=3ag+2ag=5a8+3a7=8a7+5a6=8×13+5×8=144:故A 正确：选项B:观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022=674×3，恰好能被3整 除，且a3为偶数，所以a2022也为偶数，故B错误：选项C:若选项C正确，又a202=a2021+a2020,则 a2021=a1+a2+…+a2019,同理a2020=a1+a2+…+a2018,a2019=a1+a2+…+a2017,依次类 推，可得a4=a1+a2,显然错误，故C错误：选项D:a2024=a2023+a2022=2a2022十a2021,又 a2020+a2024=a2020+2a2022+a2021=2a2022+(a2020十a2021)=3a2022,故D正确： 故答案为：AD. 三、填空题 题号 12 13 14 答案 36 8 f(x)=x2(答案不唯一， 4 5 f(x)=x2n(n∈N)均满足) 12.【答案】3 4 【解答】解：由题意得AB:y= 名x+,渐近线方程0B:y=吕x, a 联立方 y=x+ X= 解得： (y=x b-3 所以B(,),因为FB=3FA,所以y=怎代入AB方程得 a 第5页，共8页 荒=会+0.解得=-昌c,所以A(-c.把点A代入景-节=1相器-品=1，即器。 1,解得：e=3y 13.【答案】“ 【解答】解：如图为直角三角形以斜边所在直线为轴旋转而成的旋转体， 因为两条直角边分别为3,4，所以斜边长为5，利用三角形的面积相等，得出斜边上的高为， 则圆锥的底面半径为号，设两个圆锥的高为1，h2,则h1+h2=5,所以V=Sh+S:n1= π（得）h1+h2)=4,故答案为4 14.【答案】f(x)=x2(答案不唯一，f(x)=x2m(n∈N)均满足) 【解答】解：取f(x)=x2,则f(x1x2)=(x1x2)2=xx3=f(x1)f(x2),满足①， f'(x)=2x,x>0时有f'(x)>0,满足②，f'(x)=2x的定义域为R, 又f'(-x)=-2x=-f'(x),故f'(x)是奇函数，满足③ 故答案为：f(x)=x2(答案不唯一，f(x)=x2n(nEN)均满足) 四、解答题 15.【答案】解：(1)m.元=2(b+c)→V3 asinC+acosC=b+c 由正弦定理得，√3 sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC, 化简得V3 sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC, 即V3 sinAsinC=sinC(cosA+1),C∈(0，)，sinC≠0，V3sinA-cosA=1,即2sin(A-爱=1， 又AE(0,m),A-君e(-君，，故A-君-名即A= (2)BM=2MC=AM-AB=2(AC-AM), AM-3A丽+AC,1AmP=A丽+号AC)2=AB+号AC2+号AB.AC, 又AB=c=2W3,AC=b,AM=2,即1AM1=2,4=号×(2V32+b2+号b·2W3c0s b2+V3b-6=0,b=V3或b=-2V3(舍)，故SAac=besinA=39 第6页，共8页 16.【答案】解：(1)证明：取AC中点记为M,因为M与E分别是AC与CD中点，所以DA/ME, 又由DA⊥AC,则ME⊥AC,同理MF/BC且BC⊥CA,则MF⊥AC,而ME n MF=M,ME,MFC平面 MEF,所以AC⊥平面MEF,又EFc平面MEF,所以AC⊥EF: (2)构造直棱柱，如图所示，以C为坐标原点，以CB,CA所在直线分别为x,z轴， 过C点作平面ABC的垂线为y轴，建立空间直角坐标系， CA为平面DAC与平面ACB的交线，同时MF⊥CA,ME⊥CA,因此二面角D-AC-B即为∠EMF,所以 ∠EMF=因为ME/CH,MF1/CB,所以LBCH=所以B(20,0),C(00,0),D(1,V3,1),A(00,1), 由于E,F分别是CD,AB的中点，所以E吃，号F(1,02进而丽=，-号，) 设平面BCD法向量为元=(xo,yo,20),而BC=(-2,0,0),BD=(-1,V3,1),由于BC·元=0，BD·元= 0,则，0+=0取96=1，得2=-V3,从而平面8cD-个法向量为航=01，-V③ 设直线EF与平面BCD所成线面角为，则a=los匣，=1买需1=云=号 3 所以直线EF与平面BCD所成线面角正弦值为得 17.【答案】解：()当n=1时，a1=号+2，a1=4当n=2时，a1+a2=号+5，a2=2,所以a1+ a2=6.因为Sn=2+n2+1①，所以Sn+1=+(m+1)2+1②， ②-①得，an+1=史-2+(m+1)2-n2,整理得an+an+1=4n+2,n∈N, 所以(an+1+an+2)-(an+an+1)=[4(n+1)+2]-(4n+2)=4(常数)，n∈N", 所以{am+an+1]是首项为6，公差为4的等差数列， (2)由(1)知，an-1+am=4(n-1)+2=4n-2,n∈N°，n≥2， 当n为偶数时，3n=(a,+a2)+(a+a,)+…+(a-1+)=6+n-2=n2+ 2 当n为奇数时，n=a1+a2+ag)+(a4+ag)+…+a1十an)=4+0+-2=n2十n+2, 2 第7页，共8页 当n=1时，S1=a1=4,也满足上式， n2+n,当n为偶数时， 综上所述，Sn= n2+n+2,当n为奇数时. 18【答案】解：(af)=e*-+是-1，则f')=e*-严-是， x2 因为函数f(x)在(1，f(1)处的切线斜率为-1，所以f'(1)=e-1-a=-1, 解得a=e.(2)f)=e*-坚+号-1≥0恒成立，因为x>0,即为xe*-1x+a-x≥0恒成立， 即a2x+lnx-xe*恒成立，令h(x)=x+lnx-xe*,则h'()=1+是-x+1)ex=(x+1)(侵-e), 可知函数m()=是-e*在(0，+∞)上单调递减，且m(份)=2-Ve>0,m(1)=1-e<0,则存在x∈ (侵，1，使得m(xo)=0,当0<x<xo时，m(x)>0,此时h'(x)>0:当x>xo时，m(x)<0,此时 h'(x)<0:则函数h(x)在(0，x)上单调递增，在(xo,+∞)上单调递减，可得h(x)max=h(xo)=xg+lnx0- xoe0,由m(xo)=0,可得=eo,-lnx0=xo,即xoe=1,x+lnx0=0,则h(x)max=h(xo)= -1,可得a≥-1，即实数a的取值范围为[-1，+∞)， 19.【答案】解：(1)抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F,0),准线：x=-, 设动点P(xo,yo)(x≥0)，动点P到其准线的距离为d,由抛物线定义得，PF列=d=x+号，则1PF+ d=2x+p≥p,当且仅当x0=0时取等号，依题意，p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x: (2)()当E上Q(xoyo)处的切线斜率存在时设其方程为y-yo=k(x-x),k≠0，xo≠0， CX0得ky2-4纱+物-4kx,=0@由△=0得x2-yk+1=D 代入①式得y=器(c-x0)+为，即=要c-x)+8@,又好=4x,代入②得%y=2x+ 2x③，即为E上Q(xo,yo)处的切线斜率存在时的方程当E上Q(xo,y0)处的切线斜率不存在时，即xo=0时 处切线方程为x=0,符合③式.所以E上Q(xo,y0)处的切线方程为yoy=2x0+2x: (i)设A(x1,y1),B(x2y2),由()知A(x1,y1)点处的切线方程为y1y=2x1+2x.④， B(x2,y2)点处的切线方程为y2y=2x2+2x.⑤将M(2,t)分别代入上面两式得：ty1=2x1+4,ty2=2x2+ 4所以直线AB方程为=2x+4,由国⑤如直线M,MB斜率分别为kwA=号km8=号则kmA: 产@二经+4得y2-2+8=0,当△>0即2>8时%=8 KMB=y 代入@式得kMk®=。=所以直线M,MB斜率之积为带数 第8页，共8页