精品解析：天津市和平区汉阳道中学2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

2025-2026-1期末调研九年级数学试卷 一．选择题（共12小题） 1. 计算得（ ） A. B. C. 36 D. 42 2. 如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 4. 下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 截至2025年2月19日，国产电影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币元，成为春节档票房口碑最好的电影；将这个数用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式的值等于的是（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若图象上有三个点，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 6 10. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将绕点O顺时针旋转得到，若，则下列结论中错误的是（ ） A. 的面积为1 B. C. 被平分 D. 点到x轴的距离为 11. 如图，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，圆弧与，分别相交于两点； ②分别以点为圆心；以大于长为半径画弧，两弧相交于点： ③作射线与相交于点； ④分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点； ⑤作直线．在直线上任意取点，连接． 则周长的最小值为（　　） A 14 B. 10 C. 8 D. 6 12. 如图，正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，．在点，运动的过程中，有下列结论： ①的范围是； ②当分别是和中点时，的面积最小，面积最小值是； ③有两个不同取值使得与的面积之和为； ④当与的面积之和最大时． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题） 13. 在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是_______． 14. 计算：___________． 15. 计算的结果是__________． 16. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为___________． 17. 如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点． （1）线段的长为_____； （2）若为的中点，则线段的长为_____． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形．的顶点均落在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点为半圆弧的中点，点为边上一点，且直线恰好平分这个图形的面积．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三．解答题（共7小题） 19. 解方程： （1） （2） 20. 在平面直角坐标系中，点，，，C，D分别为，的中点．以点为中心，逆时针旋转，得，点C，D的对应点分别为点，． （1）填空：如图①，当点落在轴上时，点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）如图②，当点落在上时，求点的坐标和的长； 21. 已知，为以为直径的半圆上一点，且半径于，是的中点． （1）如图①，过点作弦，连接，求和的大小； （2）如图②，连接并延长交半圆于点，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求线段的长． 22. “天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学暑假去天津旅游时乘坐摩天轮，当小宇在摩天轮客舱中上升到点B位置时，测得O处俯角是36.9°，测得C处俯角是66°，测得A处俯角63.6°，摩天轮最低点距离地面10米，求小宇此时所在B处距离地面高度和摩天轮最高点距离地面的高度．（参考数据：，，） 23. 已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上．小桐从家骑自行车出发，途经学校，在学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．下图描述了这一过程中，小桐离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小桐离开家的时间/ 1 小桐离家的路程/ ②填空：小桐在博物馆停留的时间为 ； ③当时，请直接写出小桐离家的路程关于时间的函数解析式； （2）小桐到达学校时，小海从学校出发，以的速度步行直接去博物馆．如果两人途中相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程是多少？（直接写出结果即可）． 24. 如图，点A是x轴非负半轴上动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t． （Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标； （Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值． 25. 已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． （1）若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； （2）若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1期末调研九年级数学试卷 一．选择题（共12小题） 1. 计算得（ ） A. B. C. 36 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】先算乘方，再算乘法，最后算减法，计算即可． 【详解】， 故选A． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 2. 如图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查立体图形的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：由图可得，俯视图是， 故选：B． 3. 估计的值在（ ） A 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 4. 下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 截至2025年2月19日，国产电影《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币元，成为春节档票房口碑最好的电影；将这个数用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 6. 下列各式的值等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键；根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：，， ，； 故选项B正确，其它选项错误； 故选：B． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键． 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值． 【详解】解：原式， 故选：B． 8. 若图象上有三个点，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大． 先证明，进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵，，都在反比例函数图象上，且， ∴， 故选：C． 9. 已知分别是方程的两个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵分别是方程的两个根， ∴， ∴； 故选A． 10. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将绕点O顺时针旋转得到，若，则下列结论中错误的是（ ） A. 的面积为1 B. C. 被平分 D. 点到x轴的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质和三角形的面积公式可判断A；根据同旁内角互补两直线平行可判断B；证明，而可判断C；过点作x轴的垂线，垂足为H，先求出，然后根据求出可判断D． 【详解】解：∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴． 由旋转的性质可知，．故A正确． 令与轴的交点为M， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， ∴．故B正确． 令与y轴的交点为N， ∵， ∴． 由旋转可知，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 即， ∵， ∴， 则未平分．故C错误． 过点作x轴的垂线，垂足为H， ∵， ∴． 在中， ， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴， 即点到x轴的距离为．故D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，坐标与图形的性质，平行线的判定，等角对等边，勾股定理，解直角三角形，熟知图形旋转的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键． 11. 如图，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，圆弧与，分别相交于两点； ②分别以点为圆心；以大于的长为半径画弧，两弧相交于点： ③作射线与相交于点； ④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ⑤作直线．在直线上任意取点，连接． 则周长的最小值为（　　） A. 14 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键． 由作图方法得平分，垂直平分，利用三角形面积公式得到，再由线段垂直平分线的性质得到，根据周长，得到当点A，P，G共线时，有最小值，即周长最小，，进而可以解决问题． 【详解】解：连接，由作图方法得平分，垂直平分， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴周长， ∴当点A，P，G共线时，有最小值，即周长最小， 此时， ∴周长的最小值为， 故选：A． 12. 如图，正方形中，，，相交于点O，E，F分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，．在点，运动的过程中，有下列结论： ①的范围是； ②当分别是和中点时，的面积最小，面积最小值是； ③有两个不同的取值使得与的面积之和为； ④当与的面积之和最大时． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】①设，则，再在中，运用勾股定理求解即可；②根据正方形的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，，推得，则可证是等腰直角三角形，由的最小值是到的距离，即可求得的最小值，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③根据已知先求出与的面积之和的表达式，再令其等于并求解即可；④根据③的式子结合二次函数的性质判断即可． 【详解】解：①设， ∵在正方形中，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，； 当或时，， ∵， ∴，故①错误； ②四边形是正方形，，相交于点， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 的面积， 当最小时，的面积最小， 当时，最小，此时， 面积的最小值是，故②正确； ③由题意得，与的面积之和 ， 当和为时， ∴或， 解得（舍去）， ∴只有一个取值使得与的面积之和为，故③错误； ④由③得，与的面积之和， ∵， ∴当时，与的面积之和有最大值，为， 此时 ，故④错误． 综上所述，正确的只有②， 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的性质和等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 二．填空题（共6小题） 13. 在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】用白球的数量除以球的总数量即可求得摸到白球的概率． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有1个黄球，2个白球，3个红球， ∴从袋子中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方和单项式除以单项式的运算，先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式除以单项式即可得到答案． 详解】解：， 故答案为：． 15. 计算的结果是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，平方差计算公式，二次根式的混合运算，熟记运算公式是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后与轴交于，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后得到，即， ∵平移后的直线与轴交于， ， 解得：， 故答案为：1． 17. 如图，在菱形中，，，为边的中点，连接与相交于点． （1）线段的长为_____； （2）若为的中点，则线段的长为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理等等，熟知菱形的性质是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，据此解直角三角形即可得到答案； （2）连接，可证明，得到，解得到，再证明，求出，则． 【详解】解：（1）如图所示，连接 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为边的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由（1）可得是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有直角三角形和以为直径的半圆组成的一个图形．的顶点均落在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点为半圆弧的中点，点为边上一点，且直线恰好平分这个图形的面积．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求 【解析】 【分析】本题考查了无刻度作图，勾股定理，作平行四边形，掌握图形性质是解题的关键； （1）根据勾股定理即可求解； （2）取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点，则点即为所求，根据平分了四边形，找到使得的点，即可求解． 【详解】解：（1）根据勾股定理可得， 故答案为：． （2）如图，点和点即为所求； 取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，连接交于点；连接交网格线于点；连接交网格线于点；连接交于点，则点即为所求； 理由如下，连接，设交于点， ∵是的中点 ∴弓形的面积相等， 则使得平分四边形， ∵是的中点， ∴平分了四边形， ∵是平行四边形， ∴ ∴，则 ∴，即即为所求， 故答案为：取，，连接，分别交网格线于点，连接交于点，连接，作交于点． 三．解答题（共7小题） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可； （2）先移项，再利用平方差公式分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即, ∴或， 解得． 20. 在平面直角坐标系中，点，，，C，D分别为，的中点．以点为中心，逆时针旋转，得，点C，D的对应点分别为点，． （1）填空：如图①，当点落在轴上时，点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）如图②，当点落在上时，求点的坐标和的长； 【答案】（1） （2）点坐标为，的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，坐标与图形，旋转的性质，两点间的距离公式，熟知锐角三角函数是解题的关键 （1）过作轴于点H，根据线段中点的定义得到点C和点D的坐标，进而得到的长，则由旋转的性质可得的长，再解直角三角形求出，进而求出，再解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）当点落在上时，过作轴于点G，求出，解直角三角形求出，的长，可得点的坐标，再根据两点间的距离公式可得的长． 【小问1详解】 解：过作轴于点H，如图： ，D为中点， ， ， ，C为中点， ， ∴ ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ， ∵点落在y轴上， ； ， 轴， ∴， ， 由旋转的性质可得 ， ，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点落在上时，过点作轴于点G，如图： 由（1）知，，， ， ∴， ， ，  ； ∴点的坐标为，的长为． 21. 已知，为以为直径的半圆上一点，且半径于，是的中点． （1）如图①，过点作弦，连接，求和的大小； （2）如图②，连接并延长交半圆于点，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求线段的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）证明垂直平分，得出，根据等腰三角形的性质证明．证明为等边三角形，得出，即可求出结果； （2）连接，根据切线的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ． ， ，即． 中点，即垂直平分． ． ． ， ． 为等边三角形． ． ． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 为的切线， ， ， ， ． ． 又， ． ， ． ． 设，则，，， 在中，， ． 解得（舍），． ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 22. “天津之眼”是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮，小宇同学暑假去天津旅游时乘坐摩天轮，当小宇在摩天轮客舱中上升到点B位置时，测得O处俯角是36.9°，测得C处俯角是66°，测得A处俯角63.6°，摩天轮最低点距离地面10米，求小宇此时所在B处距离地面高度和摩天轮最高点距离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】小宇此时所在B处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米 【解析】 【分析】过点B作BD⊥CO的延长线于点H，设米，解得米，米，进而得米，米，解得，求出x的值即可得出结论． 【详解】解：延长CO，过点B作BD⊥CO的延长线于点H， 在中，∠ 设米，则 ∴米 又 ∴米 ∵ ∴米 又米 ∴ 在中， ∴ 解得， ∴米，米 ∴米，即B处距离地面高度为90米， 此时，摩天轮最高点距离地面的高度为：米， 所以，小宇此时所在B处距离地面高度为90米，摩天轮最高点距离地面的高度110米 【点睛】本题主要考查了解直角三角形----仰角和俯角，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 23. 已知小桐家、实验学校、和博物馆依次在一条笔直的道路上．小桐从家骑自行车出发，途经学校，在学校停留一段时间后，按原来的速度继续骑车去博物馆．在博物馆停留一段时间后，又骑车返回了家中．下图描述了这一过程中，小桐离家的路程与所经过的时间之间的函数关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小桐离开家的时间/ 1 小桐离家的路程/ ②填空：小桐在博物馆停留的时间为 ； ③当时，请直接写出小桐离家的路程关于时间的函数解析式； （2）小桐到达学校时，小海从学校出发，以的速度步行直接去博物馆．如果两人途中相遇，求相遇时他们距离博物馆的路程是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①，，；②；③当时，；当时，；当时， （2）米 【解析】 【分析】（1）①分别求出“”、“”、“”的函数表达式，再根据自变量的值求出相应函数值即可； ②根据函数图象找出小桐在博物馆停留函数图象求解； ③分别求出“”、“”、“” 的函数表达式即可； （2）设小桐用了与小海在途中相遇，小桐行走的速度为，列出一元一次方程求解，再求出相遇时他们距离博物馆的路程． 【小问1详解】 解：①当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 取，； 当时，， 所以当时，； 当时，设函数表达式为， 则，解得：， 所以函数表达式为， 所以当时，， 故答案为：，，； ②填空：小桐在博物馆停留的时间为（）， 故答案为：； ③当时，由①可知函数表达式为； 当时，函数表达式为； 当时，设函数表达式， 则，解得：， 所以函数表达式为， 所以当时，小桐离家的路程关于时间的函数解析式为： ； 【小问2详解】 设小桐用了分钟与小海在途中相遇，小桐行走的速度为， 则， 解得：， 相遇时他们距离博物馆的路程是（） 答：相遇时他们距离博物馆的路程是． 【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，行程问题(一次函数的实际应用)，求一次函数解析式，一元一次方程的行程问题，解题关键是列出函数表示式． 24. 如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t． （Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标； （Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值． 【答案】（1）（1，2）；（2）S=t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值 【解析】 【详解】试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可； （II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=t，AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围； （III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小． 试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=OA=1，MG是△AOB的中位线，∴MG=OB=×4=2，∴M（1，2）； （II）如图1，同理得：OG=AG=t．∵∠BAC=90°，∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，MA=AC，∴△AMG≌△CAF，∴AG=CF=t，AF=MG=2，∴EC=4﹣t，BE=OF=t+2，∴S△BCE=EC•BE=（4﹣t）（t+2）=﹣t2+t+4； S△ABC=•AB•AC=••=t2+4，∴S=S△BEC+S△ABC=t+8． 当A与O重合，C与F重合，如图2，此时t=0，当C与E重合时，如图3，AG=EF，即 t=4，t=8，∴S与t之间的函数关系式为：S=t+8（0≤t≤8）； （III）如图1，易得△ABO∽△CAF，∴===2，∴AF=2，CF=t，由勾股定理得：AC===，BC===，∴BC+AC=（ +1），∴当t=0时，BC+AC有最小值． 点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 25. 已知抛物线（b、c为常数，）与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且． （1）若． ①求抛物线的顶点和点的坐标； ②当时，求的值； （2）若点的坐标为，过点作，垂足为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，当的最大值为时，求的值． 【答案】（1）①；；② （2）4 【解析】 【分析】（1）①把解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，再求出函数值为0时自变量的值即可求出点B的坐标；②由题意得点的坐标为，其中．求出点的坐标为，得到，则垂直平分，可得点M在第一、三象限的角平分线上，则，解方程即可得到答案； （2）把点B坐标代入解析式可得，则抛物线解析式为，即可得到抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，求出点的坐标为，则直线的解析式为，过点作轴，与相交于点，则点的坐标为．可证明，则．求出，．则．即可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①当时，抛物线解析式． 顶点的坐标为． 令，得．解得或． 点在点的左侧， 点的坐标为． ②根据题意，点的坐标为，其中． 当时， ∴点的坐标为， ∴ ， ∴垂直平分 ∴，即点M在第一、三象限的角平分线上， ． 解得（舍去），． 【小问2详解】 解：点的坐标为， ∴ ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 过点作轴，与相交于点，则点的坐标为． ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴． ． 轴， ． ． ． 当时，取得最大值． ．即． 解得（舍去），． 的值为4． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合等等，解（1）的关键在于证明点M在第一、三象限的角平分线上，解（2）的关键在于证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $