2026年安徽中考数学二次函数分层作业

安徽中考二次函数分层作业 安徽中考二次函数分层作业 本作业基于近三年安徽中考真题和模拟题，按照难度梯度设计，帮助学生循序渐进掌握二次函数知识点。 A层（基础层）- 基本概念与性质 1. 如图，排球运动员站在点处练习发球，球从点正上方的处发出，其运行的高度（）与水平距离（）满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是（  ）． A. 球运行的最大高度是 B. 球不会过球网 C. 球会过球网且不会出界 D. 球会过球网且会出界 2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（  ）． A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 3. 若将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（  ）． A. B. C. D. 4. 抛物线经过点和，若，则的值为（  ）． A. B. C. D. B层（提高层）- 图像分析与函数性质 5. 已知抛物线开口向上，对称轴为直线，且与轴的一个交点在到之间，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象可能是（  ）. A. B. C. D. 6. 如图，二次函数：与一次函数：的图象交于，两点，则一元二次方程的解为（  ）． A. B. ， C. ， D. 7. 如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（  ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标之和为零，则称点为“零和点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则的值为（  ）． A. B. C. D. C层（综合层）- 解析式求解与顶点问题 9. 抛物线交轴于点、，交轴于点，其中点坐标为，同时抛物线还经过点． (1) 抛物线的解析式为　　　　　　　　　　　　　　． (2) 设抛物线的对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，连接、，将抛物线向下平移个单位，当平分时，则的值为　　　　　　　　　　　　　． 10. 已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． (1) 点的坐标为　　　　． (2) 将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相较于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为　　　　． 11. 已知抛物线经过，两点，且、两点在该抛物线对称轴同侧． (1) 若抛物线经过，则　　　　． (2) 若时，，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（和是常数）与轴交于点，，与轴交于点，且，．     (1) 求，的值． (2) 如图，点是直线下方抛物线上的一点（不与点，重合），过点作轴于点，与交于点．若，求点的坐标． (3) 当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值与最小值的差为，求此时的值． D层（应用层）- 实际问题与建模 13. 体育课上，同学们在老师的带领下，设计了一种抛小球入箱的游戏．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，小球从点处抛出，小球的运动轨迹为抛物线：，无盖木箱的截面图为矩形，其，，且在轴上，．已知当小球到达最高点时，高度为，与起点的水平距离为． (1) 求抛物线的表达式． (2) 请通过计算说明该同学抛出的小球能否投入箱内． (3) 若该小球投入箱内后立即向右上方弹起，沿与抛物线形状相同的抛物线运动，且最大高度可达，则该小球能否弹出箱子？请说明理由． 14. 在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，乙种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，其中，均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋元，乙种有机产品的成本为每袋元． (1) 当甲种有机产品的销售单价为元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ (2) 当乙种有机产品的销售单价为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 15. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为元/千克，根据市场调查发现，每天可销售千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低元． (1) 写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系．当降价元时，工厂每天的利润为多少元？ (2) 当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3) 若工厂每天的利润要达到元，并让利于民，则定价应为多少元？ 16. 如图①为某悬索桥的示意图，其两座桥塔间的主索的形状近似于抛物线，桥塔与锚锭间的主索形状近似于直线，吊索间距均为米，桥塔和吊索均与水平桥面垂直．如图②，已知桥塔和的高度为米，水平桥长为米，桥塔间的主索最低点距桥面米，锚锭，到桥塔，的距离均为米，，，，四点共线，以为轴，的垂直平分线为轴（恰好经过点），建立平面直角坐标系． (1) 求该抛物线的表达式． (2) 为了满足桥梁的使用安全性，长度不小于米的吊索需要使用密度更高、抗风性能更好的新型吊索，求这座悬索桥所需新型吊索的数量． (3) 对桥梁进行维护检修时，发现需要在桥塔左右的主索上各加一条竖直钢索进行加固，要求桥塔左右的加固钢索相距米，则最少需要准备加固钢索多少米？ E层（拓展层）- 综合探究与压轴题 17. 已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大． (1) 求的值． (2) 点在抛物线上，点在抛物线上， ①若，且，，求的值； ②若，求的最大值． 18. 如图，抛物线：与轴交于，两点，与轴交于点，点为动点，且，过点作于点，交抛物线于点，交直线于点． (1) 求抛物线的表达式及顶点坐标． (2) 若，求的值． (3) 平移抛物线：使其顶点为点，设平移后的抛物线在轴上方的部分记为图象，若图象始终在抛物线的下方，求的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，在第二象限内的抛物线上，与交于点，与轴交于点． (1) 求，的值． (2) 若，求点的横坐标． (3) 记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线． (1) 抛物线的对称轴是　　　　　　　　；抛物线的顶点坐标为　　　　． (2) 设该抛物线与直线的一个交点为，其横坐标为，若，求的取值范围． (3) 我们规定若函数图像上存在一点，满足，则称点为函数图像上"圆满点"．例如：直线上存在的"圆满点"，若抛物线上存在唯一的"圆满点"，求此时的面积． 作业说明 A层（基础层） ：适合基础较薄弱的学生，主要练习二次函数的基本概念、图像特征和简单性质判断。 B层（提高层） ：适合基础扎实的学生，重点练习二次函数图像分析、参数关系判断和函数性质应用。 C层（综合层） ：适合能力较强的学生，主要练习二次函数解析式的求解、顶点坐标计算和参数范围问题。 D层（应用层） ：适合综合能力强的学生，重点练习二次函数在实际问题中的应用和数学建模。 E层（拓展层） ：适合优秀学生，主要练习二次函数的综合探究、动点问题和压轴题型。 建议使用方法： 1. 学生可根据自己的实际水平选择相应层次的题目练习 2. 也可以从A层开始，逐层递进，全面提升 3. 教师可根据学生情况灵活组合不同层次的题目 参考答案与解析 1. D 2. D 二次函数，， 该函数图象开口向上，有最小值． 故选：D． 3. D 将抛物线向右平移3个单位或向左平移一个单位后都经过点， 抛物线经过点和， 4. A 题目给出的抛物线方程为，且抛物线经过点和。由于，说明和是两个不同的点，且它们的纵坐标相同，因此这两个点关于抛物线的对称轴对称。抛物线的对称轴为，因此点和的横坐标和关于对称。根据对称性，可以得到：将点代入抛物线方程：化简得：因此：将代入上式：即：由于，所以只能取负号：解得：将代入得：又因为（因为且），所以：因此，的值为。但题目要求的是的具体值，我们可以通过对称性进一步验证。由于和关于对称，且的横坐标为，所以对称轴应为：将代入抛物线方程验证点：验证成立。因此，的值为，但题目选项中没有，说明需要进一步分析。实际上，题目中是一个常数，而是变量，因此需要消除。从和可以得到：这说明的值与无关，且可以是任意满足的值。但题目要求的是的具体值，因此需要重新理解题意。实际上，题目中是抛物线的顶点横坐标，且抛物线经过和两点。由于和的纵坐标相同，且，说明和关于对称轴对称。因此，对称轴应为和横坐标的中点：将代入抛物线方程：解得：由于，代入得：因为，所以取负号：因此，。但题目中是一个确定的常数，而是变量，因此需要进一步分析。实际上，题目中的值可以通过选项验证。将选项A（）代入：验证点：成立。验证点即：成立。因此，的值为，对应选项A。 5. A 抛物线开口向上， 对称轴为直线， ， ， ，， 反比例函数的图象位于第二，四象限，故D错误． 抛物线与轴的一个交点在到之间， 当时，，即， ， 一次函数经过第一，二，三象限且经过点， 故B、C错误，A正确. 故选：A. 6. C 与一次函数：的图象的交点、的横坐标分别为，， 当或时，， 一元二次方程的解为，． 故选：C． 7. D ①抛物线的对称轴为直线，即对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴交点在负半轴上， ， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 故②不正确； ③抛物线（，，为常数，）经过点， ， ， ， 故③正确； ④， ， ，易知抛物线经过， 当时，无论，取何值，抛物线一定经过， 故④正确； ⑤， ， ， ，即， 故⑤正确； 本题正确的有：①③④⑤，共个． 故选：D． 8. A 根据题意，点的横坐标与纵坐标之和为零，即。将二次函数代入，得到方程：化简得：由于二次函数的图象上有且只有一个"零和点"，说明该方程有且仅有一个实数解，即判别式。计算判别式：解得：因此，的值为，对应选项A。 9. (1) (2) 或 10. (1) (2) 11. (1) (2) 或 12. (1) 解： ， ，， ． 把代入， 得，解得． ，的值分别为；． (2) 解：由上一小问知抛物线的解析式为． 设，则． 由，，得直线的解析式为， ， ，． ， ， 整理，得， 解得，（舍去）． 当时，， ， 即当时，点的坐标为． (3) 解：由第一小问知抛物线的解析式为，则该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 当时，， 当时，． 当即时，函数的最小值是，函数的最大值是， ， 解得； 当时，函数的最小值是，函数的最大值是， ， 解得； 当时，函数的最小值是，函数的最大值是， ， 解得（舍去），（舍去）； 当时，函数的最小值是，函数的最大值是， ， 解得（舍去），（舍去）； 综上所述，此时的值为或． 13. (1) 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， ，， ， 把代入得， 解得， ． (2) 解：当时， ， 该同学抛出的小球能投入箱内． (3) 解：设抛物线的表达式为， 把代入得， 解得，， ， 该小球能弹出箱子． 14. (1) 解：甲销售单价为时，乙销售单价为元 ，． 甲乙两种有机产品每天的销量分别为袋和袋． (2) 解：由得，设两种产品每天总利润为元， 则 整理得， 当乙种有机产品的销售单价为时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是元． 15. (1) 解：由题意得： ， 时，（元）， 答：工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系为，当降价元时，工厂每天的利润为元． (2) 解：由上一小问得：， ， 时，最大为， 答：当降价元时，工厂每天的利润最大，最大为元． (3) 解：根据题意得： 解得：，， 让利于民， 不合题意，舍去， 定价应为（元）， 答：定价应为元． 16. (1) 解：， ， ， 点的坐标为， 如图，设轴与交于点， 主索最低点距地面米，即，， ， ， 设抛物线的表达式为， 将，分别代入， 得，解得， 抛物线的表达式为． (2) 解：长度不小于米的吊索需使用新型吊索，即新型吊索的长度米， 新型吊索上端到轴的距离（米），将代入，解得或， ， 横坐标为的点与桥塔的距离为（米）， 吊索间距均为米，桥塔处不需要安装吊索， 在轴右侧所需新型吊索的数量为（根）， 根据抛物线的对称性，可得在轴左侧所需新型吊索的数量为根， （根）， 这座悬索桥所需新型吊索的数量为根． (3) 解：，，关于轴对称， ， ，， ， 设直线的表达式为， 将，分别代入， 得，解得， 直线的表达式为， 如图，设，则． 桥塔左右的加固钢索相距米， ，， ， ， ， ， 当时，取最小值，最小值为． 最少需要准备加固钢索米． 17. (1) , 的顶点为， 抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大， 抛物线（为常数）的顶点横坐标为， ， ． (2) 由（1）得 点在抛物线上，点在抛物线上， ,， 整理得： ①， ， 整理得：， ，， ， ； ②将代入， 整理得， ， 当，即时，取得最大值为． 18. (1) 解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； ， 顶点坐标为． (2) 解：在中，令得， ， 由，得直线解析式为， 点， ，， ， ， 解得：或（舍去）， 的值为． (3) 解：如图： 由（2）知， 平移后的抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：或（舍去)； 把代入得： ， 解得：或（舍去）， 由图可知，当时，图象始终在抛物线的下方． 19. (1) 解：，代入抛物线， 得， 解得：，． (2) 解：如图，易求直线为，设，则， ， ， 再中，， 解得：， 直线：， 解方程组， 得． 即点的横坐标为． (3) 解：有最大值． 如图，过作轴的平行线交于，过作轴的平行线交的延长线于，则，即， ， ， ， ， 易得抛物线为， 设，，， ， ， 即的最大值为． 20. (1) 直线， (2) 解：抛物线的顶点在直线上，且点的横坐标满足， 根据题意：对于， 当时，； 当时，； 对于， 当时，； 当时，， ， ， 解得． (3) 解：点，满足， 点在直线上运动， 根据题意得：， 即中 ， 解得， ， ， ， ，， 直线：， ． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $