精品解析：河南省许昌市襄城高中、洛阳市孟津一高创新班2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题

2025-2026学年第一学期高一12月联考 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的单调递增区间是 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 设，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 下图是函数的部分图象，则的单调递增区间为______． 13. 已知单位向量，满足，则的最小值为______. 14. 已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知θ是第二象限角，，求： （1）； （2）. 17. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 18. 已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为 （1）求函数的解析式，并求其对称轴方程； （2）将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值． 19. 对于函数，若存在实数，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数．已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． （1）若，求的解析式； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一12月联考 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定判断即可. 【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：. 2. 已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域，结合要求的函数形式，列出满足条件的定义域关系，求解即可. 【详解】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足 ，解得. 故选：B. 3. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 4. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决. 【详解】由题知，， 所以， 设与夹角为， 所以在上的投影向量是， 故选：B 5. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知为偶函数，且在内单调递增，进而根据函数性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，且， 可知为偶函数，则， 又因为当时，在内单调递增， 且，， 可知，所以. 故选：D. 6. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即可 【详解】函数的定义域为， 且， 因此函数是上的奇函数，图象关于原点对称，选项AB不满足； 当时，，则，， 所以，选项C不满足，D满足． 故选：D． 7. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的单调递增区间是 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 【答案】D 【解析】 【分析】应用三角恒等变换化简，结合正弦型三角函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】， 由，则， 当，即时，取最大值为3，A错； 由正弦函数的单调性，知和， 即和时，单调递增，B错； ，但不关于对称，C错； 令，则，又， 所以或或，即或或， 故所有公共点的横坐标之和为，D对. 故选：D 8. 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或CB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案. 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 10. 设，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用，逐项求解即得. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确． 故选：ACD 【点睛】方法点睛：运用基本不等式求最值，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 11. 如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先确定点点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质 ，建立关于 的等式，利用平方差公式化简得到 ，再通过均值不等式可得 ，最后分析选项得出结论. 【详解】依题意，当 时， 在 图象下方， 所以在 图象上， 在 图象上， 所以 ， ， ， 又因为四边形为平行四边形， 所以 ，即 ，即 ， 又因为 ，所以 ， . 故A正确， B错误. 由均值不等式 ，化简可得 ，当 时等号成立， 由于 ，故 ， D正确， C错误. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 下图是函数的部分图象，则的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象求出，令，求解即可求出答案. 【详解】根据图象得，，即，所以， 当时，，所以， 又，所以， 所以， 令，解得， 故的单调递增区间为． 故答案为：. 13. 已知单位向量，满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件求出的值，即可求出的最小值. 【详解】由题意， ，是单位向量， 由，得， ∴， 即，整理得， ∴或， ∵， ∴，∴， ∴. 故答案为：. 14. 已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则____________． 【答案】64 【解析】 【分析】利用换元法可得到，再根据得到两根，利用数形结合从而可求解. 【详解】令，则，由可化为，∵，∴， 即必有两个不同的根，，且， 故，异号，设为负，为正，结合题意，可画出大致示意图如下： 由图可知，即有唯一解， 即有两个解，，且，故 ， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是采用换元法，设，转化为二次方程根的问题，再结合对数函数和一次函数图象与性质，最后利用韦达定理代入计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再将代入集合，求出集合中元素范围，进而可得； （2）求出集合（含参数），由，得到，求实数的取值范围. 【详解】（1）， 所以， 当时，， 所以； （2）， 因为，即， 所以或，解得或， 故所求实数的取值范围为. 16. 已知θ是第二象限角，，求： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，求得，结合三角函数的基本关系式，即可求解； （2）由（1）知，根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简为齐次式，即可求解. 【详解】（1）由题意，角是第二象限角，且， 可得，可得，所以， 所以， 因为是第二象限角，可得. （2）由（1）知， 又由 . 17. 在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）﹒ 【解析】 【分析】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【小问1详解】 在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； 【小问2详解】 ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 18. 已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为 （1）求函数的解析式，并求其对称轴方程； （2）将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值． 【答案】（1），， （2），50 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得，再结合最值及周期即可得解析式； （2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为，则，再求最值即可. 【小问1详解】 ，所以， 因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为， 故， 令， 【小问2详解】 向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到， 将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到 游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了， 令，则， 则，，，，故， 当或或20时， 19. 对于函数，若存在实数，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数．已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，． （1）若，求的解析式； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用型函数的定义得到关键等式，结合已知函数在区间上的具体形式与给定的特殊点函数值，求出参数，再根据对称关系求得定义域另一侧的解析式； （2）将不等式恒成立问题通过换元转化为二次函数在给定区间上的最值问题，分别讨论和两种情形，利用对勾函数的单调性确定参数需满足的条件，最终得到取值范围. 【小问1详解】 因为是型函数，所以， 当时，，又，所以； 令，得， 若，则， 又当时，， 所以， 解得，所以当时，； 当时，， 所以． 综上，. 【小问2详解】 因为是型函数，所以， 当时，，又，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则当时，恒成立，所以恒成立， 而函数在上单调递增，则， 当且仅当时取等号，所以； 当时，， 则， 由，得， 令，则当时，， 又，因此只需在时恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时取等号，所以， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $