第45讲：排列组合13个题型归纳讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦排列组合与计数原理核心考点，按“基础原理-方法技巧-综合应用”逻辑梳理13类高考高频题型，通过考点精析、解题策略提炼、真题典例精讲及分层训练，帮助学生构建系统知识网络，突破分类分步、捆绑插空等难点。 讲义以“题型-策略-应用”三步教学法为特色，如相邻问题用捆绑法建模、不相邻问题用插空法推理，培养学生数学思维与模型意识。精选近3年高考真题及模拟题分层设练，配合即时反馈设计，助力学生高效掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

2025-2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第45讲：排列组合题型归纳】 总览 题型梳理 一.分类加法与分类乘法 1.分类加法计数原理 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法. 3.两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理。如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才算完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理. 二.排列与组合 1.排列问题 (1)定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数的公式： 特例：当时，；规定. (3)排列数的性质： ①； ②； ③. (4)解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊条件（特殊位置，特殊元素）. 2.组合问题 (1)定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式及其推导 从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数. 根据分步计数原理，得到；因此 这里，且，这个公式叫做组合数公式. 因为，所以组合数公式还可表示为： 特例：. （3）组合数的主要性质： ① ② （4）组合应用题的常见题型： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. 如：从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法？ 由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目要求，故有种不同的选法. ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法？则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:分类加法与分步乘法的综合】 【解题策略】 核心逻辑：明确“分类”与“分步”的本质区别，分类是完成事件的多种独立途径，用分类加法计数原理；分步是完成事件的多个关联步骤，用分步乘法计数原理. 公式规范： 分类加法计数原理： 分步乘法计数原理： 技巧要点：分类时需保证“不重不漏”，每类方法相互独立；分步时需保证“步骤完整”，各步骤相互依存. 【多选题】（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ）经典例题例题 A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 【答案】BC 【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解． 【详解】对于A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； 对于B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 对于C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 对于D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 负责语文且B负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有种方法，最后1人去语文或数学有种方法，方法数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为 ； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D错误. 故选：BC． （2025·新疆·模拟预测）5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有 种.小试牛刀1 【答案】243 【分析】根据分步乘法计数原理，直接求出结果即可. 【详解】由题意可知5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，共有种不同方法. 故答案为：243. （2025·四川成都·模拟预测）甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有 种.小试牛刀2 【答案】420 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理及排列组合的计算方法求解即可. 【详解】甲、乙选看的电影中最多有1部相同包括： （1）两人选看的电影均不相同，不同选法有（种）； （2）两人选看的电影有且仅有一部相同，不同选法有（种）， 不同的选法总共有（种）. 故答案为：420. （2025·四川自贡·一模）如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ）小试牛刀3 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式求解. 【详解】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种， 元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 故选：B 【题型2：组合数的性质】 【解题策略】 性质1：，用于简化计算，当时，转化为计算可大幅减少运算量. 性质2：，用于组合数的递推与恒等式化简，常结合求和或证明问题使用. （2025·湖南邵阳·模拟预测）已知的展开式中的系数为126，则（    ）经典例题例题 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】由题意有的系数为 ，解得. 故选：B. （2025·江苏·模拟预测）已知，若，，则（   ）小试牛刀1 A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【分析】先求，根据组合数的性质求，进而可得最值. 【详解】由题意可知：， 且， 可得，其中， 且，根据组合数的性质可知当，即时，取到最大值， 若，所以. 故选：A. （24-25高二上·河南南阳·期末）若，则 ．小试牛刀2 【答案】2 【分析】根据组合数的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，且，解得， ∵，∴或， 解得（舍去）或． 故答案为：2. （2024·湖南衡阳·模拟预测）数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算 .小试牛刀3 【答案】 【分析】令，结合得到，倒序相加求出答案. 【详解】令， 则有， 结合可有， 倒序相加法得， ，， 即. 故答案为：. 【题型3：一般的组合问题】 【解题策略】 核心公式：从个不同元素中取出个元素的组合数为 技巧要点：明确“组合无顺序”的本质，若问题仅要求“选取”而非“排列”，直接使用组合数公式；需排除隐含的重复计数情况，尤其是“含”与“不含”类问题. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）．经典例题例题 A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．小试牛刀1 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. （25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ）小试牛刀2 A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【分析】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． （2025·陕西·模拟预测）某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为（   ）小试牛刀3 A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【分析】首先分别计算从男生中选7人的选法种数和从女生中选11人的选法种数，然后根据分步乘法计数原理，将这两个结果相乘即可得到总的选法种数. 【详解】根据题意，从男生中选7人的选法种数为： . 从女生中选11人的选法种数为： . 所以总的选法种数为：. 故选：B. 【题型4：特殊元素/特殊位置优先】 【解题策略】 核心策略：优先处理具有约束条件的元素或位置，再计算剩余元素的排列/组合方式. 公式规范：若有个特殊元素，先对特殊元素排列有种方法，再对剩余个元素排列有种方法，总方法数为. 技巧要点：识别“特殊元素”（如“甲必须入选”）与“特殊位置”（如“首位不为0”），优先固定约束条件，再拓展到整体计数. （2026·陕西西安·一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【详解】若甲跑第1棒，剩余3棒需要从5人中选3人安排，分为三种情况： 乙，丙均不参加，此时有种安排方案； 乙，丙有且仅有一人参加，此时有种安排方案； 乙，丙均参加，此时有种安排方案； 若甲跑第4棒，第1棒只能从去除乙，丙，丁后的2人中选择，第2,3棒从剩余的4人中安排即可，此时有种安排方案； 由分类计数原理可得，共有种安排方案. 故选：B （2025·湖北·模拟预测）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种.小试牛刀1 【答案】 【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 故答案为：. （2025·广东·模拟预测）3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（    ）种．小试牛刀2 A．36 B．108 C．120 D．144 【答案】D 【分析】分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可． 【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种， 所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种， 最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种． 故选：D． （25-26高三上·广东·月考）某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（    ）小试牛刀3 A．20种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】C 【分析】分甲值一天班和甲值两天班两种情况，结合甲不安排在第一天值班分类讨论求解即可. 【详解】若甲值一天班且甲不安排在第一天值班，则甲有种安排方式， 则剩下三天安排乙、丙2人值班，则其中有一人需安排值两天班， 则乙、丙2人有种安排方式， 此时甲、乙、丙3人共有种安排方式； 若甲值两天班且甲不安排在第一天值班， 先从乙、丙2人中选择一人安排在第一天值班，则有种安排方式， 再安排乙、丙2人中剩下的一人与甲值剩下三天班且甲值两天班， 有种安排方式，此时共有种安排方式； 综上，共有种安排方式. 故选：C 【题型5：相邻捆绑法与不相邻插空法】 【解题策略】 相邻捆绑法 核心逻辑：将相邻元素视为一个“整体”，先对整体与其他元素排列，再对整体内部元素排列. 公式规范：若个元素相邻，整体排列数为，内部排列数为，总方法数为. 不相邻插空法 核心逻辑：先排列无约束的元素，再在其产生的空隙中插入不相邻元素. 公式规范：先排个无约束元素有种方法，产生个空隙，插入个不相邻元素有种方法，总方法数为. （2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有 .（用数字作答）经典例题例题 【答案】192 【分析】先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减即是结果. 【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. （2025·辽宁·模拟预测）某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为（   ）小试牛刀1 A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】D 【分析】先排1名司机，2名医生，分为三类，再将护士插空，求出每种情况下的排法，相加得到答案. 【详解】先排1名司机，2名医生有：①医生、司机、医生；②司机、医生、医生；③医生、医生、司机，共三类. 对于①，3名护士随意插空有种排法，2名医生交换位置有种排法， 所以共有种排法； 对于②，3名护士先选1人插入2名医生之间有种排法， 再在余下的3个空中插入余下的2名护士有种排法， 2名医生交换位置有种排法，所以共有种排法； 对于③，显然和②有相同的排法数. 综上，共有48+2×36=120种. 故选：D （2025·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ）小试牛刀2 A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】A 【分析】利用插空法可求不同的排列方法. 【详解】先排饮食文化展板，有一种放置方法； 再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法； 再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法， 故共有种放置方法， 故选：A. （2025·贵州黔南·三模）有个空置车位排成一排，每个车位只能停放一辆车，现将3辆不同的车停放在车位上，若3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数相等，则 （用数字作答）.小试牛刀3 【答案】 【分析】假设辆车自带了车位，利用插空法和捆绑法求出3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数，即可得到方程，解得即可. 【详解】假设辆车自带了车位，余下还有个车位，产生了个空位， 现将辆车插空，则有种停放方法，使得3辆车互不相邻； 又恰有2辆车相邻，将两辆车捆绑作为一组，另外一辆车作为一组，则有种方法， 再两组车将插到个空位，则有种停放方法， 所以有种停放方法，使得恰有2辆车相邻， 依题意可得， 即，依题意，解得. 故答案为： 【题型6：平均分组与部分平均分组问题】 【解题策略】 平均分组 核心逻辑：将个元素分成组且每组元素个数相等时，需除以组数的全排列以消除重复计数. 公式规范：若，则分组数为 部分平均分组 核心逻辑：仅部分组元素个数相同时，仅对个数相同的组除以其全排列. 技巧要点：先按组合数完成分组，再对重复的组进行除序，避免因分组无顺序导致的重复计数. （2026·山东·一模）现把7名同学分为三个学习小组，若其中的一个小组有3人，其余两个小组各有2人，则所有不同分组方法的种数是（    ）经典例题例题 A．210 B．175 C．105 D．70 【答案】C 【分析】结合分步乘法计数原理和组合数方法即可得答案. 【详解】由题意可以分三步计算： 1. 第一步：从7名同学中选3人组成第一组，选法数为：； 2. 第二步：从剩下的4人中选2人组成第二组，选法数为：； 3. 第三步：剩下的2人自动组成第三组，选法数为：； 因为后两个小组人数都是2人，它们之间没有顺序，所以要除以来消除重复， 即总的分组方法有. 故选：C （2026·河北沧州·一模）现有五个数学师范生拟到某学校实习，学校指定甲、乙、丙三个老师担任指导．若要求每名师范生安排且只可以安排一名指导老师，每个老师至少安排指导一名师范生，则不同的安排方法数是（   ）小试牛刀1 A．243 B．150 C．90 D．30 【答案】B 【分析】根据题意先将5个师范生分为3组，再分配给3位老师，再计算总安排方法数即可. 【详解】先把五个数学师范生分为三组，每组至少一名，有两种分法： 分法1：两组各1人，一组3人，分组数：（除以是因为两个1人组无顺序）， 分法2：两组各2人，一组1人，分组数：， 总分组数：. 将3组分配给3位老师，有种方法. 所以总安排方法数为. 故选：B． （25-26高二上·辽宁大连·期末）甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）小试牛刀2 【答案】60 【分析】利用间接法可求得甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位的分配方法数. 【详解】甲、乙、丙、丁等6名大学生被平均分到三个单位有. 其中甲、乙在同一个单位的分法有种， 丙、丁在同一个单位的分法有种， 甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有种， 故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有. 故答案为：. （25-26高二上·辽宁沈阳·期末）《熊出没》里的森林小镇要办“环保小卫士”活动，光头强要将6名森林小伙伴分成三组，分别去树洞回收站、草地清洁区、小溪护水点这3个区域帮忙，每个区域安排一组，且每组最多3名小伙伴，则不同的分组安排方法种数为（   ）小试牛刀3 A．900 B．600 C．450 D．150 【答案】C 【分析】利用分组分配法可求解. 【详解】将6名森林小伙伴平均分成三个组有种不同的分法， 再将三个组的森林小伙伴分到树洞回收站、草地清洁区、小溪护水点这3个区域有种不同的分法； 将6名森林小伙伴不平均分成三个组有种不同的分法， 再将三个组的森林小伙伴分到树洞回收站、草地清洁区、小溪护水点这3个区域有种不同的分法； 综上所述：不同的分组安排方法种数为. 故选：C. 【题型7：分组分配问题】 【解题策略】 先分组后分配：先将元素分成指定组数（无顺序），再将组分配到不同位置（有顺序），总方法数为“分组数”（为组数）. 直接分配：若分配位置有明确数量要求，直接用组合数与排列数结合计算，无需单独分组. 技巧要点：区分“分组”（组无顺序）与“分配”（组有顺序），分配时必须考虑组的排列顺序. （2025高二上·全国·专题练习）三所医院派出5名医生到乡镇卫生院指导，要求每所医院至少派遣一名医生，则不同的派出方法有（    ）经典例题例题 A．300种 B．150种 C．120种 D．90种 【答案】B 【分析】根据题意，先选后排.①先选，将5名医生分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案. 【详解】根据题意：分两步计算 （1）将5名医生分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2； ①分成1，1，3三组的方法有， ②分成1，2，2三组的方法有， 所以，一共有种分组方法； （2）将分好的三组全排列有种方法，则不同的派出方法有种. 故选：B. 【多选题】（25-26高二上·山东·月考）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ）小试牛刀1 A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 【答案】AB 【分析】考虑在各选项的条件下，3个人分书的本数可能的情况，结合平均分组以及不平均分组问题的解法求解各选项中的分法，即可求得答案. 【详解】若刚好每人分到3本书，则有种不同的分法，故A正确； 若每人至少分到2本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故B正确； 若刚好有1人只分到1本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故C不正确； 若每人至多分到4本书，则3人分书的本数可能是，，， 所以有种不同的分法，故D不正确． 故选：AB （25-26高二上·甘肃兰州·期末）兰大附中计划开展“学长经验分享会”，要将6名优秀毕业生分配到高一、高二、高三3个年级进行经验宣讲，要求每个年级至少有1名，至多有3名，则不同的分配方案共有（   ）小试牛刀2 A．360种 B．450种 C．540种 D．900种 【答案】B 【分析】利用先分组再分配原则解决即可. 【详解】6名毕业生分配到3个年级，每个年级至少有1名，至多有3名，可分为两类： ①各年级人数分别为1，2，3： 先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个年级，方法数为种； ②各年级人数均为2： 先将6人平均分为三组，再分配到3个年级，方法数为种， 所以所求方案共有种方法． 故选：B （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）小试牛刀3 A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】根据题意，先将5名教师志愿者分为4组，再将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分2步进行： ①将5名教师志愿者分为4组，有种分组方法， ②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有种情况， 则有种分配方案. 故选：C 【题型8：相同元素分配中隔板法】 【解题策略】 基础模型：个相同元素分给个不同对象，每个对象至少1个元素，方法数为. 变形模型：若允许对象为空，先给每个对象补1个元素转化为“至少1个”的基础模型，方法数为. 技巧要点：确保元素相同、对象不同，转化为隔板模型时需验证边界条件（如“至少1个”或“允许为空”）. （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有 组．经典例题例题 【答案】21 【分析】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空，利用隔板法结合组合数运算求解. 【详解】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空， 则8个球有7个空，7个空中插入2个隔板，共有种不同选择， 所以原方程共有21组解. 故答案为：21. （25-26高二上·辽宁·期末）将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种.小试牛刀1 【答案】24 【分析】先从4个盒子中选出3个用于放置小球，再将5个完全相同的小球放入这3个选出的盒子中，且每个盒子至少放1个，再利用插板法或分类讨论法计算放法总数. 【详解】解法一：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，需要两个“隔板”， 所以分配方案共有种情况， 所以总方法数为种； 解法二：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，共有2种情况， ①从3个盒中选1个放3个球，剩余两个盒各放1个，共有种， ②从3个盒中选1个放1个球，剩余两个盒各放2个，共有种， 所以总方法数为种； 故答案为：24 （24-25高二下·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ）小试牛刀2 A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A （24-25高二下·青海西宁·期末）已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解.小试牛刀3 A．171 B．190 C．342 D．380 【答案】A 【分析】先将题目问题进行转化；再利用隔板法进行求解. 【详解】因为x，y，z均为正整数， 所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种. 故选：A 【题型9：定序问题除序法】 【解题策略】 核心逻辑：若个元素中有个元素的相对顺序固定，需除以这个元素的全排列以消除重复. 公式规范：总排列数为. 技巧要点：识别“相对顺序固定”的条件（如“甲必须在乙左侧”），直接用除序法简化计算，避免复杂分类. （25-26高二上·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ）经典例题例题 A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 【答案】D 【分析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D （24-25高二下·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ）小试牛刀1 A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 【答案】A 【分析】将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列，定序问题用倍缩法可得结果. 【详解】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列. 因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种. 故选：A. （24-25高二下·陕西榆林·月考）高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ）小试牛刀2 A．42 B．30 C．21 D．15 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用定序法列式计算得解. 【详解】7位同学排成一排照相，共有种排法，原来5位同学的排列方法有种， 所以保持原来5位同学的相对顺序不变的排法种数为. 故选：A （23-24高二下·广东中山·月考）某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ）小试牛刀3 A．150 B．300 C．900 D．450 【答案】D 【分析】先从后排6人中抽出两名同学，再根据定序问题求解即可. 【详解】首先从后排的6人中选出2人，有种结果， 然后与前排4人排列，有种排法， 因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排， 所以共有种调整方法. 故选：D. 【题型10：染色问题分类法】 【解题策略】 核心策略：按颜色使用数量或相邻区域的颜色关系分类，逐步计算每类的方法数. 技巧要点：优先染色相邻区域最多的起始区域，再依次染色相邻区域，分类讨论颜色是否重复；结合分步乘法计数原理计算每类的方法数，避免遗漏颜色组合. （2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ）经典例题例题 A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【答案】B 【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）小试牛刀1    A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】C 【分析】根据分类相加计数原理，先分四种颜色都用和只有三种颜色两种情况，再根据分步乘法计数原理，将涂色过程分成若干步，每一步确定一个区域的颜色，再根据相邻区域不同色的条件，确定每一步的涂色方案数，最后将各步方法数相乘得到总的涂色方案数. 【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4， （1）四种颜色都用： 先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1， 再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2， 再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3， 若区域填涂颜色2，则区域填涂颜色1、4或4、3， 若区域填涂颜色4，则区域填涂颜色1、3或4、3， 共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有种不同的涂法. （2）四种颜色只用其中的三种颜色： 即当同色，同色，同色，共有种不同的涂法. 综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有种不同涂法. 故选：C （2025高三·全国·专题练习）在如图所示的6块区域中，用4种颜色填涂，且相邻区域不同色，不同的染色方法有 种.小试牛刀2 【答案】 【分析】通过分类加法计数原理，分同色和异色两类，每一类再分步计算得到. 【详解】分两类完成： ①当同色时，有4种颜色可供选择，此时有3种，有2种，有2种，有1种，由乘法原理可得共有48种． ②当异色时，不同颜色的选法有种，此时有2种，有1种． 若同色，则有2种； 若异色，则有1种． 由乘法原理可得，故不同的染色方法有72种. 由加法原理得一共有种. 故答案为：. （24-25高二下·陕西铜川·期末）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种.小试牛刀3 【答案】4410 【分析】根据分步乘法原理及分类加法原理计算求解. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、， 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种. 故答案为：. 【题型11：数字的排列问题】 【解题策略】 核心逻辑：关注数字的特殊约束（如首位不为0、奇偶性、倍数特征等），优先处理约束位置. 技巧要点：按“特殊位置（如首位、个位）→其他位置”的顺序排列，结合分类加法处理多约束条件；若涉及0的排列，需确保首位不为0. 公式规范：若首位不为0，先排首位有种方法，再排其他位置有种方法，总方法数为. （25-26高三上·湖南·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个.经典例题例题 【答案】167 【分析】以百位数为3和小于3两种情况分析即可求解. 【详解】当百位数小于3时，共有个； 当百位数为3，十位数小于2时，此时共有个； 当百位数为3，十位数为2时，共有个. 综上所述，共有个. 故答案为：167 （25-26高二上·甘肃兰州·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数 ．小试牛刀1 【答案】个 【分析】组成小于的正偶数，可以是一位数、两位数、三位数、四位数，再分类计算，即可得出结论. 【详解】有一位正偶数时，可选、， 当有两位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有三位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有四位正偶数时，首项为时，由种， 首位为时，只有符合条件，所以共有种. 故答案为：个. （24-25高二下·湖北孝感·月考）有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数 .小试牛刀2 【答案】38 【分析】先根据取出的张卡片中重复数字的可能情况讨论取到哪些数字，再将取出的数字排列. 【详解】根据题意，分种情况讨论： ①取出的张卡片中有且只有对数字重复，则个重复的数字为或， 若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况， 若重复的数字为，另两个数字为、，有种情况，共有种； ②若取出的张卡片为张和张， 在个位置安排两个，有种情况，剩余位置安排两个，则可以排出个四位数 ③取出的张卡片中有个重复数字，则重复的数字为， 在、中取出张卡片，有种取法，安排在四个位置中的一个，有种情况，剩余位置安排，可以排出个四位数； 则一共有个四位数． 故答案为． （25-26高三上·浙江·月考）用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有 个.（用数字作答）小试牛刀3 【答案】60 【分析】应用分类分步计数原理求四位数的个数. 【详解】若四位数中没有2，共有个， 若四位数中有1个2，共有个， 若四位数中有2个2，共有个， 因此共有60个. 故答案为：60 【题型12：排列组合综合问题】 【解题策略】 核心策略：拆解复杂事件为“分类”或“分步”结构，对每一步/类选择对应方法（如相邻用捆绑、不相邻用插空、特殊元素优先）. 技巧要点：逐步验证每一步的计数逻辑，避免重复或遗漏；结合多种基本方法（如捆绑+插空、优先+除序）解决多层约束问题. （2025·河北沧州·模拟预测）现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多 种.经典例题例题 【答案】380 【分析】根据组合数的定义及分步乘法原理求解. 【详解】由于甲是在6个球中一次性取出3个，从而不同的取法数有种； 对于乙，将小球平均分为A，B两堆有种方法， 而对于每一个给定的分堆方式，其取法数为， 所以乙的不同取法数为种，故乙的不同取法数比甲多380种， 故答案为：380. （2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ）小试牛刀1 A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】分两步完成，先分跳箱、再分药球，确定每一步的分法种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】分以下两步： （1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、， 所以，跳箱的分法种数为种； （2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、， 所以，药球的分法种数为种. 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种. 故选：B. （2024·河北·模拟预测）甲乙丙丁四位同学围成一圈玩传球游戏，通过掷骰子决定传球的次数，按照甲→乙→丙→丁→甲→乙→丙→丁→…的顺序循环，初始时球在甲手中，掷出几点就向后传几次球，若抛掷3次骰子后，球还在甲手中，则不同的掷骰子方法有 种.小试牛刀2 【答案】55 【分析】利用点数和为4的倍数则会传回甲手中，然后再利用分类思想计算即可得解. 【详解】按照甲→乙→丙→丁→甲→乙→丙→丁→…的顺序循环，初始时球在甲手中， 若要再次回到甲手中，则需要传球次数分别为，即4的倍数， 若要使得抛掷3次骰子后，球还在甲手中，则必需要使3次骰子的点数和为4的倍数， 利用分类思想可知： 第一类：3次骰子的点数和刚好为4， 即点数为两个1和一个2，故有种，此类共有3种； 第二类：3次骰子的点数和刚好为8， 即点数为两个1和一个6，故有种； 点数为一个1和一个2和一个5，故有种； 点数为一个1和一个3和一个4，故有种； 点数为两个2和一个4，故有种； 点数为两个3和一个2，故有种，此类共有21种 第三类：3次骰子的点数和刚好为12， 即点数为一个1和一个5和一个6，故有种； 点数为一个2和一个4和一个6，故有种； 点数为两个3和一个6，故有种； 点数为两个5和一个2，故有种； 点数为一个3和一个4和一个5，故有种； 点数为三个4，故有1种，此类共有25种； 第四类：3次骰子的点数和刚好为16， 即点数为两个6和一个4，故有种； 点数为两个5和一个6，故有种，此类共6种； 三个骰子的点数和最大是18，所以只有以上四类情形，共计有种， 故答案为：55. （2025·辽宁锦州·模拟预测）渤大附中校园景色优美，道路和楼宇的命名都蕴含着深远的意义，值得同学们在三年的时光里驻足留意.小陈､小张等6位即将毕业的同学在知博楼､君子路､红色文化广场､三到园4个标志性场所中各选择一个拍照留念，若每个地方至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一处地方拍照，且小陈､小张不在同一个地方拍照，则不同的拍照方式共有 种.（用数字作答）小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6人分为4组，要求小陈､小张不在同一组，分为3､1､1､1的四组，分为2､2､1､1的四组,②将四组安排在4座标志性建筑中拍照.然后求解. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将6人分为4组，要求小陈､小张不在同一组， 若分为3､1､1､1的四组，有种分组方法， 若分为2､2､1､1的四组，有种分组方法，则有种分组方法； ②将四组安排在4座标志性建筑中拍照，有种情况，故有种排法. 故答案为：. 【题型13：排列组合与概率综合】 （2025·四川成都·模拟预测）从中任选3个不同的数，这3个数按照从小到大的顺序排列后成等差数列的概率是 .经典例题例题 【答案】 【分析】求出从中任选3个不同的数的方法，再求出按从小到大的顺序排列后成等差数列的情况，利用古典概型的概率计算公式计算可得答案. 【详解】从中任选3个不同的数，有种方法， 按从小到大的顺序排列后成等差数列的有， 共12个， 因此所求概率为． 故答案为：． （2025·湖北·模拟预测）《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是 .小试牛刀1 【答案】 【分析】首先计算出任取个盲盒的取法总数；分类讨论求得满足题意的取法种数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从个盲盒中任取个盲盒，共有种取法； 抽取的盲盒中，包含哪吒，不包含龙王的取法有种；包含哪吒和一个龙王的取法有种； 任意抽取个盲盒，包含哪吒和至多一位龙王的概率. 故答案为：. （2025·云南大理·模拟预测）一个袋子中有形状、大小完全相同的个小球，标号分别为，从中有放回地随机取球，每次取个，共取次，将每次取出球的标号数字依次记为，则的概率是 .小试牛刀2 【答案】 【分析】首先确定从口袋中有放回地随机取次球的情况总数，采用列举的方式讨论所有的情况，结合组合数的运算可求得满足条件的基本事件个数，根据古典概型中概率的求法可求得结果. 【详解】从口袋中有放回地随机取次球，每次取个，则共有（种）情况； ①若，则等价于从任取个数，并按照从大到小的顺序赋给，则包含的基本事件个数为（个）； ②若，则等价于从中任取个数，并将取得的较大数赋于，较小数赋于，则包含的基本事件个数为（个）； ③若，则等价于从中任取个数，并将取得的较大数赋于，较小数赋于，则包含的基本事件个数为（个）； ④若，则等价于从中任取个数，并将其赋于，则包含的基本事件个数为（个）； 满足的基本事件个数共有：（个）， 所求概率. 故答案为：. （2025·河北邯郸·一模）记是从1，2，3，4，5，6，7中任取三个不同的数字构成的最大的三位数（例如：取1，2，3时，则为321）；是从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字构成的最大的三位数，则的概率为 .小试牛刀3 【答案】/0.7 【分析】利用组合数公式，求出的所有组合数量，再求出满足的取法数量，计算所求概率即可. 【详解】是从1，2，3，4，5，6，7中任取三个不同的数字构成的最大的三位数， 是从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字构成的最大的三位数， 则取得的共有种组合， 中有数字7时，都满足，有种组合， 中没有数字7时，则和都是从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字构成的最大的三位数， 共种组合， 其中满足的有种组合，满足的有种组合， 所以依题意取到的和中，的概率. 故答案为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 6．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 【答案】A 【分析】分两种情况，两人所选影片中，《抓娃娃》相同，不是《抓娃娃》相同，分别计算出相应的方案数，相加即可. 【详解】若两人所选影片中，《抓娃娃》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择， 再给乙从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案， 综上，共有种方案. 故选：A. 7．（24-25高三下·江苏·开学考试）从集合中任取三个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析和为3的可能性情况，结合组合数运算求解即可. 【详解】设集合，，， 任取三个数的和为3的倍数，分为两类情形，一类是从集合或取三个数，一类是从三个集合各取一个数， 所以概率是 故选：B. 8．（2025·福建福州·模拟预测）某活动现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活动场地，志愿者B不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 【答案】A 【分析】利用分类加法原理，结合排列组合知识计算即可． 【详解】根据题意，分2类讨论． 第一类，去甲活动场地，则在一起，都去甲活动场地， 将剩下4人分为2组，安排在乙、丙两个活动场地即可， 有（种）安排方法； 第二类，不去甲活动场地，则必去丙活动场地， 在剩下4人中选出2人安排在乙活动场地， 再将剩下2人分别安排到甲、丙活动场地， 有（种）安排方法． 根据分类加法计数原理，共有（种）安排方法． 故选：A. 9．（2025·山东枣庄·二模）子贡曰：“夫子温､良､恭､俭､让以得之”，“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 【答案】D 【分析】将字相同的卡片看成—组，从5组中选出—组，再从剩下4组，选出2组，在各取一张，得到4张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成—组， 第一步：从这5组中选出—组， 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选—张卡片， 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学， 所以不同的分配方案有种. 故选：D 二、填空题 10．（2025·福建厦门·三模）四个人排成一排，当相邻时，必须在的右边，那么不同的排法共有 种． 【答案】 【分析】采用插空法和捆绑法直接求解即可. 【详解】当A，B不相邻时，采用插空法，先排其余两人再让A，B插空， 共有种排法； 当A，B相邻时，将看作一个整体，并且在的右边， 相当于个人排队，则不同的排法有种； 所以共有种. 故答案为：. 11．（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率， 故答案为： 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 13．（2025·福建厦门·三模）6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为 . 【答案】 【分析】根据平均分组列式结合组合数及排列数计算再结合古典概型计算求解. 【详解】左、右两边的各6个绳头各自随机均分成3组， 共有种， 先选定左边第一条绳子的绳头，然后从左边剩下的5个绳头里任取一个打结， 然后按照从右边4个绳头里任取一个，从左边3个绳头里任取一个，从右边2个绳头里任取一个的顺序打结，一共有种， 所以6根绳子恰能围成一个大圈的概率为. 故答案为： 14．（24-25高二下·河北沧州·期中）某校高二年级有1～10共10个班级，有宋老师、齐老师、梁老师等5位数学教师，每位教师教两个班级，其中宋老师一定教3班，齐老师一定教8班，不教5班，梁老师至少教9班和10班中的一个班，则不同的排班方法有 种.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，按梁老师所教的班级，进行分类，利用排列数和组合数的计算公式，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】若梁老师教9班和5班，则齐老师可在1，2，4，6，7，10班中选一个班， 选完后宋老师再选一个班，再排其他老师的课，有种排法； 若梁老师教9班，则另一个班从1，2，4，6，7班中选， 再依次排齐老师、宋老师及其他老师的课，有种排法； 同理，若梁老师教10班，不教9班，则有种排法； 若梁老师同时教9班和10班，则依次排齐老师、宋老师及其他老师的课，有种排法. 由分类加法计数原理，所以不同的排班方法有种不同的安排方法. 故答案为：. 15．（2025·福建福州·模拟预测）从1，2，3，…，11这11个数中随机抽取3个互不相同的正整数，，，则能被4整除的概率为 【答案】 【分析】由题意知a，b，c中至少有1个数为偶数，分类讨论，求出对应的总数，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】考虑abc能被4整除的抽法： 由abc能被4整除可知，a，b，c中至少有1个数为偶数， 若a，b，c中恰有1个偶数2个奇数，则偶数须为4或8，不同的抽法有种， 若a，b，c中恰有2个偶数1个奇数，则不同的抽法有种， 若a，b，c均为偶数，则不同的抽法有种， 所以使abc能被4整除的不同抽法有种， 因此abc能被4整除的概率为， 故答案为：. 16．（2025·福建莆田·模拟预测）若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为 . 【答案】/ 【分析】先求出所有排列情况，再求出甲乙相邻的排列情况，用总排列情况减去甲乙相邻的排列情况得到甲乙不相邻的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人随机排成一排的总排列数为：种. 将甲乙看成一个整体，此时相当于有4个人随机排列，排列数为， 而甲乙两人之间又有种排列顺序. 根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：种. 所以，甲乙不相邻的排列数为种. 根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：. 故答案为：. 17．（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点到整点或的有向线段叫做一个T步，从整点A到整点B的一条T路是指由若干个T步组成的起点为A、终点为B的有向折线.则整点到整点的T步的条数为 .（结果用数字表示） 【答案】15 【分析】从整点到整点，记为上步，从整点到整点，记为下步，结合题意分析易得整点到整点的T步一共有6个，且上步有4个，下步有2个，进而结合组合知识求解即可. 【详解】由题意，从整点到整点，记为上步， 从整点到整点，记为下步， 不管上步还是下步，在一个T步上横坐标都增加1， 而上步纵坐标增加1，下步纵坐标减少1， 因此整点到整点的T步一共有6个， 且上步有4个，下步有2个， 因此整点到整点的T路的条数为. 故答案为：15. 18．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 【答案】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 19．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【答案】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 20．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 【答案】 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第45讲：排列组合题型归纳】 总览 题型梳理 一.分类加法与分类乘法 1.分类加法计数原理 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法. 3.两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理。如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才算完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理. 二.排列与组合 1.排列问题 (1)定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数的公式： 特例：当时，；规定. (3)排列数的性质： ①； ②； ③. (4)解排列应用题的基本思路： 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊条件（特殊位置，特殊元素）. 2.组合问题 (1)定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式及其推导 从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数. 根据分步计数原理，得到；因此 这里，且，这个公式叫做组合数公式. 因为，所以组合数公式还可表示为： 特例：. （3）组合数的主要性质： ① ② （4）组合应用题的常见题型： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型 “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. 如：从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都必须当选，有多少种不同的选法？ 由于男甲、女A必须当选，只需从剩下7人中任选3人即可满足题目要求，故有种不同的选法. ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型 解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 如（1）中，将问题改为至少有一名女同学当选，有多少种不同的选法？则在全部的选法中，排除全部男生当选的情况即可，故有种不同的选法. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1:分类加法与分步乘法的综合】 【解题策略】 核心逻辑：明确“分类”与“分步”的本质区别，分类是完成事件的多种独立途径，用分类加法计数原理；分步是完成事件的多个关联步骤，用分步乘法计数原理. 公式规范： 分类加法计数原理： 分步乘法计数原理： 技巧要点：分类时需保证“不重不漏”，每类方法相互独立；分步时需保证“步骤完整”，各步骤相互依存. 【多选题】（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ）经典例题例题 A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． （2025·新疆·模拟预测）5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有 种.小试牛刀1 （2025·四川成都·模拟预测）甲、乙两位同学从7部电影中各自随机选看2部，两人选择独立互不影响，则两人选看的电影中，最多有1部相同的选法共有 种.小试牛刀2 （2025·四川自贡·一模）如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ）小试牛刀3 A．4 B．5 C．6 D．7 【题型2：组合数的性质】 【解题策略】 性质1：，用于简化计算，当时，转化为计算可大幅减少运算量. 性质2：，用于组合数的递推与恒等式化简，常结合求和或证明问题使用. （2025·湖南邵阳·模拟预测）已知的展开式中的系数为126，则（    ）经典例题例题 A．3 B．4 C．5 D．6 （2025·江苏·模拟预测）已知，若，，则（   ）小试牛刀1 A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 （24-25高二上·河南南阳·期末）若，则 ．小试牛刀2 （2024·湖南衡阳·模拟预测）数列的综合求和方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：，.应用上述知识，计算 .小试牛刀3 【题型3：一般的组合问题】 【解题策略】 核心公式：从个不同元素中取出个元素的组合数为 技巧要点：明确“组合无顺序”的本质，若问题仅要求“选取”而非“排列”，直接使用组合数公式；需排除隐含的重复计数情况，尤其是“含”与“不含”类问题. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）．经典例题例题 A．种 B．种 C．种 D．种 （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．小试牛刀1 （25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ）小试牛刀2 A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 （2025·陕西·模拟预测）某校学生会有男生8人，女生12人，现从男生中选出7人，从女生中选出11人参加志愿活动，则不同的选法种数为（   ）小试牛刀3 A．48 B．96 C．144 D．192 【题型4：特殊元素/特殊位置优先】 【解题策略】 核心策略：优先处理具有约束条件的元素或位置，再计算剩余元素的排列/组合方式. 公式规范：若有个特殊元素，先对特殊元素排列有种方法，再对剩余个元素排列有种方法，总方法数为. 技巧要点：识别“特殊元素”（如“甲必须入选”）与“特殊位置”（如“首位不为0”），优先固定约束条件，再拓展到整体计数. （2026·陕西西安·一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025·湖北·模拟预测）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种.小试牛刀1 （2025·广东·模拟预测）3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（    ）种．小试牛刀2 A．36 B．108 C．120 D．144 （25-26高三上·广东·月考）某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（    ）小试牛刀3 A．20种 B．36种 C．24种 D．18种 【题型5：相邻捆绑法与不相邻插空法】 【解题策略】 相邻捆绑法 核心逻辑：将相邻元素视为一个“整体”，先对整体与其他元素排列，再对整体内部元素排列. 公式规范：若个元素相邻，整体排列数为，内部排列数为，总方法数为. 不相邻插空法 核心逻辑：先排列无约束的元素，再在其产生的空隙中插入不相邻元素. 公式规范：先排个无约束元素有种方法，产生个空隙，插入个不相邻元素有种方法，总方法数为. （2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有 .（用数字作答）经典例题例题 （2025·辽宁·模拟预测）某急救小组有1名司机，2名医生和3名护士，6人排成一排合影留念，要求2名医生不相邻，3名护士互不相邻，则不同的排法种数为（   ）小试牛刀1 A．36 B．48 C．72 D．120 （2025·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ）小试牛刀2 A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 （2025·贵州黔南·三模）有个空置车位排成一排，每个车位只能停放一辆车，现将3辆不同的车停放在车位上，若3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数相等，则 （用数字作答）.小试牛刀3 【题型6：平均分组与部分平均分组问题】 【解题策略】 平均分组 核心逻辑：将个元素分成组且每组元素个数相等时，需除以组数的全排列以消除重复计数. 公式规范：若，则分组数为 部分平均分组 核心逻辑：仅部分组元素个数相同时，仅对个数相同的组除以其全排列. 技巧要点：先按组合数完成分组，再对重复的组进行除序，避免因分组无顺序导致的重复计数. （2026·山东·一模）现把7名同学分为三个学习小组，若其中的一个小组有3人，其余两个小组各有2人，则所有不同分组方法的种数是（    ）经典例题例题 A．210 B．175 C．105 D．70 （2026·河北沧州·一模）现有五个数学师范生拟到某学校实习，学校指定甲、乙、丙三个老师担任指导．若要求每名师范生安排且只可以安排一名指导老师，每个老师至少安排指导一名师范生，则不同的安排方法数是（   ）小试牛刀1 A．243 B．150 C．90 D．30 （25-26高二上·辽宁大连·期末）甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）小试牛刀2 （25-26高二上·辽宁沈阳·期末）《熊出没》里的森林小镇要办“环保小卫士”活动，光头强要将6名森林小伙伴分成三组，分别去树洞回收站、草地清洁区、小溪护水点这3个区域帮忙，每个区域安排一组，且每组最多3名小伙伴，则不同的分组安排方法种数为（   ）小试牛刀3 A．900 B．600 C．450 D．150 【题型7：分组分配问题】 【解题策略】 先分组后分配：先将元素分成指定组数（无顺序），再将组分配到不同位置（有顺序），总方法数为“分组数”（为组数）. 直接分配：若分配位置有明确数量要求，直接用组合数与排列数结合计算，无需单独分组. 技巧要点：区分“分组”（组无顺序）与“分配”（组有顺序），分配时必须考虑组的排列顺序. （2025高二上·全国·专题练习）三所医院派出5名医生到乡镇卫生院指导，要求每所医院至少派遣一名医生，则不同的派出方法有（    ）经典例题例题 A．300种 B．150种 C．120种 D．90种 【多选题】（25-26高二上·山东·月考）李清照，齐州章丘（今山东省济南市章丘区）人，宋代女词人，婉约词派代表，有“千古第一才女”之称．现将李清照不同的9本诗集全部奖励给3名同学（每人至少会分到1本），则下列选项正确的有（   ）小试牛刀1 A．若刚好每人分到3本书，则有1680种不同的分法 B．若每人至少分到2本书，则有11508种不同的分法 C．若刚好有1人只分到1本书，则有6326种不同的分法 D．若每人至多分到4本书，则有13020种不同的分法 （25-26高二上·甘肃兰州·期末）兰大附中计划开展“学长经验分享会”，要将6名优秀毕业生分配到高一、高二、高三3个年级进行经验宣讲，要求每个年级至少有1名，至多有3名，则不同的分配方案共有（   ）小试牛刀2 A．360种 B．450种 C．540种 D．900种 （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）小试牛刀3 A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【题型8：相同元素分配中隔板法】 【解题策略】 基础模型：个相同元素分给个不同对象，每个对象至少1个元素，方法数为. 变形模型：若允许对象为空，先给每个对象补1个元素转化为“至少1个”的基础模型，方法数为. 技巧要点：确保元素相同、对象不同，转化为隔板模型时需验证边界条件（如“至少1个”或“允许为空”）. （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有 组．经典例题例题 （25-26高二上·辽宁·期末）将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种.小试牛刀1 （24-25高二下·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ）小试牛刀2 A．120 B．240 C．300 D．360 （24-25高二下·青海西宁·期末）已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（    ）个正整数解.小试牛刀3 A．171 B．190 C．342 D．380 【题型9：定序问题除序法】 【解题策略】 核心逻辑：若个元素中有个元素的相对顺序固定，需除以这个元素的全排列以消除重复. 公式规范：总排列数为. 技巧要点：识别“相对顺序固定”的条件（如“甲必须在乙左侧”），直接用除序法简化计算，避免复杂分类. （25-26高二上·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ）经典例题例题 A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 （24-25高二下·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ）小试牛刀1 A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 （24-25高二下·陕西榆林·月考）高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（   ）小试牛刀2 A．42 B．30 C．21 D．15 （23-24高二下·广东中山·月考）某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ）小试牛刀3 A．150 B．300 C．900 D．450 【题型10：染色问题分类法】 【解题策略】 核心策略：按颜色使用数量或相邻区域的颜色关系分类，逐步计算每类的方法数. 技巧要点：优先染色相邻区域最多的起始区域，再依次染色相邻区域，分类讨论颜色是否重复；结合分步乘法计数原理计算每类的方法数，避免遗漏颜色组合. （2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ）经典例题例题 A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）小试牛刀1    A．72 B．96 C．120 D．144 （2025高三·全国·专题练习）在如图所示的6块区域中，用4种颜色填涂，且相邻区域不同色，不同的染色方法有 种.小试牛刀2 （24-25高二下·陕西铜川·期末）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种.小试牛刀3 【题型11：数字的排列问题】 【解题策略】 核心逻辑：关注数字的特殊约束（如首位不为0、奇偶性、倍数特征等），优先处理约束位置. 技巧要点：按“特殊位置（如首位、个位）→其他位置”的顺序排列，结合分类加法处理多约束条件；若涉及0的排列，需确保首位不为0. 公式规范：若首位不为0，先排首位有种方法，再排其他位置有种方法，总方法数为. （25-26高三上·湖南·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个.经典例题例题 （25-26高二上·甘肃兰州·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数 ．小试牛刀1 （24-25高二下·湖北孝感·月考）有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数的个数 .小试牛刀2 （25-26高三上·浙江·月考）用1，2，3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2相邻出现，则这样的四位数有 个.（用数字作答）小试牛刀3 【题型12：排列组合综合问题】 【解题策略】 核心策略：拆解复杂事件为“分类”或“分步”结构，对每一步/类选择对应方法（如相邻用捆绑、不相邻用插空、特殊元素优先）. 技巧要点：逐步验证每一步的计数逻辑，避免重复或遗漏；结合多种基本方法（如捆绑+插空、优先+除序）解决多层约束问题. （2025·河北沧州·模拟预测）现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取个（），则乙的不同取法种数比甲多 种.经典例题例题 （2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ）小试牛刀1 A．种 B．种 C．种 D．种 （2024·河北·模拟预测）甲乙丙丁四位同学围成一圈玩传球游戏，通过掷骰子决定传球的次数，按照甲→乙→丙→丁→甲→乙→丙→丁→…的顺序循环，初始时球在甲手中，掷出几点就向后传几次球，若抛掷3次骰子后，球还在甲手中，则不同的掷骰子方法有 种.小试牛刀2 （2025·辽宁锦州·模拟预测）渤大附中校园景色优美，道路和楼宇的命名都蕴含着深远的意义，值得同学们在三年的时光里驻足留意.小陈､小张等6位即将毕业的同学在知博楼､君子路､红色文化广场､三到园4个标志性场所中各选择一个拍照留念，若每个地方至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一处地方拍照，且小陈､小张不在同一个地方拍照，则不同的拍照方式共有 种.（用数字作答）小试牛刀3 【题型13：排列组合与概率综合】 （2025·四川成都·模拟预测）从中任选3个不同的数，这3个数按照从小到大的顺序排列后成等差数列的概率是 .经典例题例题 （2025·湖北·模拟预测）《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是 .小试牛刀1 （2025·云南大理·模拟预测）一个袋子中有形状、大小完全相同的个小球，标号分别为，从中有放回地随机取球，每次取个，共取次，将每次取出球的标号数字依次记为，则的概率是 .小试牛刀2 （2025·河北邯郸·一模）记是从1，2，3，4，5，6，7中任取三个不同的数字构成的最大的三位数（例如：取1，2，3时，则为321）；是从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字构成的最大的三位数，则的概率为 .小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 3．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 4．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 7．（24-25高三下·江苏·开学考试）从集合中任取三个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·福建福州·模拟预测）某活动现安排6名志愿者去甲、乙、丙3个活动场地配合工作，每个活动场地去2名志愿者，其中志愿者A去甲活动场地，志愿者B不去乙活动场地，则不同的安排方法共有（    ） A．18种 B．12种 C．9种 D．6种 9．（2025·山东枣庄·二模）子贡曰：“夫子温､良､恭､俭､让以得之”，“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（    ） A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种 二、填空题 10．（2025·福建厦门·三模）四个人排成一排，当相邻时，必须在的右边，那么不同的排法共有 种． 11．（2023·上海·高考真题）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ． 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 13．（2025·福建厦门·三模）6根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的6个绳头各自随机均分成3组，然后将每组内的两个绳头打结，则这6根绳子恰能围成一个大圈的概率为 . 14．（24-25高二下·河北沧州·期中）某校高二年级有1～10共10个班级，有宋老师、齐老师、梁老师等5位数学教师，每位教师教两个班级，其中宋老师一定教3班，齐老师一定教8班，不教5班，梁老师至少教9班和10班中的一个班，则不同的排班方法有 种.（用数字作答） 15．（2025·福建福州·模拟预测）从1，2，3，…，11这11个数中随机抽取3个互不相同的正整数，，，则能被4整除的概率为 16．（2025·福建莆田·模拟预测）若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不相邻的概率为 . 17．（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点到整点或的有向线段叫做一个T步，从整点A到整点B的一条T路是指由若干个T步组成的起点为A、终点为B的有向折线.则整点到整点的T步的条数为 .（结果用数字表示） 18．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 19．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 20．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $