精品解析：安徽省太和中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

太和中学高三月考卷 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3 2. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 5. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（ ）种． A. B. C. D. 7. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（ ） A. ，，，的平均数等于，，，的平均数 B. ，，，的中位数等于，，，的中位数 C. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 10. 已知直线m的方程为，直线n的方程为，则（ ） A. m，n的交点为 B. n在y轴上的截距为 C. m的斜率为 D. m，n与x轴围成的三角形是锐角三角形 11. 在三棱锥中，平面，，．若三棱锥的体积为，则（ ）． A. B. 二面角的平面角小于 C. 点A到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______. 14. 若时，，则实数的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等比数列，数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 16. 已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 17. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学高三月考卷 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（是虚数单位），则的虚部是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的概念可得. 【详解】由题意得，的虚部是3． 故选：D． 2. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】，所以. 故选：D. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用诱导公式，结合特殊角的余弦值求解即可. 【详解】， 故选：C 4. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由函数是幂函数解得或，再检验即可. 【详解】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，. 故选：C. 5. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再结合坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：D 6. 有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（ ）种． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式即得. 【详解】第一步，从除组长、甲、乙外的9人中选出2人，有种； 第二步，甲、乙和选出的2人排在前排，共种； 第三步，后排7人全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得共有种. 故选：D 7. 一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，表示摸球次数，则的数学期望（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】随机变量的可能取值为. （第一次摸到红球）； （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）； （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）； （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）. 数学期望. 故选：A 8. 已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出动点的轨迹方程（双曲线的右支），再根据渐近线方程可求参数的范围. 【详解】因为，故在双曲线的右支上， 而半焦距，实半轴长为， 故双曲线右支的方程为：，故渐近线方程为， 而直线与双曲线右支有公共点，故， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据互不相等，数据个数为奇数，从小到大排列为，，，，且这组数据的平均数与中位数相等，则正确的为（ ） A. ，，，的平均数等于，，，的平均数 B. ，，，的中位数等于，，，的中位数 C. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的极差等于原样本数据的极差 D. 将样本数据的中位数去掉后得到的新数据的方差等于原样本数据的方差 【答案】BC 【解析】 【分析】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为，由题意知平均数也为，故，，，的总和为.选项A，求出，，，的平均数为，若，则需，但是题目中未给出这个条件，选项A错误；选项B，去掉，后，剩余数据为，，，，共个数，中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，选项B正确； 选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，选项C正确； 选项D，设，，，的平均数为，方差为，再求新数据的方差，比较大小，即可判断选项D错误. 【详解】设样本数据的个数为奇数，从小到大排列后的中位数为， 由题意知平均数也为，故，，，的总和为. 选项A，，，，的总和为，，，的总和减去和， 即，其中，，，的平均数为， 若，则需，但是题目中未给出这个条件， 反例如数据1，2，4，5，8，则，，此时2，4，5的平均数为， 故选项A错误； 选项B，去掉，后，，剩余数据为，，，，共个数， 中位数为，原来的数据，，，的中位数为， 中位数相等，故选项B正确； 选项C，原来数据极差为，去掉中位数（非最大值或最小值）后，最大值与最小值仍存在，极差不变，故选项C正确； 选项D，设，，，的平均数为，方差为， ， 设，，，，，，，的方差为， ， 又， 所以， ， 即：方差反映数据离散程度，去掉中间数后，数据离散程度增大，故选项D错误. 故选：BC. 10. 已知直线m的方程为，直线n的方程为，则（ ） A. m，n的交点为 B. n在y轴上的截距为 C. m的斜率为 D. m，n与x轴围成的三角形是锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】联立直线方程求得交点坐标判断A；将直线n的方程化为斜截式方程即可求得纵截距判断B；将直线m的方程化为斜截式方程即可求得斜率判断C；根据直线的斜率和两角差的正切公式判断三角形的各个角都为锐角，可得三角形形状判断D. 【详解】由，两式联立，解得，即m，n的交点为，故A正确； 直线n的方程可化为，所以直线n在y轴上的截距为3，B错误； 直线m的方程可化为，所以直线m的斜率为，C正确； 设直线m，n的倾斜角分别为，，则，，为锐角，为钝角. 设，直线m与x轴的交点为M，直线n与x轴的交点为N， 在中，是锐角，是锐角，， 而，所以是锐角，是锐角三角形，D正确. 故选：ACD. 11. 在三棱锥中，平面，，．若三棱锥的体积为，则（ ）． A. B. 二面角的平面角小于 C. 点A到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据题意，设，，，求出三棱锥的体积得解；对B，由题可得是二面角的平面角，结合判断；对C，由三棱锥等体积法求解判断；对D，设三棱锥外接球的球心为，的外接圆的圆心为，可得，由求出外接球半径得解. 【详解】对于A，设，，， 由平面，知，，可得，， 又，所以，得， 在中，，则， 的面积为， 三棱锥的体积为，，所以，故A正确； 对于B，由平面知是二面角的平面角， 由A，，所以，故B错误； 对于C，的面积为，由三棱锥等体积法可得点A到平面的距离，故C错误； 对于D，如图，设三棱锥外接球的球心为，的外接圆的圆心为，半径为r， 所以平面，且， 则，， 设三棱锥的外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知． 13. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移变换法则求得，然后利用诱导公式及特殊角的正切值求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 14. 若时，，则实数的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式可化为，令，对的符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，， 又函数在上连续，所以的值域为， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以； 当时，原不等式可化为，， 所以函数在上单调递减，又当时，， 故. 综上可知，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等比数列，数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系求出，结合等比数列的通项公式即可求解. （2）由递推关系求出，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 由，，得，所以， 又是等比数列，所以公比，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由及（1）得， 所以， 由得是等差数列， 所以的前项和为. 16. 已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再结合余弦定理，即可求得答案； （2）根据三角形面积可求出，再利用余弦定理，即可求得答案. 【小问1详解】 由，可得， 即，则, 由于，故； 【小问2详解】 由于的面积为边上的高为， 故； 又，故， 则 ， 故. 17. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系： 则， ， 所以，易知平面ABCD的一个法向量为：， 又，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，易知平面ABCD的一个法向量为：，由证明； （2）求得平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，得，则， 设直线与平面所成的角为， 所以. 18. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 【答案】（1）； （2） ①由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为， 设，由轴，且点在抛物线上，得， 直线方程为，由，得点， 当时，直线的斜率，其方程为， 整理得，因此直线过定点，当时，直线过点， 所以直线过定点. ②. 【解析】 【分析】（1）设点，由已知及抛物线定义建立方程求出值，即可得到抛物线的方程. （2）①由（1）求出抛物线焦点坐标及准线方程，再设出点的坐标，并表示出点坐标，求出直线的方程即可得证；②由①中信息，利用数量积的定义，结合三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设点，由，得， 由点到轴的距离为，得， 又，则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由①知，， 因此，， 所以的面积. 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 【答案】（1）； （2） 当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. （3）证明：， 要使由两个极值点，则至少有两个零点. 当时，只有1个零点，不符合题意； 当时，， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则极大值 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 由图像可得，当且仅当时，与有两个交点，设其横坐标从左到右分别为，则有两个零点， 且当时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为，符合题意. 由题意，令， 则，则，， ， 设，则， 则单调递增，则，即，所以， 所以， 即成立. 【解析】 【分析】（1）代入，求导，求出，由导数的几何意义得到切线方程； （2）先讨论与，再讨论时，设，转化为与图像交点个数，对求导研究其单调性、图像，数形结合讨论零点个数； （3）函数的极值点个数，转化为与交点个数，方法同（2），注意验证；利用差值代换，由表示出再构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 令，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当当时，，单调递减， 则极大值，极小值， 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 则当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $