精品解析：天津市实验中学2025-2026学年高二上学期12月阶段性学业质量调查数学试题

2025-2026学年度高二年级阶段性学业质量调查（12月） 一、选择题 1. 在数列中，，若为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项求解即可． 【详解】解：由为等差数列得，解得. 故选：A 2. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题易得，知，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，又由点到双曲线的渐近线的距离为4，得，即可解决. 【详解】由题知，抛物线开口向右，， 所以焦点为， 因为焦点与双曲线的一个焦点重合， 所以，且双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即， 因为点到双曲线的渐近线的距离为4，即， 所以， 所以双曲线的方程为， 故选：C 3. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 6 B. 16 C. 24 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质即可求的值，根据通项公式计算即可得出结果. 【详解】由等差数列的性质：，设等差数列的公差为， 而. 故选：C. 4. 记等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 21 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比, 所以成等比数列 所以，所以，解得. 故选：C. 5. 已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出和的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】由题意知，， 解得，， 直线与平行，则，得， ， 化简得，即，解得. 故选：A 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力. 6. 已知数列的通项公式是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并项求和可求. 【详解】因为， 故 ， 故选：B. 7. 设数列满足，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题得（1）， ,（2），两式相减求出即得解. 【详解】由题得（1）， 又 （2）， （2）-（1）得适合. 所以，所以数列是以为首项，以的等比数列， 所以. 故选：C 8. 在数列中，，，则等于（ ） A. 630 B. 648 C. 660 D. 675 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【详解】依题意，由，得，数列是首项，公差的等差数列， 则，当时，，当时，， 所以 . 故选：C 9. 已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率得到，再根据双曲线的定义及勾股定理求出，即可求出双曲线方程； 【详解】解：因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去） 所以双曲线的标准方程为： 故选：A 二、填空题 10. 已知抛物线上一点，则点A到抛物线焦点的距离为______________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求出准线方程，进而利用点A的纵坐标求得到点A准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案. 【详解】解：由题意得： 抛物线的准线方程为 点A到准线的距离为 根据抛物线的定义可知点A与抛物线的距离就是点A与抛物线准线的距离 点A与抛物线焦点的距离为 故答案为： 11. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此求得实轴长. 【详解】由于，双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的渐近线与轴夹角小于， 由得，实轴长． 故答案为： 12. 数列1，，，的前n项和Sn＝________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式，数列的通项可化简为，裂项相消法即可求前n项和 【详解】由于数列的通项an＝＝＝2， ∴Sn＝2 ＝2＝. 故答案为： 13. 已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为_____ . 【答案】2 【解析】 【分析】利用已知条件，求出A到渐近线的距离，然后推出，最后求双曲线的离心率. 【详解】由题意，则为正三角形， 则A到渐近线距离为，，渐近线为， 所以，故，可得，故. 故答案为：2 14. 设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得，再由等比数列的前n项和公式即可得结果. 【详解】由题意可得：，， 所以 故答案为： 15. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙______尺；若城墙厚40尺，则至少在第________天相遇． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 6 【解析】 【分析】由题意知小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可算出小老鼠第三天穿城墙的厚度，再根据等比数列求和公式，构造等式，即可得解. 【详解】由题意知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以为公比的等比数列，前天打洞之和为， ∴小老鼠第三天穿城墙的厚度为； 大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前天打洞之和为， ∴两只老鼠第天打洞穿墙的厚度之和为，且数列为递增数列， 而，，又城墙厚40尺， 所以这两只老鼠至少6天相遇. 故答案为：；6. 三、解答题 16. 已知数列的前项和为，满足，. （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1） ，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可证明是以为首项，为公比的等比数列； （2）由等比数列通项公式的计算即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 17. 已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. （1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. （2）斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解； （2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可. 【小问1详解】 因为双曲线E的渐近线方程为. 所以，解得，从而，即， 所以右焦点为，从而，解得， 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，. 【小问2详解】 由题意直线，它过抛物线的焦点， 联立抛物线方程得，化简并整理得， 显然，， 所以， 点到直线的距离为， 所以，即的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级阶段性学业质量调查（12月） 一、选择题 1. 在数列中，，若为等差数列，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 6 B. 16 C. 24 D. 60 4. 记等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 21 D. 27 5. 已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 已知数列的通项公式是，则（ ） A. B. C. D. 7. 设数列满足，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 8. 在数列中，，，则等于（ ） A. 630 B. 648 C. 660 D. 675 9. 已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知抛物线上一点，则点A到抛物线焦点的距离为______________. 11. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____． 12. 数列1，，，的前n项和Sn＝________. 13. 已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为_____ . 14. 设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则________. 15. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙______尺；若城墙厚40尺，则至少在第________天相遇． 三、解答题 16. 已知数列的前项和为，满足，. （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式. 17. 已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. （1）求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. （2）斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $